Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
- A. Lí thuyết Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai
- 1. Phương trình bậc nhất ax +b = 0
- 2. Phương trình bậc hai
- 3. Định lý Vi - et cho phương trình bậc hai
- 4. Công thức nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
- B. Giải SGK Toán 10 Bài 2
- C. Giải SBT Toán 10 Bài 2
- D. Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Phương trình
Toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn thế nào là phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, .... Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 10, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
A. Lí thuyết Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc nhất ax +b = 0
+
+
+
2. Phương trình bậc hai
+
+
- phương trình có hai nghiệm phân biệt
- phương trình có nghiệm kép
- phương trình vô nghiệm
3. Định lý Vi - et cho phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai có dạng:
Khi đó ta có hệ thức Vi - et:
+ Nếu đa thức có dạng:
+ Nếu hai số có tổng
4. Công thức nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm
+ Nếu a + b - c = 0 thì phương trình có nghiệm
B. Giải SGK Toán 10 Bài 2
Trong Sách giáo khoa Toán lớp 10, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 10. Mời các bạn học sinh tham khảo:
- Giải bài tập trang 62, 63 SGK Đại số 10: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
C. Giải SBT Toán 10 Bài 2
Sách bài tập Toán 10 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
- Giải bài tập Toán 10 SBT bài 2 chương 3
D. Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Phương trình
Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn bài tập Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Bài tập về Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
- Bài tập trắc nghiệm: Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai
------------------------------------
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!
Ngoài ra, VnDoc giới thiệu thêm tới bạn đọc tham khảo một vài tài liệu liên quan tới chương trình lớp 10: Ngữ Văn 10, Tiếng Anh lớp 10, Vật lý lớp 10,...
§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VE PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT, bậc hai A. KIÊN THỨC CĂN BẢN 1. Phương trình bậc nhâ’t Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ax + b = 0 [1] Hệ số Kết luận a * 0 [1] có nghiêm duy nhất X = a a - 0 b*0 [1] vô nghiêm b = 0 [1] nghiêm đúng với mọi X 2. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a * 0] [2] A = b2 - 4ac Kết luận A > 0 [2] có hai nghiêm phân biêt x19 = - k± '/Ã 2a A= 0 [2] có nghiêm kép X = —— 2a A < 0 [2] vô nghiệm Định lí Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a * 0] có hai nghiêm X,, x2 thì b c Xi + x2 - , XiX2 - — a a Ngược lại, nếu hai số u và V có tổng u + V = s và tích uv = p thì u và V là các nghiệm của phương trình 4. X2 - Sx + p = 0. