Phương trình bậc ba chứa tham số

Thông thường thì các em hay giải phương trình bậc 3 bằng cách nhẩm nghiệm, sau đó chia đa thức để đưa bài toán về giải phương trình bậc 2.

1. Giải phương trình bậc 3 tổng quát

[latex]\displaystyle ax_{{}}^{3}+bx_{{}}^{2}+cx+d=0[/latex] [với a # 0]

2. Giải phương trình bậc 3 thường gặp

[latex]\displaystyle x_{{}}^{3}+ax_{{}}^{2}+bx+c=0[/latex]

Ta giải phương trình này bằng phương pháp Cardano:

Chú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ [4], vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu [±], và mỗi căn bậc ba có ba giá trị [một giá trị thực và hai tích của nó với
[latex]\displaystyle -\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}[/latex]].

Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e. [latex]\displaystyle u=\sqrt[3]{q}[/latex]. Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có

[latex]\displaystyle x=-\frac{a}{3}[/latex].

Phân tích đa thức chứa tham số thành nhân tử dựa trên nghiệm của đa thức và hỗ trợ của máy tính bỏ túi

Bài viết này lingocard.vn giới thiệu đến bạn đọc phương pháp Phân tích đa thức chứa tham số thành nhân tử dựa trên nghiệm của đa thức và hỗ trợ của máy tính bỏ túi

Định lí về phân tích nhân tử khi biết tất cả các nghiệm của đa thức:

Đa thức $P[x]$ được viết dưới dạng: $P[x]={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ trong đó ${{a}_{n}}
e 0$ là một đa thức bậc $n$ ký hiệu là $deg P=n$.

Đang xem: Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 chứa tham số

$P[x]$ có nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}$ thì $P[x]={{a}_{n}}left[ x-{{x}_{1}} ight]left[ x-{{x}_{2}} ight]…left[ x-{{x}_{n}}

ight].$

Ví dụ 1:Hàm số $f[x]=frac{1}{2}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt bằng $-3;-1;2.$ Tìm $f[x].$

Giải.Vì $f[x]$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-3;-1;2$ do đó $f[x]=dfrac{1}{2}[x+3][x+1][x-2].$

Ví dụ 2:Đồ thị của hai hàm số $f[x]=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dfrac{1}{2}$ và $g[x]=d{{x}^{2}}+ex+dfrac{3}{4}$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ $-2;1;3.$ Tìm $h[x]=f[x]-g[x].$

Giải.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Thu Gọn Cột Trong Excel Với Thanh Cuộn Scroll Bar

Vì $h[x]=a{{x}^{3}}+[b-d]{{x}^{2}}+[c-e]x-frac{1}{4}$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-2;1;3$ do đó $h[x]=a[x+2][x-1][x-3].$

So sánh hệ số tự do của $h[x]$ ta có $-dfrac{1}{4}=a[2][-1][-3]Leftrightarrow a=-dfrac{1}{24}.$ Do đó $h[x]=-dfrac{1}{24}[x+2][x-1][x-3].$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc ba có chứa tham số

Đa thức bậc ba $P[x]=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ tìm được một nghiệm đẹp $x={{x}_{0}}$ khi đó $P[x]=a[x-{{x}_{0}}][{{x}^{2}}+rx+s]$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện bằng máy tính bỏ túi như sau:

MODE 2 [Vào môi trường số phức]

Nhập $dfrac{P[x]}{a[x-{{x}_{0}}]}-{{x}^{2}}$ và CALC với $x=i[ENG]$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P[x]={{x}^{3}}+[m+1]{{x}^{2}}+[{{m}^{2}}+2m-1]x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1.$

Giải. Nhập phương trình bậc ba ${{x}^{3}}+[m+1]{{x}^{2}}+[{{m}^{2}}+2m-1]x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1=0$ ẩn $x$ với $m=1000$ ta được một nghiệm đẹp $x=999=m-1.$

Vậy khi phân tích nhân tử thì $P[x]=[x-m+1][{{x}^{2}}+rx+s]$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $dfrac{{{x}^{3}}+[m+1]{{x}^{2}}+[{{m}^{2}}+2m-1]x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1}{x-m+1}-{{x}^{2}}$

CALC với $x=i[ENG];m=1000$ ta được kết quả $2000i+2999999=2mx+3{{m}^{2}}-1.$

Vậy $rx+s=2mx+3{{m}^{2}}-1.$ Do đó $P[x]=[x-m+1][{{x}^{2}}+2mx+3{{m}^{2}}-1].$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc bốn có chứa tham số

Đa thức bậc bốn $P[x]=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ có nghiệm kép $x={{x}_{0}}$ khi đó $P[x]=a{{[x-{{x}_{0}}]}^{2}}[{{x}^{2}}+rx+s]$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện như sau:

MODE 2[Vào môi trường số phức]

Nhập $dfrac{P[x]}{a{{[x-{{x}_{0}}]}^{2}}}-{{x}^{2}}$ và CALCvới $x=i[ENG]$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P[x]={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-[4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m]x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}.$

Giải.Đa thức $P[x]$ có nghiệm kép $x=m$ do đó $P[x]={{[x-m]}^{2}}[{{x}^{2}}+rx+s]$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $dfrac{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-[4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m]x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}}{{{[x-m]}^{2}}}-{{x}^{2}}$

CALC với $x=i[ENG];m=1000$ ta được kết quả $1999i+2998001=[2m-1]x+3{{m}^{2}}-2m+1.$

