trong không gian , khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng:

1. Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song với nhau với phương trình lần lượt là [α]: ax + by + cz + d1 = 0 và [β]:  ax + by + cz + d2 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này được xác định theo công thức

d[[α]; [β]] = $\frac{{\left| {{d_1} – {d_2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ với d1 ≠ d2.

Chú ý: Nếu d1 = d2. => Hai mặt phẳng trùng nhau => d[[α]; [β]] = 0

2. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, có hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là [α]: x – 2y + z + 1 = 0 và [β]:  x – 2y + z + 3 = 0. Hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng?

Hướng dẫn giải

Ta thấy hai mặt phẳng này song song với nhau nên khoảng cách giữa 2 mặt phẳng được xác định theo công thức

d[[α]; [β]] = $\frac{{\left| {1 – 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2}} + {1^2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Kết luận: d[[α]; [β]] = $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Bài tập 2. Hai mặt phẳng [α] // [β], cách nhau 3. Biết phương trình của mỗi mặt phẳng là [α]: 2x – 5y – 3z + 1 = 0 và [β]:  ax + by + cz + d2 = 0. Hãy xác định các hệ số của phương trình mặt phẳng [β].

Hướng dẫn giải

Vì [α] // [β] => a = 2; b = – 5 và c = – 3

Mặt khác: d[[α]; [β]] = 3 => $\frac{{\left| {1 – {d_1}} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { – 5} \right]}^2} + {{\left[ { – 3} \right]}^2}} }} = 3 \Leftrightarrow {d_1} = 3\sqrt {38} – 1$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng [β]: 2x – 5y – 3z + [$3\sqrt {38} – 1$] = 0

Vậy là bài viết đã giúp bạn biết được công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng, cách áp dụng công thức. Hy vọng qua bài viết này bạn sẽ nhớ chính xác công thức, biết cách áp dụng thành thạo. Đừng quên quay lại trang toanhoc.org để xem các bài viết hữu ích tiếp theo về Toán Học!

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $[\alpha ]:ax + by + cz + d = 0$ và $[\beta ]:ax + by + cz + D = 0$ $[d \ne D].$ ta dùng công thức tính dưới đây.

Công thức: $d[[\alpha ];[\beta ]]$ $ = d[A;[\beta ]]$ $ = \frac{{|d – D|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ với $A \in [\alpha ].$

Bài tập áp dụng:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $[P]:x + y + 3z + 1 = 0$ và $[Q]:x + y + 3z + 5 = 0.$Tính khoảng cách $d$ giữa hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q].$

A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$

B. $d = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$

C. $d = 2\sqrt {11} .$

D. $d=11.$

Lời giải:
Chọn $M[ – 1;0;0] \in [P]$ $ \Rightarrow d = d[[P];[Q]]$ $ = \frac{{| – 1 + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }}$ $ = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $[S]$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $[P]:x + 2y + 2z + 1 = 0$ và $[Q]:x + 2y + 2z + 7 = 0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $[S].$

A. $R=6.$

B. $R=2.$

C. $R=1.$

D. $R=3.$

Lời giải:

Do $[P]//[Q]$ $ \Rightarrow R = \frac{1}{2}d[[P];[Q]]$ $ = \frac{1}{2}.\frac{{|1 – 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1.$

Chọn đáp án C.

Nhận xét: Mọi mặt cầu $[S]$ tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song $[P]$, $[Q]$ đều có bán kính $R$ bằng nhau và $R = \frac{1}{2}d[[P];[Q]].$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $[\alpha ]:2x + y + 2z + 1 = 0$ và $[\beta ]:2x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính tổng khoảng cách $d$ từ gốc tọa độ $O$ đến hai mặt phẳng $[\alpha ]$ và $[\beta ].$

A. $d = \frac{2}{3}.$

B. $d = \frac{4}{3}.$

C. $d=2.$

D. $d = \frac{1}{3}.$

Lời giải:

Ta có: $d[O;[\alpha ]] = \frac{{|1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}$ và $d[O;[\beta ]] = \frac{{|3|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1$ suy ra:

$d = {d_1} + {d_2} = \frac{4}{3}.$

Chọn đáp án B.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng $[P]:x + 2y + 2z + 2 = 0$ và $[Q]:x + 2y + 2z + 2m – 1 = 0$ bằng $1.$

