Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[1; 5; 3], B[4; 2; -5], C[5; 5; -1] và D[1; 2; 4]. a] Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. b] Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. c] Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó. d] Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu [S].
e] Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu [S] và các mặt phẳ. Bài 8 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận
Advertisements [Quảng cáo]
Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[1; 5; 3], B[4; 2; -5], C[5; 5; -1] và D[1; 2; 4].a] Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b] Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.c] Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.d] Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu [S].
e] Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu [S] và các mặt phẳng tọa độ.
a] Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left[ {3, – 3, – 8} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {4,0, – 4} \right]. \cr & \overrightarrow {AD} = \left[ {0, – 3,1} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {12, – 20,12} \right],\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \]
Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b] Giả sử mặt cầu [S] có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz = 0\].
Vì \[A,B,C,D \in \left[ S \right]\] nên ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{ 1 + 25 + 9 – 2a – 10b – 6c + d = 0 \hfill \cr 16 + 4 + 25 – 8a – 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr 1 + 4 + 16 – 2a – 4b – 8c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3a – 3b – 8c = 5 \hfill \cr a – c = 2 \hfill \cr – 3b + c = – 7 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr c = – 1 \hfill \cr
d = – 19 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 2z – 19 = 0.\]Mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {1,2, – 1} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19} = 5.\]c] Mp[ABC] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {12, – 20,12} \right] = 4\left[ {3, – 5,3} \right].\]
Mp[ABC] đi qua \[A\left[ {1,5,3} \right]\] nên có phương trình:
Advertisements [Quảng cáo]
\[3\left[ {x – 1} \right] – 5\left[ {y – 5} \right] + 3\left[ {z – 3} \right]0 \Leftrightarrow 3x – 5y + 3z + 13 = 0.\]
Khoảng cách từ D đến mp[ABC] là: \[h = {{\left| {3.1 – 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\].d] Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {CD} = \left[ { – 4, – 3,5} \right]\] nên có phương trình:\[ – 4x – 3y + 5z + d = 0.\]
Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu [S] khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \[I\left[ {1,2, – 1} \right]\] của mặt cầu[S] tới mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] bằng 5, tức là:
\[{{\left| { – 4.1 – 3.2 – 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \Leftrightarrow {{\left| { – 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\]
Vậy \[\left[ \alpha \right]: – 4x – 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2 = 0.\]
e] Mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {1,2, – 1} \right]\], mp[Oxy] có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp[Oxy] là \[{d_1} = \left| { – 1} \right| = 1 < R\] nên [S] cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \[{r_1} = \sqrt {{R^2} – d_1^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\]
Tương tự mp[Oyz] có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp[Oyz] là \[{d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\] nên [S] cắt mp[Oyz] theo đường tròn có bán kính là \[{r_2} = \sqrt {{R^2} – d_2^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\]
Tương tự mp[Oxz] có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp[Oxz] là \[{d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\] nên [S] cắt mp[Oyz] theo đường tròn có bán kính là \[{r_3} = \sqrt {{R^2} – d_3^2} = \sqrt {25 – 4} = \sqrt {21} .\]
15:02:1528/06/2022
Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không phải dạng toán có thể làm khó với các em, tuy nhiên việc giải bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận trong cách giải hệ 4 phương trình bậc nhất 4 ẩn.
Nếu các em chưa nắm chắc cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D như thế nào? thì các em hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán về mặt cầu trong không gian Oxyz cực hay
I. Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
Để viết phương trình mặt cầu [S] đi qua 4 điểm A, B, C, D ta thực hiện các bước sau:
• Bước 1: Gọi I[a; b; c] là tâm của mặt cầu [S]
• Bước 2: Lập hệ pt dựa vào tính chất IA = IB = IC = ID
• Bước 3: Giải hệ pt tìm được tâm I, bán kính R = IA
• Bước 4: Viết pt mặt cầu [S] có tâm I bán kính R
II. Ví dụ viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A[1; 2; -4], B[1; -3; 1] , C[2; 2; 3] và D[1; 0 ; 4].
* Lời giải:
Có thể giải theo 2 cách:
* Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc
- Gọi I[a;b;c] là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:
⇒ Mặt cầu [S] có tâm I[-2;1;0] và bán kính
[x + 2]2 + [y - 1]2 + z2 = 26
* Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát
- Gọi phương trình mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 , [a2 + b2 + c2 - d > 0].
- Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu [S] nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:
- Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:
[x + 2]2 + [y - 1]2 + z2 = 26
* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm: A[2; 0; 0], B[1; 3; 0], C[-1; 0; 3], D[1; 2; 3].
* Lời giải:
- Gọi I[a;b;c] là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Khi đó, ta có:
Vậy I[0;1;1]
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu tâm I bán kính R đi qua bốn điểm A, B, C, D có phương trình là:
x2 + [y - 1]2 + [z - 1]2 = 6
Hy vọng với bài viết Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
Mặt cầu [S] đi qua bốn điểm \[M\left[ 2;2;2 \right],\,\,N\left[ 4;0;2 \right],\,P\left[ 4;2;0 \right],\,\,Q\left[ 4;2;2 \right]\] thì tâm I của [S] có tọa độ là :
A.
\[\left[ -1;-1;0 \right]\]
B.
C.
D.