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đôi IAI = B Í A nếu A > 0 -A nếu A < 0 Cách 2: Điểu kiện B > 0 A = B A = -B Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn VÃ = B A = B2 ÍB>0 Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Đặt điều kiện. Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức chung. Đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Kiểm tra điều kiện. Kết luận tập nghiệm. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Giải các phương trinh a] - 3x + 2 2x - 5 2x + 3 4 c] 73x - 5 = 3 ; b] 2#3 4 = 24_t x-3 x + 3 x2-9 d] 72x75=2. ố^íảl a] Điều kiện: X * 2 X2 + 3x + 2 2x - 5 2x + 3 “ 4 4[x2 + 3x + 2] = [2x + 3][2x - 5] 4x2 + 12x + 8 = 4x2 - lOx + 6x - 15 16x = -23 23 X = - [thỏa điều kiện] 16 23 VậyS=tl6 b] Điều kiện: X * ±3 2x + 3 4 Ta có: 24 X - 3 X + 3 [2x + 3][x + 3] - 4[x - 3]= 24 + 2[x2 - 9] 5x = -15 X = -3 [loại]. Vậy s = 0 5 X2 -9 c] Điều kiện: X > 14 d] Điều kiện: X > - 7 T3x - 5 = 33x-5 = 9x = 77 [nhận] 3 Vậy s = 5 t: X > -7 2 V2x + 5 = 22x + 5 = 4x = -i. Vậy s = 1“ 2} • 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô' m a] m[x - 2] = 3x + 1; b] m2x + 6 = 4x + 3m; [2m + 1 ]x - 2m = 3x - 2. ổjiâi Ta có m[x - 2] = 3x + 1 [m - 3]x = 2m + 1 KTA-„ t o _ 2m + 1 Ị2m + lì m-3 1 m-3 J Nếu m = 3 thì Ox = 7; s = 0 m2x + 6 = 4x + 3m o [m2 - 4]x = 3m - 6 [m - 2][m + 2]x = 3[m - 2]. Nếu m * ± 2 thì X = —; s = {—ị m + 2 [m + 2J _ Nếu m = 2 thì Ox = 0; s = R Nếu m = -2 thì Ox = -12; s = 0 [2m + l]x - 2m = 3x - 2 [2m - 2]x = 2m - 2. Nếu m / 1 thì X = lj s = [1] Nếu m = 1 thì Ox = 0; s - K. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thi số quả ở rổ thứ hai bằng của bình phương sô' quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi sô' quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đẩu là bao nhiêu? ốĩiải Gọi X là số quýt ở mỗi rổ. Điều kiện là X nguyên và lớn hơn 30. Ta có phương trình X + 30 = ỉ[x - 30]2 X2 - 63x + 810 = 0 o> Vậy sô' quýt ở mỗi rổ lúc đầu là 45 quả. 4. Giải các phương trinh ' a] 2x“ - 7x2 + 5 = 0; ỐỊlải a] Đặt X = X2 [X > 0] 5 X = 45 X = 18 [loại] b] 3x4 + 2x2 - 1 = 0. Ta có: 2X2 - 7X + 5 = 0 Vậy s = -1; 1;- 10 7ĨÕ X2=Ẽ 2 x2=l X = ±1 Đặt X = X2 [X > 0] Ta có: 3X2 + 2X - 1 = 0 X = -1 [loại] „2 _ 1 I 7Ỗ X = 77 x= ± --- . 3 3 Vậy s = 73. y/3_ 3 ’ 3 Giải các phương trình sau bằng máy tinh bỏ túi [làm tròn kết quả đến chữ số thập phàn thứ ba] a] 2x2 - 5x - 4 = 0; b] -3x2 + 4x + 2 = 0; d] 9x2 - 6x - 4 = 0. b] X! « -0,387; x2 » 1,721; d] X! « 1,079; x2 « -0,412. b] |2x-1| = I-5X-2I; d] |2x + 5l =x2 + 5x+1. c] 3x2 + 7x + 4 = 0; 'ĩ]á‘f> iế: a] Xi « 3,137; x2 « -0,637; Xi = -1; x2 « -1,333; Giải các phương trình a] 13x - 2| = 2x + 3; X -1 -3x +1. c 2x-3_ ịx + l| : ốỊiải Điều kiện: X > - ^ 2 , , „ „ T3x-2 = 2x + 3 x 5 L |_x = -1 VậyS=[-l;-iJ. 3 Điều kiện: X * và X * -1. 2 Nếu X > -1 phương trình đã cho tương đương với phương trình X2 - 1 = -6x2 + llx - 3 7x2 - llx + 2 = 0 11 ± 765 _ , 3. 