Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm cực trị

Để viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, cách hay dùng nhất là ta lần lượt thay các giá trị các điểm này vào phương trình tổng quát của đường tròn, sau đó lập thành hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn. Giải hệ này thay các giá trị tìm được vào phương trình đường tròn, ta được kết quả. Cụ thể:

* Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0. (*) (với điều kiện a2 + b2 - c > 0).

- Từ điều kiện bài toán: điểm A, B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A, B và C vào pt(*) ta được hệ ba phương trình bậc nhất với ẩn a; b; c.

- Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C).

» xem thêm tại hay học hỏi.vn: Các dạng toán phương trình đường tròn lớp 10

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:

- Giải hệ trên ta được 

⇒ Đường tròn (C) là: 

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1).

* Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua 3 điểm  A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1).

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Vì các điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C).

A thuộc (C) nên: 4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 (1)

B thuộc (C) nên: 4+ 25 - 4a - 10b + c = 0 (2)

C thuộc (C) nên: 4 + 1 + 4a - 2b + c = 0 (3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được: a = 0; b = 3 và c = 1

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng:

 x2 + y2 - 6y + 1 = 0

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

* Lời giải:

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (với a2 + b2 – c > 0)

Vì 3 điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C) nên có:

Vậy PT đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2x – 2y - 8 = 0

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2)

* Lời giải:

- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là (C):

 x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (với a2 + b2 - c > 0)

Do ba điểm A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2) đều thuộc đường tròn, nên ta có:

Vậy đường tròn (C) cần tìm là: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

* Lưu ý: 1. Ở ví dụ trên, việc gọi phương trình đường tròn thay vì x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ta cũng có thể gọi pt đường tròn có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 và kết quả bài toán cũng không thay đổi.

2. Sau khi viết được phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, các em có thể xác định tâm của đường tròn, bán kính của đường tròn,... như vậy một số bài toán yêu cầu như: 

- Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm;

- Tâm của đường tròn qua 3 điểm có thuộc đường thẳng (d) cho trước?

- Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm

thì trước tiên, các em cần viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm.

Như vậy với Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm và ví dụ cụ thể ở trên, HayHocHoi hy vọng bài viết giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Cho đường tròn ( C) đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (*)

( với điều kiện a2 + b2 - c > 0).

2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c.

3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ?

A. x2 + y2 + 8x - 2y - 9 = 0    B. x2 + y2 - 3x - 16 = 0

C. x2 + y2 - x + y = 0    D. x2 + y2 - 4x - 4y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án:

Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A.

Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B.

Điểm B(3; 4) không thuộc đường tròn C.

Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

A. (0; 0)    B. (1; 0)    C. (3; 2)    D. (1; 1)

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 –c > 0)

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên 

Vậy tâm I( 1; 1)

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0).

A. 5    B. 3    C. √6,25    D. √8

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên 

Vậy bán kính R = 

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

A. x2 + y2 - 2x - y + 20 = 0    B. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 20

C. x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0    D. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

Lời giải

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0 )

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó?

A. 5    B. 6    C. 

Lời giải

Gọi tam giác nội tiếp đường tròn ( C) có phương trình là

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0 )

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

⇒ Bán kính đường tròn ( C) là R = 

Chọn C.

Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x - y + 3 = 0    B. x - y - 3 = 0    C. x + 2y - 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình ( C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0 ) . Tâm I (a; b)

Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng

x - y - 3 = 0

Chọn B.

Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

A. 

Lời giải

Ta có: AB→( 1; 3)và AC→(-3; 1 )

⇒ AB→. AC→ = 1.(-3) + 3.1 = 0

⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.

⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.

+ Tọa độ tâm I- trung điểm của BC là:

⇒ Khoảng cách OI = 

Chọn C.

Ví dụ 8: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x - y + 3 = 0.    B. x + y - 3 = 0    C. x - y - 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) .

Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng

x - y + 3 = 0 thỏa mãn.

Chọn A.