Chuyên đề 2:ph ơng trình nghiệm nguyên 1. Tìm nghiệm nguyên của Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất hai ẩnTuỳ từng bài cụ thể mà làm các cách khác nhau.VD1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x + 3y = 11 [1]Cách 1: Phơng pháp tổng quát:Ta có: 2x + 3y = 112152311 ==yyyxĐể phơng trình có nghiệm nguyên 21y nguyênĐặt Zty=21 y = 2t + 1x = -3t + 4Cách 2 : Dùng tính chất chia hếtVì 11 lẻ 2x + 3y luôn là số lẻ mà 2x luôn là số chẵn 3y lẻ y lẻDo đó : y = 2t + 1 vớiZt x = -3t + 4Cách 3 : Ta nhân thấy phơng trình có một cặp nghiệm nguyên đặc biệt là x0 = 4 ; y0 = 1Thật vậy : 2 . 4 + 3.1 = 11 [2]Trừ [1] cho [2] vế theo vế ta có :2[x - 4] + 3[y - 1] = 02[x -4] = -3[y -1] [3]Từ [3] 3[y - 1] 2 mà [2 ; 3] = 1 y - 1 2 y = 2t + 1 với Zt Thay y = 2t + 1 vào [3] ta có : x = -3t + 4Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò ra một cặp nghiệm nguyên [x0, y0] của phơng trình ax + by = c ; cách này sẽ gặp khó khăn nếu hệ số a, b, c quá lớn.Các bài tập t ơng tự : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.a] 3x + 5y = 10b] 4x + 5y = 65c] 5x + 7y = 112VD2 : Hệ phơng trình.Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ phơng trình sau :3x + y + z = 14 [1]5x + 3y + z = 28 [2]Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2[x + y] = 14 vậy x = 7 - y [*]Thay [*] vào [1] ta đợc z = 14 - y - 3x = 2y -7Vì x > 0 nên 7 - y > 0 y < 7 mà z > 0 nên 2y - 7 > 0 y > 27Vậy 27 < y < 7 và Zy { }6;5;4 yGiải tiếp hệ đã cho có 3 nghiệm [3; 4; 1]; [2; 5; 3]; [1; 6; 5]Bài tập t ơng tự: a] Tìm nghiệm nguyên của hệ2x -5y = 52y - 3z = 1b] Trăm trâu ăn trăm bó cỏ trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già 3 con 1 bó. Tìm số trâu mỗi loại.c] Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất chia cho 1000 d 1 và chia cho 761 d 8.2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình, hệ phơng trình bậc cao.Phơng pháp 1 : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phơng trình.VD1: a] Tìm cặp số nguyên [x ; y] thoả mãn phơng trình6x2 + 5y2 = 74 [1]Cách 1 : Ta có : 6 [x2 - 4] = 5 [10 - y2] [2]Từ [2] 6[x2 - 4] 5 và [6 ; 5] = 1 x2 - 4 5 x2 = 5t + 4 vớiNt Thay x2 - 4 = 5t vào [2] ta có : y2 = 10 6tVì x2 > 0 và y2 > 0 5t + 4 > 010 - 6t > 0 3554