Phương trình mũ trong các đề thi đại học
|
Skip to content
Show
Home Giáo viên- Học Sinh Bài giảng toán Toán 12 Giải tích 12 Tổng hợp các câu hỏi về Mũ và Logarit trong đề thi THPTQG từ 2017 đến nay
Tổng hợp các câu hỏi về Mũ và Logarit trong đề thi THPTQG từ 2017 đến nay.  Tổng hợp các dạng bài Mũ và Logarit trong đề thi THPTQGDạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giảiTìm điều kiện xác định của lũy thừa Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa So sánh các lũy thừa Tính giá trị của biểu thức lũy thừa Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giảiTìm điều kiện để biểu thức logarit xác định Tính giá trị của biểu thức logarit Rút gọn biểu thức chứa logarit Biểu diễn logarit này theo logarit khác Biến đổi đẳng thức đã cho thành đẳng thức logarit So sánh biểu thức chứa logaritDạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgaritDạng 5: Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgaritTìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit, lũy thừa Xem thêm Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn Cách bấm máy tính Logarit nhanh và chính xác nhất Tổng hợp các câu hỏi về Mũ và Logarit trong đề thi THPTQG từ 2017
Với Bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Phương trình mũ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. 1. Phương pháp giải Cho phương trình af(x) = b ( a > 0 và a ≠ 1) + Nếu b le; 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm . + Nếu b > 0 thì phương trình đã cho tương đương f(x)= logab . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình 22x+ 1 = - 2 A. (0; +∞) B. (− ∞; −1) C. R D. Phương trình vô nghiệm. Lời giải: Đáp án: D Ta có: −2 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2. Phương trình 3x+1 = 27 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm? A. 0 B. 1 C. 2 D.3 Lời giải: Đáp án: A Ta có: 3x + 1 = 27 3x + 1 = 33 ⇔x + 1 = 3 ⇔ x = 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm nguyên âm. Ví dụ 3. Phương trình 5x = 10 có nghiệm x = 1+ log5a. Tìm a? A. a = 1 B.a = 2 C.a = 5 D.a = 10 Lời giải: Đáp án: B Ta có: 5x = 10, lấy loga cơ số 5 hai vế ta được: ⇔x = log510 = 1 + log52 Vậy a= 2. Ví dụ 4. Giải phương trình 42x + 1 = 12. A. x = log43 B. x = log23 C. x = log163 D. x = log83 Lời giải: Đáp án: C Ta có: 42x+ 1 = 12, lấy loga cơ số 4 hai vế ta được; 2x + 1= log412 ⇔ 2x + 1 = 1 + log43 ⇔ 2x= log43 1. Phương pháp giải af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình 2x2 − 3x + 6 = 2x + 3 A.x = 1; x = 2 B. x = −1; x = 2 C. x = 1; x = 3 D. x = −1; x = 3 Lời giải: Đáp án: C Phương trình đã cho xác định với mọi x. Ta có: 2x2 − 3x + 6 = 2x + 3 ⇔ x2 − 3x + 6 = x + 3 ⇔ x2 − 4x + 3= 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3 Ví dụ 2. Biết rằng phương trình 2x2 − x + 4 = 4x + 1 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 ( x1 > x2). Tính giá trị của biểu thức S = x14 + 2x24 A. S = 18 B. S = 83 C. S = 21 D. S = 30 Lời giải: Đáp án: A Phương trình đã cho xác định với mọi x. Ta có: 2x2 − x + 4 = 4x + 1 ⇔ 2x2 − x + 4 = (22)x + 1 2x2 − x + 4 = 22(x + 1) x2 − x+ 4 = 2( x+ 1) ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2 Do đó, x1 = 2 và x2 = 1. Suy ra, S = 24 + 2. 14 = 18 Ví dụ 3. Phương trình 28 − x2 . 58 − x2 = 0,001.(105)1 − x có tổng các nghiệm là: A. 5. B. 7. C. − 7 D. −5 Lời giải: Đáp án: A Ta có : 28 − x2 . 58 − x2 = 0,001.(105)1 − x ⇔ (2.5)8 − x2 = 10−3 . 105 − 5x ⇔ 108 − x2 = 102 − 5x Do đó, tổng các nghiệm của phương trình đã cho là : −1+ 6 = 5. Ví dụ 4. Biết rằng phương trình 9x2 − 10x + 11 = 81 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tính S= x1 + x2 A. 8 B.10 C. 6 D.12 Lời giải: Đáp án: B Phương trình đã cho xác định với mọi x. Ta có : 9x2 − 10x + 11 = 81 ⇔ (32)x2 − 10x + 11 = 34 ⇔(32)x2 − 10x + 11 = 34 ⇔ 2. (x2 − 10x + 11) = 4 ⇔ 2x2 − 20 x + 22 − 4= 0 ⇔ 2x2 − 20x + 18 =0 ⇔x = 1 hoặc x = 9. Do đó , tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là S = 10 Ví dụ 5. Cho phương trình : A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên . C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. D. Phương trình vô nghiệm. Lời giải: Đáp án: A Nghiệm của phương trình là: Khi đó 1. Phương pháp giải f[ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1) Ta thường gặp các dạng: ● m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0 ta đặt t = a f(x) ( t > 0 ). Khi đó, phương trình đã cho có dạng m.t2 + nt + p= 0 . ● m.af(x) + n.bf()x) + p = 0, trong đó ab = 1. Đặt t = af(x),( t> 0);suy ra ● m.a2f(x) + n. (ab)f(x) + p.b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt • Phương trình dạng Aa3x + m + Ba2x + n + Cax + p + D = 0 + Ta biến đổi Aam.(ax)3 + Ban.(ax)2 + Capax + D = 0 Coi đây là phương trình bậc hai ẩn t= ax ,(t > 0 ), ta bấm máy tính tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện. + Lưu ý biến dạng a2x = (a2)x, a3x = (a3)x và ta có thể biến x thành một hàm f(x) 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Phương trình A.1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải: Đáp án: A Phương trình đã cho xác đinh với mọi x. Phương trình tương đương với Đặt 3t = 2 + t2 ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 ● Với t= 1, ta được ● Với t= 2, ta được Vậy phương trình có một nghiệm âm. Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình A.2 B. 4. C. 1. D. 0 Lời giải: Đáp án: A Phương trình đã cho xác định với mọi x. Phương trình tương đương với Đặt t = 3x ( t > 0). Phương trình trở thành t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 ● Với t = 1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0. ● Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1. Ví dụ 3. Cho phương trình 4.4x − 9. 2x+1 + 8 = 0 . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích x1.x2 bằng : A. − 2 B. 2 C. − 1 D. 1 Lời giải: Đáp án: A Ta có: 4.4x − 9. 2x+1 + 8 =0 ⇔ 4. (22)x − 9.2.2x + 8 = 0 ⇔ 4. 22x − 18.2x + 8 = 0 Đặt t= 2x ( t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với 4t2 − 18t + 8 = 0 Vậy tích 2 nghiệm phương trình đã cho là: S= 2.(−1)= − 2. Ví dụ 4. Nghiệm của phương trình 6.4x − 13. 6x + 6. 9x = 0 là: Lời giải: Đáp án: A Ta có: 6.4x − 13. 6x + 6. 9x = 0 Chia cả hai vế phương trình cho 4x > 0 ta được: Đặt 6t2 − 13t + 6 = 0 Ví dụ 5. Phương trình (7 + 4√3)x + (2 + √3)x có nghiệm là: A. x = log(2 + √3)2 B. x = log23 C. x = log2(2 + √3) D. x = log32 Lời giải: Đáp án: A Ta có: 7 + 4√3 = (2 + √3)2 Do đó, phương trình đã cho trở thành: (2 + √3)2x + (2 + √3)x = 6 Đặt t = (2 + √3)x( t > 0 ), khi đó phương trình trên tương đương với: t2 + t = 6 ⇔ 2 = (2 + √3)x ⇔ x = log(2 + √3)2 1. Phương pháp giải Để giải phương trình mũ ta có thể dùng các phương pháp phân tích biểu thức thành nhân tử; đưa về phương trình tích. Sau đó, áp dụng phương pháp logarit hóa; phương pháp đưa về cùng cơ số... 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 12. 3x + 3. 15x − 5x+ 1 = 20 là: A. x = log35 − 1 B. x = log>35 C.x = log35 + 1. D. x = log53 − 1 Lời giải: Đáp án: A Ta có: 12 . 3x + 3 . 15x − 5x + 1 = 20 ⇔ ( 12.3x + 3.15x ) − (5x+ 1 + 20) = 0 ⇔ 3.3x ( 4 + 5x) − 5. ( 5x +4) = 0 ⇔ ( 3.3x − 5) . (4 + 5x) = 0 ⇔ 3x + 1 − 5 = 0 ( vì 4+ 5x > 0 với mọi x) ⇔ 3x+1 = 5 ⇔ x + 1 = log35 ⇔ x = log35 − 1 Ví dụ 2. Phương trình sau có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên 4x2 − 3x + 2 + 4x2 + 6x + 5 = 42x2 + 3x + 7 + 1. A. 2 B. 3 C. 4 D.1. Lời giải: Đáp án: A Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên phân biệt. Ví dụ 3. Phương trình 2x − 3 = 3x2 − 5x + 6 có bao nhiêu nghiệm không nguyên? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. Lời giải: Đáp án: B Theo đầu bài ta có: 2x − 3 = 3x2 − 5x + 6 Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: log22x − 3 = log23x2 − 5x + 6 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm không nguyên Ví dụ 4. Biết rằng phương trình A. S= 95 B. S= 169 C. S= 32 D. S= 43 Lời giải: Đáp án: B Điều kiện: x ∈ R (*) Phương trình Do đó: x1 + x2 = 2 − log97 = log981 − log97 Ví dụ 5. Biết rằng phương trình Lời giải: Đáp án: D Điều kiện: x ≠ −2 (*) Phương trình Do đó S = x1 + x2 = −1 − log23 = −log23 − log22 = −log26 1. Phương pháp giải o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (a; b) không nhiều hơn một và f(u) = f( v) ⇔ u = v ∀u,v ∈ (a; b) o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. o Tính chất 3. Nếu hàm số y =f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v ( hoặc u < v). 