Bài tập khai triển maclaurin có lời giải chi tiết

3. Ứng dụng:

3.1 Viết khai triển Taylor hoặc Maclaurin của một hàm số:

Cách 1: Dủng công thức tổng quát, tính đạo hàm của hàm số f tại điểm hoặc (Maclaurin) đến đạo hàm cấp n, rồi áp dụng công thức.

Cách 2: Dùng tính chất, hoặc đổi biến số thích hợp để đưa về những dạng đã có công thức khai triển.

Ví dụ 1: Viết khai triển Maclaurin của hàm số đến số hạng cấp 5.

Ở đây, dù hàm số f(x) có dạng nhưng ta không thể áp dụng công thức khai triển của được vì công thức khai triển của chỉ áp dụng trong lân cận của trong khi

Vậy ta chỉ có thể tính đạo hàm của hàm số đến cấp 5.

Ta có:

–

–

–

–

–

Vậy:

Do đó:

Ví dụ 2: Khai triển Maclaurin của hàm số đến số hạng

Cách 1: Ta có:

Khi thì nên ta có thể áp dụng công thức khai triển của

Khi đó:

Do đó:

(a)

(d0 bậc thấp nhất của sinx là x nên có bậc vượt quá 6)

Mà:

(b)

(c)

(d)

Thế (b), (c), (d) vào (a), ta có:

Cách 2: Ta có:

do đó:

Ta đặt:

Khi đó: bậc thấp nhất của X là bậc 2.

Và: (1) (vì bậc thấp nhất của là bậc 8 vượt quá bậc 6)

Ta lại có:

(2)

(3)

(4)

(5)

Thế (2), (3), (4), (5) vào (1) ta có:

(6)

Nhận xét:

Nếu lấy đạo hàm 2 vế của (6) ta có:

Nghĩa là:

Nghĩa là ta có công thức khai triển Maclaurin của hàm đến bậc 5.

Ví dụ 3: Tìm khai triển Maclaurin của hàm số đến bậc 4. Suy ra

Giả sử (*)

Ta cần xác định các hệ số a, b, c, d, e.

Từ (*) ta có: (**)

Khai triển 2 vế của (**) đến bậc 4 ta có:

Ngắt bỏ các số hạng có lũy thừa lớn hơn 4, ta có:

Hay:

Đồng nhất hệ số 2 vế ta có:

Vậy:

Theo công thức khai triển thì hệ số của trong khai triển là:

Vậy liên quan đến hệ số của . Do đó:

Trang: 1 2 3 4