14 2 Nếu X 5x2 - llx + 4 = 0 11 ± 7ĨĨ , 11 ± 7ĨĨ ,, ,. , ., 11-705 11 + 705 14 14 10 10 Vậy s = X = 777— [loại vì 77—— đểu lớn hơn -1] d] • Với X > - — ta có: 12x + 5 ! = X2 + 5x + 1 2x + 5 = X2 + 5x + 1 X2 + 3x - 4 = 0 X = 1[nhận] X = -4 [loại] Với x < - — ta có: I 2x + 5 I = X2 + 5x + 1 o -2x - 5 = X2 + 5x -h 1 2 X + 7x + 6 = 0 Vậy s = [1;-6|. 7. Giải các phương trình: a] \/5x + 6 = x 6 ; c] \'2x2 + 5 = X + 2 ; a] 7õx + 6 = X - 6 • X = -1 [loại] X = -6[nhận] b] 73 - x = Vx + 2 +1; d] \'4x2 + 2x +10 = 3x + 1 . x-6>0 [x>6 5x + 6 = [x - 6]2 ịx2 - 17x + 30 = 0 X > 6 X = 15 X = 15. Vậy s = 115}. b] Điều kiện -2 < X < 3. Ta có: 73 - X = 7x + 2 + 1 3-x = x + 2 + 2 7x + 2 + 1 7x + 2 = -X 0 V2 -X > 0 X + 2 = X2 X < 0 X2 - X - 2 = 0 o X = -1 [nhận]. Vậy s = Ị-1Ị. X + 2 > 0 X2 + 5 = X + 2 X > -2 2x2 + 5 = [x + 2]2 [x2 - 4x + 1 = 0 Vậy s = [2 - 73 ; 2 + 70 I. X = 2 ± 73 d] 7ếx2 + 2x + 10 = 3x + 1 0 2 4x2 + 2x + 10 =[3x + l] o X = 1. Vậy s = [1|. 1 x > 3 5x2 + 4x - 9 = 0 8. Cho phương trình 3x2 - 2[m + 1 ]x + 3m - 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Ố^Ịiải Ta có A' - [m + l]2 - 3[3m - 5] = m2 - 7m + 16 = f m - + — > 0; Vm l 2/ 4 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. X1 + x2 = 2m + 2 Theo đề bài và định lí Vi-ét ta có: • Xj = 3x2 3m - 5 X1X2 = O [1] [2] [3] m.'í/n..xzoi m + 1 m + 1 Từ [1] và [2] suy ra Xi = —-— ; x2 = ——— Thay Xi, x2 vào [3] ta được: [m +.1]2 = 4[3m - 5] m2 - 10m + 21 = 0 Với m = 3 ta có phương trình 3x2 - 8x + 4 = 0 x = 2 2 X = — 3 s = 2; Với m = 7 ta có phương trình 3x2 - 16x +16 -0« c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải và biện luận các phương trình sau: s= 4; Oi I 00 Tí* I co b] mx + 2[x - m] = [m + 1] + 3; m2x + 1 = mx + m; a[ax + 2b2] - a2 = b2[x + a]. Định a, b để phương trình có tập nghiêm là R: a[3x - 1] + b[6x + 1] = 2x + 2 'Đáp a = - ; b = ậ . r 9 9 Định m để phương trình sau có nghiệm dương: m2[x - 1] - 4x - 3m + 2. 'Đáp so: m 1. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c. Chứng minh phương trinh sau vô nghiệm: b2x2 - [b2 + c2 - a2]x + e2 = 0 -Hướng ìẫn: A = [a + b + c][b + c - a][b + a - c][b - c - a] < 0 Chứng minh rằng phương trình: [x - a][x - b] + [x - b][x - c] + [x - c][x - a] - 0 luôn có nghiêm. -Hướng ỉẫn: Biên đổi phương trình về dạng: 3x2 - 2[a + b + c]x + ab + bc + ca = 0 A' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = — [[a - b]2 + [b - c]2 + [c - a]2] > 0. 2 Cho phương trình X2 - 2[m - 1]x + m + 1 = 0. Định m để phương trình: Có hai nghiệm trái dấu; b] Có hai nghiệm dương phân biệt; c] Có đúng một nghiệm dương. ^ỉ]áf> iế: a] m 3; c] rạ = 3 hoặc m < - 1. Cho phương trình 2x2 + [2m - 1 ]x + m - 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt X,, x2 thỏa 3Xì - 4x2 = 11. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đểu âm. Tìm một hệ thức giữa x4, x2 không phụ thuộc vào m. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô’ m: a] m*-m/1=3[1]; x + 2 c,£z£! + iLl=2[3]; X -1 X -m 9. Giải phương trình: a] [x + 5][2 - X] = 3yjx2 + 3x ; c] Vx2 -3x + 3 + ựx2 -3x + 6 = 3. b] d] X -m x+m x+3 b] 1 + j Vx - X2 = Vx + ựl-X ; 3