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Phương trình (√3 − √2)x + (√3 + √2)x = (√10)x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Lời giải: Đáp án: A Xét hàm số Hàm số f(x) nghịch biến trên R do các cơ số Do đó, nếu phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta thấy f(2) =1 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2. Ví dụ 2. Phương trình 32x +2x (3x + 1) − 4. 3x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ? A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải: Đáp án: A Ta có: 32x +2x (3x + 1) − 4. 3x − 5 = 0 ⇔ 3x + 2x − 5 = 0 ( vì 3x + 1 > 0 với mọi x) Xét hàm số f(x) = 3x + 2x − 5 ; f'(x) = 3xln3 + 2 > 0; ∀x ∈ R. Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó, phương trình đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Lại có, f(1) = 0 nên nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1. Ví dụ 3. Phương trình 4x + 2x (x − 7) − 4x + 12= 0 có số nghiệm là? A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Lời giải: Đáp án: D Đặt t= 2x ( t > 0) phương trình đã cho thành: t2 + (x − 7)t − 4x + 12= 0 (1) Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, ta có Δ = (x − 7)2 − 4(−4x + 12) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 Do đó (1) + TH1. Nếu t = 4 thì 2x = 4 ⇔ x = 2 + TH2. Nếu t = 3 - x thì 2x = 3- x , theo ví dụ trên ta được x= 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2. Ví dụ 4. Biết rằng phương trình A. S= 11 B. S= − 9 C. S= 575 D. S= 675 Lời giải: Đáp án: D Điều kiện: x ≠ R (*) Để ý: (2x2 − 4x + 3) − (x2 + x − 2) = x2 − 5x + 5 Ta biến đổi phương trình ⇔ f(2x2 − 4x + 3)= f(x2 + x − 2) (1) Xét hàm số f(t) = 2t + 3t với t ∈ R có f’(t) = 2t.ln2 + 3 > 0 với mọi t. Suy ra, hàm số f(t) đồng biến trên R nên (1) Ví dụ 5. Phương trình 2x2 + 1 + 3x2 + 2 = 5(sinx + cosx) có số nghiệm là ?. A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Lời giải: Đáp án: C Điều kiện: x ≠ R (*) Ta có 2x2 + 1 + 3x2 + 2 ≥ 20 + 1 + 30 + 2 = 11, ∀x ∈ R. Mà 5(sinx + cosx) ≤ 5(1 + 1) = 10, ∀x ∈ R => 2x2 + 1 + 3x2 + 2 > 5(sinx + cosx) => phương trình vô nghiệm . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (2 + √3)x + (2 − √3)x = m vô nghiệm? A. m ≤ 2 B . m > 2 C. m = 2 D. m < 2 Lời giải: Đáp án: D Nhận xét: (2 + √3) + (2 − √3) = 1 ⇔ (2 + √3)x + (2 − √3)x = 1 . Đặt t = (2 + √3)x. Khi đó, phương trình đã cho trở thành: Xét hàm số Ta có: Cho Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, nếu m < 2 thì phương trình (1’) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ 2. Với giá trị của tham số m thì phương trình: (m + 1).16x − 2.(2m − 3).4x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu? Lời giải: Đáp án: A Đặt 4x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành: (m + 1).t2 − 2( 2m − 3)t + 6m + 5= 0 (*) Đặt f(t) = ( m + 1)t2 − 2 (2m − 3)t + 6m + 5 Yêu cầu bài toán ⇔(*) có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2 Ví dụ 3. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x − m. 2x+1 +2m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 3? A. m= − 2 B. m = 4 C. m = 1 D. m = 3 Lời giải: Đáp án: B Ta có: 4x − m. 2x+1 +2m = 0 ⇔ (2x)2 − 2m.2x + 2m = 0 (*) Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2x có: Δ' = (−m)2 − 2m = m2 − 2m Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m2 − 2m ≥ 0 ⇔ m(m − 2) ≥ 0 Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2x1. 2x2 = 2m ⇔ 2x1 + x2 = 2m Do đó; x1 + x2 = 3 ⇔ 23 = 2m ⇔ m = 4. Thử lại ta được m = 4 thỏa mãn. Ví dụ 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 6x +( 3 − m).2x − m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) A. [3; 4] B. [2; 4] C. (2; 4) D. (3; 4) Lời giải: Đáp án: C Phương trình tương đương: m(2x + 1) = 6x + 3 . 2x. Xét hàm số Ta có: Suy ra, f(x) đồng biến trên khoảng (0 ; 1) thì f(0) < f(x) < f(1) Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình √(3x + 3)+ √(5 − 3x) = m có nghiệm. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Đáp án: B Điều kiện: 5 − 3x ≥ 0 ⇔ 3x ≤ 5 ⇔ x ≤ log35 Xét hàm số f(x) = √(3x + 3) + √(5 − 3x), x ∈ (−∞; log35) Ta có: BBT: Số nghiệm của √(3x + 3)+ √(5 − 3x) = m (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng y = m Vậy để (*) có nghiệm thì |