Vậy $rx+s=[2m-1]x+3{{m}^{2}}-2m+1.$ Vậy $P[x]={{[x-m]}^{2}}[{{x}^{2}}+[2m-1]x+3{{m}^{2}}-2m+1].$

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong góiCOMBO X 2020có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

Xem thêm: Các Phím Tắt Tìm Kiếm Trong Excel Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao, Các Phím Tắt Trong Excel Kế Toán

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể muaCombogồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Phương pháp giải một số phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai

Phương pháp giải một số phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai

1. Phương trình trùng phương

- Là phương trình có dạng \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left[ {a \ne 0} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ * \right]\]

- Phương pháp:

+] Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {**} \right]\]

+] Để xác định số nghiệm của $[ * ],$ ta dựa vào số nghiệm của $[ * * ]$ và dấu của chúng, cụ thể:

$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ {**} \right]\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm hoặc có hai nghiệm phân biệt âm.

$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $1$ nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ {**} \right]\] có nghiệm kép \[{t_1} = {t_2} = 0\] hoặc \[\left[ {**} \right]\] có \[1\] nghiệm bằng \[0\], nghiệm còn lại âm.

$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $2$ nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \left[ {**} \right]\] có nghiệm kép dương hoặc \[\left[ {**} \right]\] có \[2\] nghiệm trái dấu.

$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $3$ nghiệm $\Leftrightarrow [ * * ]$ có $1$ nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương.

$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $4$  nghiệm $\Leftrightarrow [ * * ]$ có $2$ nghiệm dương phân biệt.

2. Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1:  $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ với $\dfrac{e}{a} = {\left[ {\dfrac{d}{b}} \right]^2} \ne 0$

 Phương pháp giải:

- Bước 1: Chia hai vế cho ${x^2} \ne 0$

- Bước 2: Đặt $t = x + \dfrac{\alpha }{x} \Rightarrow {t^2} = {\left[ {x + \dfrac{\alpha }{x}} \right]^2}$ với $\alpha = \dfrac{d}{b}$ và thay vào phương trình.

Loại 2:  $[x + a][x + b][x + c][x + d] = e$ với $a + c = b + d$

 Phương pháp giải:

- Bước 1: Biến đổi:

$\left[ {[x + a][x + c]} \right] \cdot \left[ {[x + b][x + d]} \right] = e \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + [a + c]x + ac} \right] \cdot \left[ {{x^2} + [b + d]x + bd} \right] = e$

- Bước 2: Đặt $t = {x^2} + [a + c]x$ và thay vào phương trình.

Loại 3:  $[x + a][x + b][x + c][x + d] = e{x^2}$ với $a.b = c.d.$

 Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt $t = {x^2} + ab + \dfrac{{a + b + c + d}}{2} \cdot x$

- Bước 2: Phương trình$ \Leftrightarrow \left[ {t + \dfrac{{a + b - c - d}}{2} \cdot x} \right] \cdot \left[ {t - \dfrac{{a + b - c - d}}{2} \cdot x} \right] = e{x^2}$ [có dạng đẳng cấp]

Loại 4:  ${[x + a]^4} + {[x + b]^4} = c$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt $x = t - \dfrac{{a + b}}{2} \Rightarrow {[t + \alpha ]^4} + {[t - \alpha ]^4} = c$ với $\alpha = \dfrac{{a - b}}{2} \cdot$

- Bước 2: Giải phương trình trên tìm \[t\] rồi suy ra \[x\].

Loại 5:  ${x^4} = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Tạo ra dạng ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm hai vế cho một lượng $2k.{x^2} + {k^2}$

- Bước 2: Phương trình [1] tương đương:

${[{x^2}]^2} + 2k{x^2} + {k^2} = [2k + a]{x^2} + bx + c + {k^2} \Leftrightarrow {[{x^2} + k]^2} = [2k + a]{x^2} + bx + c + {k^2}.$

- Bước 3: Cần vế phải có dạng bình phương $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k + a > 0\\{\Delta _{VP}} = {b^2} - 4[2k + a][c + {k^2}] = 0\end{array} \right. \Rightarrow k = ?$

Loại 6:  ${x^4} + a{x^3} = b{x^2} + cx + d\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Tạo ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm ở vế trái 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: ${\left[ {{x^2} + \dfrac{a}{2}x + k} \right]^2} = {x^4} + a{x^3} + \left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right]{x^2} + kax + {k^2}.$

Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình [2] một lượng: $\left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right]{x^2} + kax + {k^2},$ thì phương trình

$[2] \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + \dfrac{a}{2}x + k} \right]^2} = \left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b} \right]{x^2} + [ka + c]x + {k^2} + d.$

- Bước 2: Cần vế phải có dạng bình phương nên phải có số $k$ thỏa:

$\left\{ \begin{array}{l}2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b > 0\\{\Delta _{VP}} = {[ka + c]^2} - 4\left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b} \right][{k^2} + d] = 0\end{array} \right. \Rightarrow k = ?$

Với sự hỗ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai.

3. Giải phương trình bậc ba bằng lược đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

$ \bullet $    Nếu tổng các hệ số bằng $0$ thì phương trình sẽ có $1$ nghiệm $x = 1.$

$ \bullet $    Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có $1$ nghiệm $x = - 1.$

$ \bullet $    Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm $x$ sao cho triệt tiêu đi tham số $m$ và thử lại tính đúng sai.

Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

Bài viết gợi ý: