Hai phương trình vô nghiệm thì tương đương

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Trong đó $a, b, c, a’, b’, c’$ là các số thực cho trước, $x$ và $y$ là ẩn số

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung $({x_0},\,{y_0})$thì$({x_0},\,{y_0})$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương  nếu chúng có cùng tập nghiệm

Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \(d:ax + by = c\) và \(d':a'x + b'y = c'.\)

Trường hợp 1. \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\);

Trường hợp 2. \(d//d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. \(d \equiv d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}};\)

Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\);

Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.\)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.

Phương pháp:

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

- Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

- Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?

Phương pháp:

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị

Phương pháp:

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai đường thẳng \(d:ax + by = c\) và \(d':a'x + b'y = c'\) trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng.

Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng).

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây

Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây

Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!

Với giải bài 6 trang 11-12 sgk Toán lớp 9 Tập 2 được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Video Giải Bài 6 trang 11-12 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 6 trang 11-12 SGK Toán 9 Tập 2: Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.

Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? [Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị].

Lời giải

- Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ∅.

- Bạn Phương nhận xét sai.

Ví dụ: Xét hai hệ x−y=02x−2y=0 [I] và x+y=03x+3y=0 [II]

Hệ x−y=02x−2y=0 có vô số nghiệm. Tập nghiệm của [I] được biểu diễn bởi đường thẳng x – y = 0.

Hệ x+y=03x+3y=0 có vô số nghiệm. Tập nghiệm của [II] được biểu diễn bởi đường thẳng x + y = 0.

Nhận thấy, tập nghiệm của hai hệ [I] và hệ [II] được biểu diễn bởi hai đường thẳng khác nhau nên hai hệ không tương đương.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 8 Toán 9 Tập 2: Kiểm tra rằng cặp số [x; y] = [2; -1] vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất...

Câu hỏi 2 trang 9 Toán 9 Tập 2: Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống […] trong câu sau...

Câu hỏi 3 trang 10 Toán 9 Tập 2: Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao...

Bài 4 trang 11 Toán 9 Tập 2: Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây...

Bài 5 trang 11 Toán 9 Tập 2: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học...

Câu 4: trang 11 sgk toán lớp 9 tập 2

Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

a. $\left\{\begin{matrix} y=3-2x & \\ y=3x-1 & \end{matrix}\right.$

b. $\left\{\begin{matrix} y=-\frac{1}{2}x+3 & \\ y=-\frac{1}{2}x+1 & \end{matrix}\right.$

