Bài tập 5 sgk trang 10 giải tích 12 năm 2024
|
Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12 Bài 5 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh các bất đẳng thức sau: Bài giải:
Ta có: y’ = -1= > 0 với ∀ x ∈ R. ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2) ⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0 hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2) ⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).
Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ ⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈ ⇒ y = g'(x) đồng biến trên ⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈ Với dạng bài tập ở bài 5 chứng minh \(g(x)>h(x)\) với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau: Bước 1: \(g(x)>h(x)\Leftrightarrow g(x)-h(x)>0.\) Bước 2: Đặt \(f(x)=h(x)-g(x)\), khảo sát tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\). Bước 3: Tìm x để \(f(x)=0\) (thường là hai đầu mút của miền đang xét). Bước 4: Từ tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) đưa ra kết luận cho bài toán. Lời giải:Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5: Câu a: Để chứng minh \(tanx >x\) với mọi \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta chứng minh tanx - x > 0 với mọi \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và \(x=\frac{\pi}{2}.\) Dễ thấy: \(tan(0)-0=0.\) Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau: Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\) \(f'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\). \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\). Vậy với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta có \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow tanx > x\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\). Câu b: Chứng minh \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\) Tương tự câu a. Xét hàm số \(g(x) = \tan x - x - \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) có đạo hàm: \(g'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} = {\tan ^2}x - {x^2}\) \(= (tanx - x)(tanx + x) > 0,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (Theo câu a) \(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\) Bảng biến thiên: .png) Vậy hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Vậy với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta có \(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) \Rightarrow tanx > x + \frac{{{x^3}}}{3}\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\). Nhận xét:Với dạng bài tập chứng minh f(x)>0 với x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) và f(b) đề khác không, hoặc f(x) không xác định tại a và b. Thì f(x)=0 tại x0, với x0 là nghiệm của phương trình f'(x)=0, ta không cần mở rộng khoảng đang xét. Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài 5 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh các bất đẳng thức sau: Lời giải:
Ta có: y’ = > 0 với ∀ x ∈ R. ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2) ⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0 hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2) ⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).
Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ ⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈ ⇒ y = g'(x) đồng biến trên ⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈ Kiến thức áp dụng + Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định: Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. + |