A. $\{ 3\} .$

B. $\{ 3, – 3\} .$

C. $\{ 0,3\} .$

D. $\{ 0, – 3\} .$

Lời giải:

Chọn $M[ – 2;0;0] \in [P]$ $ \Rightarrow d[[P];[Q]]$ $ = d[M;[Q]]$ $ = \frac{{|2m – 3|}}{3}.$

Theo giả thiết: $\frac{|2 m-3|}{3}=1 \Leftrightarrow|2 m-3|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 m-3=3 \\ 2 m-3=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=3 \\ m=0\end{array}\right.\right.$

Chọn đáp án C.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A[1;1;1]$ và $B[2;1;-1].$ Gọi $\vec n = [1;a;b]$, $[a;b \in R]$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $[P]$ qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Tính $a + b.$

A. $2.$

B. $3.$

C. $-2.$

D. $-3.$

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên mặt phẳng $[P]$, ta có:

$d[B;[P]] = BH \le AB$ $ \Rightarrow d{[B;[P]]_{\max }} = AB.$

Vậy $[P]$ là mặt phẳng qua $A$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {AB} = [1;0; – 2].$

Suy ra $a = 0$ và $b = – 2$ $ \Rightarrow a + b = – 2.$

Chọn đáp án C.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A[1;1;0]$, $B[3;1; – 2]$, $C[0;2;0]$ và $D[ – 1;3;2].$ Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$?

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. Vô số.

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} = – 4 \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$không đồng phẳng.

Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Chọn đáp án C.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A[1;1;0]$, $B[3;1; – 2]$, $C[0;2;0]$ và $D[ – 1;3;2].$ Biết rằng qua $B$, $C$ có hai mặt phẳng cách đều $A$, $D.$ Tính tổng khoảng cách từ $O$ đến hai mặt phẳng đó.

A. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{5}.$

B. $\frac{{3\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

C. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

D. $\frac{{9\sqrt {10} + 7\sqrt 6 }}{{15}}.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1:Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Mặt phẳng $[P]$ qua $C[0;2;0]$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_p} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = [ – 2;2; – 4]$, có phương trình:

$[P]: – 2[x – 0] + 2[y – 2] – 4[z – 0] = 0$ $ \Leftrightarrow x – y + 2z + 2 = 0.$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I[0;2;1].$ Mặt phẳng $[Q]$ qua $C[0;2;0]$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = [ – 1; – 3;0]$, có phương trình:

$[Q]: – 1[x – 0] – 3[y – 2] – 0[z – 0] = 0$ $ \Leftrightarrow – x – 3y + 6 = 0.$

Vậy $d[O;[P]] + d[O;[Q]]$ $ = \frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$

Chọn đáp án B.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A[1;1;0]$, $B[3;1; – 2]$, $C[0;2;0]$ và $D[ – 1;3;2].$ Gọi $\vec n[1;b;0]$, $[b \in R]$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua $B$, $C$ và cách đều $A$, $D.$ Tính ${b^2}.$

A. $16.$

B. $1.$

C. $4.$

D. $9.$

Lời giải:

Kiểm tra được: $| \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] . \overrightarrow{A D}=-4 \neq 0 \Rightarrow A, B, C, D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:

+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$

Mặt phẳng $[P]$ qua $C[0;2;0]$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = [ – 2;2; – 4].$

+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$

Trung điểm $I$ của $AD$ là $I[0;2;1].$

Mặt phẳng $[Q]$ qua $C[0;2;0]$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = [ – 1; – 3;0].$

Theo giả thiết $\vec n[1;b;0]$ $ = {\vec n_Q} = [ – 1; – 3;0]$ $ \Rightarrow b = 3.$

Vậy ${b^2} = 9.$

Chọn đáp án D.

• Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian

• Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Chứng minh các BĐT về tổng, tích của dãy số bằng ph­­ương pháp làm trội, làm giảm, phương pháp quy nạp

• Ví dụ tính tích phân hàm số lượng giác có lời giải

• Cách tính Tích phân hàm số hữu tỷ

• Hà Nội quyết định bỏ môn thi thứ 4 tuyển sinh lớp 10 năm học 2020 – 2021

• 60 từ vựng tiếng Anh lớp 3 có phiên âm đầy đủ