- Bài IV.1
- Bài IV.2
- Bài IV.3
- Bài IV.4
- Bài IV.5
Bài IV.1
Cho hàm số \[y = - 3{x^2}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A] Khi \[0 < x < 15,\] hàm số đồng biến
B] Khi \[-1 < x < 1,\] hàm số đồng biến
C] Khi \[-15 < x < 0,\] hàm số đồng biến
D] Khi \[-15 < x < 1,\] hàm số đồng biến
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Hàm số \[y=ax^2\,[a\ne 0]\] với \[a 0 \]
Suy ra \[\displaystyle \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \]
Do đó, phương trình [*] có hai nghiệm: \[\displaystyle {x_1} = {{1 + 5} \over {2.1}} = 3 \]
và \[\displaystyle {x_2} = {{1 - 5} \over {2.1}} = - 2 \]
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:\[\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = 3;{x_3} = - 2\]
c] \[\displaystyle 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left[ {1 - 3\sqrt 2 } \right]{x^2} \]\[\displaystyle - 3x - 4 = 0 \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + {x^2} \]\[\displaystyle - 3\sqrt 2 {x^2} - 3x - 4 = 0 \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt 2 {x^2} + x} \right]^2} \]\[\displaystyle - 3\left[ {\sqrt 2 {x^2} + x} \right] - 4 = 0 \]
Đặt \[\displaystyle \sqrt 2 {x^2} + x = t,\]ta có phương trình: \[\displaystyle {t^2} - 3t - 4 = 0\]
Phương trình này có:\[\displaystyle a - b + c =1 - \left[ { - 3} \right] + \left[ { - 4} \right] = 0\]
Suy ra có hai nghiệm: \[\displaystyle {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 4} \over 1} = 4\]
Với\[\displaystyle t = - 1 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x + 1 = 0 \,[1]\]
Ta có: \[\displaystyle \Delta = 1 - 4.\sqrt 2 .1 = 1 - 4\sqrt 2 < 0\] nên phương trình [1] vô nghiệm
Với\[\displaystyle t = 4 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x = 4\]\[\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + x - 4 = 0\,[2]\]
Ta có: \[\displaystyle \Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left[ { - 4} \right] = 1 + 16\sqrt 2 > 0 \]
\[\displaystyle \sqrt \Delta = \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } \]
Phương trình [2] có hai nghiệm:
\[\displaystyle {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} \]\[\displaystyle = {{ - \sqrt 2 + \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \]
\[\displaystyle {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} \]\[\displaystyle = {{ - \sqrt 2 - \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \]
Phương trình đã cho có hai nghiệm.
d] \[\displaystyle \left[ {2{x^2} + 7x - 8} \right]\left[ {2{x^2} + 7x - 3} \right]\]\[\displaystyle - 6 = 0 \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {\left[ {2{x^2} + 7x - 3} \right] - 5} \right]\left[ {2{x^2} + 7x - 3} \right]\]\[\displaystyle - 6 = 0 \]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {\left[ {2{x^2} + 7x - 3} \right]^2} - 5\left[ {2{x^2} + 7x - 3} \right] \]\[\displaystyle - 6 = 0 \]
Đặt \[\displaystyle 2{x^2} + 7x - 3 = t,\]ta có phương trình:\[\displaystyle {t^2} - 5t - 6 = 0\]
Phương trình này có: \[\displaystyle a - b + c = 1 - \left[ { - 5} \right] + \left[ { - 6} \right] = 0\] nên có hai nghiệm:
\[\displaystyle {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 6} \over 1} = 6\]
Với \[\displaystyle t = -1\] ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& 2{x^2} + 7x - 3 = - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 2 = 0 \cr
& \Delta = {7^2} - 4.2.\left[ { - 2} \right] = 49 + 16 = 65 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {65} \cr
& {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4} \cr} \]
Với \[\displaystyle t = 6,\] ta có:\[\displaystyle 2{x^2} + 7x - 3 = 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 9 = 0\]
Phương trình này có :\[\displaystyle a + b + c = 2 + 7 + \left[ { - 9} \right] = 0\] nên có hai nghiệm:
\[\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = - {9 \over 2}\]
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
\[\displaystyle {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4};{x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4};\]\[\displaystyle {x_3} = 1;{x_4} = - {9 \over 2}\]
