Toán lớp 10 Bài 3: phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
|
Phương pháp giải Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức. Ví dụ 1:Giải các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 4y = 3\\7x - 9y = 8\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right.\) Hướng dẫn:a) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 4}\\7&{ - 9}\end{array}} \right| = - 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\8&{ - 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\) Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { - \frac{5}{{17}}; - \frac{{19}}{{17}}} \right)\) b) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ - 4}\end{array}} \right| = - 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ - 4}\end{array}} \right| = - 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = - 39\) Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\) Ví dụ 2:Giải các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y - 5) = xy\\(x - 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x - y}} = - 7\\\frac{{5x - y}}{{y - x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\) Hướng dẫn:a) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy - 5x + 3y - 15 = xy\\xy + 5x - 2y - 10 = xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5x + 3y = 15}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\) b) Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \pm \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (2) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\) c) ĐKXĐ: \(x \ne y\) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) = - 7\left( {x - y} \right)\\3\left( {5x - y} \right) = 5\left( {y - x} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 4y = 0}\\{20x - 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn) Vậy hệ phương trình vô nghiệm. DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNPhương pháp giải: Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\) \( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\) \( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\) Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ. Ví dụ:Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\) Hướng dẫn:Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\4&{ - m}\end{array}} \right| = 4 - {m^2} = \left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)\) \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 6}&{ - m}\end{array}} \right| = - 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 - m} \right)\left( {2m + 3} \right)\)
+ Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x - y = 4 \Leftrightarrow y = 2x - 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\). + Khi \(m = - 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm Kết luận \(m \ne 2\) và \(m \ne - 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\) \(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\). \(m = - 2\) hệ phương trình vô nghiệm PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU Ẩn I - ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn X, y có dạng tổng quát là ' ax + by - c ■ (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. 1 Cặp (1 ; -2) có phải là một nghiệm của phương trình 3x -2y = 7 không ? Phương trình đó còn có những nghiệm khác nữa không ? CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình Ox + Oy = c. Nếu c 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0 ; y0) đều là nghiệm. b) Khi b * 0, phương trình ax + by = c trở thành a c (2) Cặp số (.v0 ; }’o) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(xq ; >’q) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô sô' nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ịl) là một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình 3x - 2y = 6. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là UịX + bịy = Cj (3) aọx + b^y = |
