Bài 33 trang 10 sbt hình học 10 nâng cao

LG a

Hãy xác định các điểm \(G, P, Q, R, S\) sao cho:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0;\\2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 ;\\\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {RA} - \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 ;\\5\overrightarrow {SA} - 2\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \,\,;\,\,\,\,\,\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\)

\(\Leftrightarrow \,\,G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\(2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PD} = \overrightarrow 0 \)(\(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\)).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PD} = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(P\) là trung điểm của trung tuyến \(AD\).

\(\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0\)

\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QA} + \overrightarrow {QB} + 2(\overrightarrow {QB} + \overrightarrow {QC} ) = \overrightarrow {0\,} \)

\(\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {QE} + 4\overrightarrow {QD} = \overrightarrow 0 \) (\(E\) là trung điểm cạnh \(AB, D\) là trung điểm của \(BC\)) \( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QE} + 2(\overrightarrow {QE} + \overrightarrow {ED} ) = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {EQ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {ED} \).

\(\overrightarrow {RA} - \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CR} = \overrightarrow {BA} .\)

\(\begin{array}{l}5\overrightarrow {SA} - 2\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0\\ \Leftrightarrow \,\,5\overrightarrow {SA} - 2(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} ) - (\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AS} = - \overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\end{array}\)

LG b

Với điểm \(O\) bất kì và với các điểm \(G, P, Q, R, S\) ở câu a), chứng minh rằng :

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\overrightarrow {OP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\\overrightarrow {OQ} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\,\overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \,\,;\\\overrightarrow {OS} = \dfrac{5}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\end{array}\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Xuất phát từ câu a), hãy viết mỗi vec tơ thành hiệu hai vec tơ có điểm đầu là O.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
+ )\,\,\,\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) - 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\
+ )\,\,\,2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OP} } \right) + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - 4\overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OP} = 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\
+ )\,\,\,\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OQ} + 3\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OQ} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OQ} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} - 6\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 6\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OQ} = \frac{1}{6}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\
+ )\,\,\,\overrightarrow {RA} - \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OR} - \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OR} } \right) + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OR} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) - \overrightarrow {OR} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
+ )\,\,\,5\overrightarrow {SA} - 2\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 5\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OS} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OS} } \right) - \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OS} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left( {5\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right) - 2\overrightarrow {OS} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {OS} = 5\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OS} = \frac{5}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OC}
\end{array}\)