1. Các kiến thức cần nhớ
Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\a'x + b'y = c'\,\,\,[2]\end{array} \right.$
Trong đó $a, b, c, a’, b’, c’$ là các số thực cho trước, $x$ và $y$ là ẩn số
- Nếu hai phương trình [1] và [2] có nghiệm chung $[{x_0},\,{y_0}]$thì$[{x_0},\,{y_0}]$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình [1] và [2] không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'.\]
Trường hợp 1. \[d \cap d' = A\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\];
Trường hợp 2. \[d//d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 3. \[d \equiv d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có vô số nghiệm.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.
Phương pháp:
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\]
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\]
- Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\]
- Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\]
Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?
Phương pháp:
Cặp số \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\] khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'\] trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng.
Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 [hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng].
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng. Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.
A. Kiến thức cơ bản:
1. Khái niệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng:
ax + by = c [1]
Trong đó a, b và cc là các số đã biết [a ≠ b hoặc b ≠ 0].
2. Tập hợp nghiệm của phương trình:
a] Một nghiệm của phương trình [1] là một cặp số
[x0, y0] sao cho ax0 + by0 = c.
b] Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c,
Quảng cáokí hiệu là [d].
– Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:
\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c – ax}{b} & & \end{matrix}\right.\] hoặc \[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c – by}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\]
Khi đó đường thẳng [d] cắt cả hai trục tọa độ.
– Nếu a = 0, b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:
\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c}{b} & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Ox
– Nếu a ≠ 0, b = 0 thì công thức nghiệm là:
\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Oy.
1. Các kiến thức cần nhớ
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
+] Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$
Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước $a \ne $$0$ hoặc $b \ne 0$ .
- Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $[{x_0},\,{y_0}]$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $[{x_0},\,{y_0}]$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $[{x_0},\,{y_0}]$.
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$
+] Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục tung.
+] Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục hoành.
+] Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương pháp:
Nếu cặp số thực $[{x_0},\,{y_0}]$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$.
1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ [ hoặc $y$ theo $x$] rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
1. Nếu \[a \ne 0\] và \[b = 0\] thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ .
2. Nếu \[a = 0\] và \[b \ne 0\] thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ .
3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M[{x_0},\,{y_0}]$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$.
Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau:
Cách 1:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [chẳng hạn $x$ ] theo ẩn kia.Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \[t\], ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \[t\]
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Cách 2:
Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên $[{x_0},\,{y_0}]$ của phương trình.
Bước 2. Đưa phương trình về dạng $a[x - {x_0}] + b[y - {y_0}] = 0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.