c. $\left\{\begin{matrix} 2y=-3x & \\ 3y=2x & \end{matrix}\right.$

d. $\left\{\begin{matrix} 3x-y=3 & \\ x-\frac{1}{3}y=1 & \end{matrix}\right.$

Xem lời giải

§2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI AN A. KIẾN THỨC Cơ BẦN Khái niệm vê' hệ hai phương trình bậc nhát hai ẩn TTA , ■ , . , , , , . X- / 1 * fax + by = c [1] Hệ hai phương trình bậc nhãt hai an có dạng: [I] 1 [a’x + b'y - c' [2] trong đó ax + by = c và a’x + b’y = c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình [I]. Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ [I] là vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhát hai ẩn Đôi với hệ phương trình [I], ta có: Nếu [d] cắt [d’] thì hệ [I] có một nghiệm duy nhát. Nếu [d] song song với [d’] thì hệ [I] vô nghiệm. Nếu [d] trùng với [d’] thì hệ [I] có vô sô’ nghiệm. Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Không vẽ đồ thị, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: Giải b] d] x + y = 2 ị2x + 2y = 4 [2x = 5 I X + 5y = -4 3ặc + 2y = 5 c] x + 2y = 1 3x - y = 1 6x - 2y = 3 a] Biểu diễn y qua X ở mỗi phương trình của hệ ta được: 3 5 y= ọx+ọ 31 z z vì a = - — -4 = a', hai đồ thị cắt nhau. Vậy hệ có 112 2 y = - - X + — X 2 ,2 y = -x + 2 y = -X + 2 nghiệm duy nhất. b] a = -1 = a’, b = 2 = b’, hai đồ thị trùng nhau. Vậy hệ nên hệ vô nghiêm. 5 X = — 2 ' 1 4 Vì đồ thị thứ nhất song song với Oy, còn đồ thị y = -4x X 1,55 thứ hai cắt hai trục nên chúng cắt nhau. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Bài tập Cơ bản y = ““•X + 3 2 1 , y=-|x+l 3x - y = 3 y = 3 - 2x y = 3x-l 2y = -3x 3y = 2x a] b] c] < d] Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: 1 1 , X - — y = 1 I 3 2x + y = 4. -X + y = 1 b] a] ■ Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau băng hình học: 2x-ỷ = 1 x-2y = -l 6. Đố. Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhât hai ấn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau. Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? [có thế’ cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị]. y = 3 - 2x _<; y = 3x -1 Ta có a = -2, a’ = 3 nên a a’ Giải 4. a] y = -2x + 3 y = 3x - 1 Hai đường thẳng cắt nhau. Vậy hệ phương trình có một nghiệm [vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhát]. b] y = -^x + 3 2 y=--X +1 _ 1 . 1 Có a = a = -ị, b = 3, b’ = 1 nên a = a’, b b’. => Hai đường thẳng song song. Vậy hệ phương trình vô nghiệm [vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường khác nhau và có cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau]. 3 c] 2y = -3x 3y = 2x y = X 2 2.. y = — X nên a * a’ => Hai đường thẳng cắt nhau. 3 Có a = ",d' = " 2 3x - y = 3 y = 3x - 3 1 , ‘ 1 ‘ X - 7-y = 1 ^y = x-l 3 3 d] Vậy hệ phương trình có một nghiệm. y = 3x - 3 y = 3x - 3 Có a = 3, a’ = 3, b = -3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’. => Hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm [vì hai đường, thẳng có phương trình đã cho trong hệ trùng nhau]. 5. a] [2x-y = 1 2y = -l Vẽ [dp: 2x Cho X = 0 = y = 1 y = -1, ta được A[0; -1]. Cho y = 0 Vì [d2]: X - 2y = -1 1 „ lì Cho X = 0 => y = được c 10; I . Cho y = 0 => X = -1, được D = [-1; 0]. Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ [x = 1, y = 1]. Thay X = 1, y = 1 vào các phương trình của hệ ta được: 2.1 - 1 = 1 [thoa] 1 - 2.1 = -1 [thỏa] 2x + y = 4 ' -X + y = 1 Vẽ [dp: 2x + y = 4 Cho X = 0 => y = 4, được A[0; 4]. Cho y = 0 => X = 2, được B[2; 0]. Vẽ [d9]: -X + y = 1 Cho X = 0 => y = 1, được C[0; 1]. Cho y = 0 => X = -1, được D[-l; 0]. b] 4^ y 'H 3 u2 2 1 -1/ -%N 7 i\ Ị \2 X ' / 0 7 -1 í \ Á Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ [x = 1; y = 2]. Thay X = 1, y = 2 vào các phương trình của hệ ta được: 2.1 + 2 = 4 và -1 + 2 = 1 [thỏa] Vậy hệ phương trình có một nghiệm [x; y] = [1; 2]. 6. Trả lời: Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ộ. Bạn Phương nhận xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình và y = -X y = -X đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y = X, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng y = -X. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương [vì không có cùng tập nghiệm]. 3. Bài tập tương tự Hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau. Minh họa bằng đồ thị. , . x + y = 1 b] y = 4 được A[0; 4]. Cho y = 0 => X = 2 được B[2; 0]. Vẽ [d2]: 3x + 2y = 5 _ Cho X = 0 => y - được CI 0; I Cho y = 0 => X - được D 0 Hai đường thẳng cắt nhau tại M[3; -2]. Thay X = 3, y = -2 vào từng phương trình ta được: 2.3 + [-2] = 4 và 3.3 + 24-2] = 5 [thỏa] Vậy [x = 3; y = -2] là nghiệm chung của các phương trình đã cho. 12x - y = 3 X = 2 y = 2x - 3 Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng X = 2 song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng y = 2x - 3 cắt hai trục tọa độ. Vẽ [dj]: X = 2 Vẽ [d2]; 2x - y = 3 Cho X = 0 => y = -3 được A[0; -3]. Cho y = 0 => X = được B Ị ; oỴ , ... . Ta thấy hai đường thắng cắt nhau tại N[2; 1]. Thay X = 2, y = 1 vào phương trình 2x - y = 3 ta được 2.2 -1 = 3 [thỏa]. Vậy hệ phương trình có nghiêm [2; 1]. b] x + 3y = 2 í 3y = -X + 2 2y = 4 ly = 2 5 Q X 2 Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng y = - — + -=■ cắt hai . , o 3 3 trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thang y = 2 song song với trục hoành. Vẽ [dj]: X + 3y - 2 _ Cho X = 0 => y = -2- được A 0; [dj M y 2 [d2] 1 1 1 1 > 1 X -5 -4 -3 -2 -10 ỉ 2^“ - Cho y = 0 => X = 2 được B[2; 0]. Vẽ [d2]: y = 2 Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M[-4; 2]. Thay X = -4, y = 2 vào phương trình X + 3y = 2 ta được -4 + 3.2 = 2 [thỏa]. Vậy hệ phương trình có nghiệm [-4; 2]. y = -X + 2 9. a] x + y = 2 3x + 3y = 2 -X + 2 5 3y - -3x + 2 , , 2 , Ta có: a = -1, a’ = -l, b = 2, b' = — nên a = a’, b * b’ => Hai đường thẳng song song với nhau. 3 Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biếu diễn cá[ tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. 3 1 y = -X + b] 3x - 2y = 1 -6x + 4y = 0 2y = 3x - 1 4y = 6x 'a thấy hai đường thăng căt nhau tại hay X = 2, y = 1 vào phương trình 2x - ; 3 1 Ta có: a = -r,a' = -r,b = -4,b' = 0 nên a = a', b * b'. 2 2 2 => Hai đường thẳng song song với nhau. Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. 1 10. a] 4x - 4y = 2 -2x + 2y = -1 4y = 4x - 2 2y = 2x - 1 Tacó:a = a' = l, b = b' = -Ậ. „ . . ,2 Hai đường thăng trùng nhau. => Hai đường thăng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn I S' 1 • _ T. ■ 1 • . I \ 1 I 1 A 1 V I K 1 b] ■ Í1 2 -X -y = — 3 3 » . \ 1 2 y = —X 3 3»- X - 3y = 2 3y = X - 2 y = -X- - 3 3 y = —X 3 1 , 2 Ta có a = a = -|, b = b = “ nên hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 11. Nếu tìm thấy hai nghiêm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thế kết luận hệ phương trình có vô số nghiêm, vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiêm của chúng có hai điếm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.

Video liên quan