Bài IV.4
Cho phương trình: \[{x^2} + px + 1 = 0\]có hai nghiệm. Xác định \[p\] biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng \[254.\]
Phương pháp giải:
Phương trình \[ax^2+b x+c=0\,[a\ne 0\] có hai nghiệm \[x_1;x_2\] khi \[\Delta \ge 0\]
Theo hệ thức Vi-et ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho có hai nghiệm \[x_1;x_2\] thì\[\Delta \ge 0\]
Ta có: \[ \Delta = {p^2} - 4 \]
\[ \Rightarrow {p^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} \ge 4\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
p > 2\\
p < - 2
\end{array} \right.\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:\[{x_1} + {x_2} = - p;{x_1}{x_2} = 1\]
Theo bài ra ta có:\[{x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} - 2.1 = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} = 256 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{p = 16} \cr
{p = - 16} \cr} } \right. \cr} \]
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy với \[p = 16\] hoặc \[p = -16\] thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn\[{x_1}^2 + {x_2}^2 = 254.\]
Bài IV.5
Cho phương trình: \[\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\]. Tìm các giá trị của \[\displaystyle m\] để phương trình:
a] Có 4 nghiệm phân biệt
b] Có 3 nghiệm phân biệt
c] Có 2 nghiệm phân biệt
d] Có một nghiệm
e] Vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Đặt \[\displaystyle x^2=t\ge 0\], đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn rồi biện luận số nghiệm theo \[\displaystyle \Delta, \,S, \, P.\]
Lời giải chi tiết:
Cho phương trình: \[\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\] [1]
Đặt \[\displaystyle {x^2} = t \,[t \ge 0],\]ta có phương trình: \[\displaystyle {t^2} - 13t + m = 0\] [2]
\[\displaystyle \Delta = 169 - 4m\]
a] Phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình [2] có hai nghiệm \[\displaystyle t_1,t_2\] dương phân biệt. Khi đó:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 169 - 4m > 0\\
{t_1} + {t_2} = 13 > 0\\
{t_1}.{t_2} = m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{{169}}{4}\\
m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{{169}}{4}
\end{array}\]
b] Phương trình [1] có ba nghiệm phân biệt khi phương trình [2] có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng \[\displaystyle 0\] khi:
\[\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < {{169} \over 4}} \cr
{m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.\]
c] Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt khi phương trình [2] có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm [tức hai nghiệm trái dấu]
+] Phương trình [2] có một nghiệm số kép khi và chỉ khi\[\displaystyle \Delta = 169 - 4m = 0\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}>0\] [thỏa mãn]
+] Phương trình [2] có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi
\[\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < {{169} \over 4}} \cr
{m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.\]
Vậy với \[\displaystyle m = {{169} \over 4}\]hoặc \[\displaystyle m < 0\] thì phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt.
d] Phương trình [1] có một nghiệm khi phương trình [2] có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình [2] có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.
Theo câu c] ta thấy phương trình [2] có nghiệm số kép\[\displaystyle {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0\] [loại]
Nếu phương trình [2] có một nghiệm \[\displaystyle t_1= 0\] thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 \]\[\displaystyle \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0\]
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình [1] chỉ có 1 nghiệm.
e] Phương trình [1] vô nghiệm khi phương trình [2] có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.
Nếu phương trình [2] có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 > 0\]vô lý
Vậy phương trình [1] vô nghiệm khi phương trình [2] vô nghiệm.
Suy ra:\[\displaystyle \Delta = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}\]