Bất phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ

Nguyễn Phi Hùng - Võ Thành VănĐại học Khoa học Huế**************Phương pháp đặt ẩn phụtrong giải phương trình vô tỷA. Lời nói đầu Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn .Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụTiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm* Nhận xét :- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :+ PP Lượng giác hoá+ PP dùng ẩn phụ không triệt để+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệwww.VNMATH.com2B. Nội dung phương phápI. Phương pháp lượng giác hoá :1. Nếu |x|athì ta có thể đặt tax sin,t2;2hoặc;0,costtaxVí dụ 1 : Giải phương trình: ]121[1122xxx Lời giải : ĐK :|1|x Đặt2;2,sinttxPhương trình đã cho trở thành :2cos23sin22sinsin2cos2]cos21[sincos1tttttttt346]12[2123sin02cos0]123sin2[2cosktktttttKết hợ p với điều kiện của t suy ra :6tVậy phương trình có 1 nghiệm :216sin xVí dụ 2 : Giải phương trình: 3132]1[]1[112332xxxxLời giải : ĐK : 1||xKhi đó VP > 0 .Nếu 0]1[]1[:0;133 xxxNếu0]1[]1[:1;033 xxx .Đặt txcos, với2;0tta có :tttttttsin2sin211cos62sin22sin2cos2cos2sin6233 61cos0sin21cos6  tttVậy nghiệm của phương trình là61xVí dụ 3 : Giải phương trình: xxxxxx212121212121Lời giải : ĐK :21|| xĐặt ;0,cos2ttxphương trình đã cho trở thành : 0cos02sinsinsin4sin122cot2tan22cos2sin232ttttttantttVậy phương trình có nghiệm duy nhất 0xwww.VNMATH.com3Ví dụ 4 [THTT]: Giải phương trình: 233 xxx [1]Hướng dẫn :Nếu2x: phương trình không xác định .Chú ý với 2xta có :24323 xxxxxxxVậy để giải phương trình [1] ta chỉ cần xét với 2;2xĐặt;0,cos2ttxkhi đó phương trình đã cho trở thành :2cos3costt2. Nếu ax|| thì ta có thể đặt :0,2;2,sin tttax hoặc  2;;0,cos tttax Ví dụ 5 : Giải phương trình: 111122xxLời giải : ĐK :1||xĐặt2;2,sin1ttxPhương trình đã cho trở thành : 0sin1coscoscotcos1cot1sin122tttanttanttkttt12212sin0coskết hợp với điều kiện của t suy ra12tVậy phương trình có 1 nghiệm : 13212sin1xTổng quát: Giải phương trình axax 1122Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2932xxxLời giải : ĐK : 3||xĐặt  2,;0,cos3 tttx , phương trình đã cho trở thành :234cos3412sin2sin22sin122sin1cos12xtttttt[thoả mãn]Tổng quát: Giải phương trình: baxaxx 22 với ba, là các hằng số cho trước3. Đặt 2;2,tanttxđể đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :Ví dụ 7 : Giải phương trình: 0333323 xxx [1]www.VNMATH.com4Lời giải :Do 31xkhông là nghiệm của phương trình nên [1] 331323xxx[2]Đặt2;2,tanttx , Khi đó [2] trở thành :3933tanktt Suy ra [1] có 3 nghiệm :97tan;94tan;9tanxxxVí dụ 8 : Giải phương trình:  22222121211xxxxxxLời giải : ĐK : 1;0xxĐặt4;0,2;2,tan tttx , phương trình đã cho trở thành :012cos2cos.sin202cos.sin21sin211cos14sin22sin1cos1 tttttttttt   262221sin1sin0sin0sin2sin1sin0sin2sin21sin2222ktkttttttttttKết hợp với điều kiện suy ra : 6tVậy phương trình có 1 nghiệm :316tan x4. Mặc định điều kiện :ax||. Sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :Ví dụ 9 : Giải phương trình: xx 2163Lời giải :Phương trình đã cho tương đương với : 1683 xx[1]Đặt;0,costtx, Lúc đó [1] trở thành : Zkktt 329213cosSuy ra [1] có tập nghiệm :97cos;95cos;9cosSVậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là SII. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để* Nội dung phương pháp :Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :Đưa phương trình về dạng sau :xxPxfxQxf khi đó : Đặt 0,  ttxf . Phương trình viết thành :0.2 xPxQttĐến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình txf  sau khi đã đơn giản hóa và kết luận Ví dụ 10 :Giải phương trình 169244222 xxx [1]Lời giải : ĐK : 2||xwww.VNMATH.com5Đặt 242 xt Lúc đó :[1]  xxxxxxxx 8421648169216421642422222 Phương trình trở thành :0816422 xxttGiải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được :42;221xtxtDo2||x nên 02tkhông thỏa điều kiện0tVới 2xt thì :  324480242222xxxxxx[ thỏa mãn điều kiên 2||x]Ví dụ 11 :Giải phương trình 361122 xxxLời giải : ĐK : 1xĐặt 01  xt ,phương trình đã cho trở thành :xtttxt66036122* Vớixtt66 , ta có :66tx[vô nghiệm vì :0;0VPVT]* Vớixtt66 , ta có : tx]6[6Do 6xkhông là nghiệm của phương trình nên : xxxt66166Bình phương hai vế và rút gọn ta được : 3x[thỏa mãn]Tổng quát: Giải phương trình:222 baxbaxx Ví dụ 12 : Giải phương trình: 12831112322 xxxxLời giải :Đặt1122 tx Phương trình đã cho viết thành :033838313132222 xxtxtxtxtxtTừ đó ta tìm được 3xt hoặc xt 31Giải ra được : 0x* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thểlà ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .Ví dụ 13 : Giải phương trình: 3420073420082 xxxxLời giải : ĐK : 43xĐặt 034  tx phương trình đã cho trở thành : 02007200822 txtxGiải ra : txhoặc 2008tx [loại]* txta có :310342xxxxVậy3,1xx là các nghiệm của phương trình đã cho .Ví dụ 14 :Giải phương trình:  12211433 xxxxwww.VNMATH.com6Lời giải : ĐK : 1xĐặt13 xt,Phương trình đã cho trở thành 01214214121222 xtxttxxtPhương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích1. Dùng một ẩn phụVí dụ 15 : Giải phương trình: 49232 xx [1]Lời giải : ĐK :23xĐặt 023 tx phương trình [1] trở thành :  2013001349233322tttttttt[2] giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :Đặt;0,cos2ttx để đưa về dạng :213cos tTổng quát: Giải phương trình:22aaxx với a là hắng số cho trước .Ví dụ 16 :Giải phương trình:    16223323xxxx Lời giải : ĐK :2xViết lại [1] dưới dạng :     20222333 xxxxĐặt 02  xt , Khi đó [2] trở thành :   2222020232323xxxxtxtxtxtxtxtx3222084002022xxxxxxxxVậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :322,2  xxVí dụ 17 : Giải phương trình : 015  xxLời giải : ĐK :6;1x[1]Đặt 01  xt [2] , phương trình đã cho trở thành :552 tt [3]054020102224 tttttttĐối chiếu với hai điều kiện [1] và [2] thay vào và giải ra :21711 xVí dụ 18 : Giải phương trình: 2112006 xxxLời giải : ĐK :1;0x [1]Đặt 101  txt, Khi đó :2221,1 txtx ,phương trình đã cho trở thành :010031212007111120061222222222 ttttttttttVì 10t nên 010032 ttDo đó phương trình tương đương với :101ttDo vậy 0x [thỏa [1]]www.VNMATH.com72. Dùng 2 ẩn phụ .Ví dụ 19 :Giải phương trình: 391215422 xxxxxLời giải :Đặt 12;15422 xxbxxa01392222 babababaxba65560312923931010xxxxaxbaxbabaVậy tập nghiệm của pt là 6556;0;31SVí dụ 20 : Giải phương trình: 8323232 xxx [1]Lời giải : ĐK : 212xx[*] Đặt 2,422 xvxxuta có :2322 xxvuLúc đó [1] trở thành :vuvuvuuvvu 20223222[Do 02vu]Tìm x ta giải :133046224222 xxxxxx [Thỏa [*]]Vậy [1] có 2 nghiệm : 1332,1xVí dụ 21 : Giải phương trình: 1520914522 xxxxxLời giải : ĐK : 5xChuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới ,ta có:        045454354215410524951222 xxxxxxxxxxxxx [2]Đặt 0,,4,542 vuxvxxu,thì :[2]  0562540953203205322222xxxxvuvuvuvuuvvuGiải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 8;261521 xxVí dụ 22 : Giải phương trình:     424343421111 xxxxxxxx Lời giải : ĐK : 10xĐặt :10014444vuvuxvxuTừ phương trình ta được :   1001232322vuvuvuvuvuvuuvvuvu[ Do 0vu ]từ đó ta giải ra được các nghiệm :21;1;0  xxx3. Dùng 3 ẩn phụ .Ví dụ 23 : Giải phương trình: 21881732323 xxxxxwww.VNMATH.com8Lời giải :Đặt 3 23 2318,8,17  xxcxxbxata có :     2818817182223333xxxxxcbacbacbaTừ [1] và [2] ta có :033333 accbbacbacbaNên :   accbbaaccbba 0từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :9;1;0;1SVí dụ 24 : Giải phương trình: 034925133333 xxxx [1]Lời giải :Đặt33392,5,13  xcxbxa,ta có: 34333 xcbakhi đó từ [1] ta có :03333 accbbacbacbaGiải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình :58;4;3  xxxIV. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .a. Dùng một ẩn phụ .Ví dụ 25 : Giải phương trình: 552 xxLời giải : ĐK : 5xĐặt0,5  txt Ta có :52 tx  221122111505015055522222222xxtxtxtxtxtxtxtxxttxtxxttxTổng quát: Giải phương trình: aaxx 2b. Dùng 2 ẩn phụ .* Nội Dung : cxfbxfanm* Cách giải :Đặt : nmxfbvxfau  ,Như vậy ta có hệ :bavucvunmVí dụ 26 : Giải phương trình: 5405744 xx [1]Lời giải : ĐK : 5740xĐặt4440,,57  xvxuKhi đó :[1]   05281025972259752222244uvuvvuvuuvvuvuvuvuwww.VNMATH.com92332654465vuvuuvvuuvuvvu [Do hệ445uvvuvô nghiệm]Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .Ví dụ 27 :Giải phương trình: 442112  xxLời giải : ĐK : 120  xĐặt :vxux412 với 4120120vu [*]Như vậy ta được hệ :]1[12212112214244424vvvuvuvuGiải [1] :[1]  023241021102112,142,1422422 vvvvvvVậy 2,1v thỏa [*] chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .Ví dụ 28 : Giải phương trình:  221147xxx Lời giải :Đặt : [*]147111471471104444yyyzyyxzyzyxzxyGiải phương trình [*],ta có:169043004342xxyyyy2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứngDạng 1 :Giải phương trình: nnbaxabx Cách giải: Đặt nbaxt  ta có hệ :axbtatbxnn Việc giải hệ này đã trở nên dễ dàngVí dụ 29 : Giải phương trình: 331221  xxLời giải :Đặt : 312  xt ta có hệ :     0221221212122333333txtxtxtxxttxtxxttx     251104011202211012222222233xxtxxtxxxtxtxtxxxtxwww.VNMATH.com10Vậy tập nghiệm của phương trình là :251;1SDạng 2 : Giải phương trình: xaax Cách giải : Đặt xat ,phương trình đã cho tương đương với xattaxVí dụ 30 : Giải phương trình: xx  20072007Lời giải : ĐK : 0xĐặt : xt  2007 [1], PT Lấy [3] trừ [2] ta được :txxtxtxttx  01[1]480292803002007 xxx[Do0x] Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :Ví dụ 31 : Giải phương trình: 12222 xxxLời giải : ĐK : 21xĐặt bayx 12Chọn a, b để hệ : 122222xbaybayxx 1,21yx [*] là hệ đối xứng .Lấy 1,1ba ta được hệ : 012212212222222yxyxxxyyyxxGiải hệ trên ta được : 22  yxĐối chiếu với điều kiện của hệ [*] ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : 22 xDạng 4 :Nội dung phương pháp : Cho phương trình :  xedxcbaxnnvới các hệ số thỏa mãn :bceacdCách giải : Đặt nbaxedy Ví dụ 32 : Giải phương trình: 7728942xxLời giải : ĐK : 49xPT 4721728942 xx- Kiểm tra :47,0,21,1,7,289,71edcba [thoả mãn] Đặt : yyxxyyxyyxy 7721494777289441289421222 [1]www.VNMATH.com11Mặt khác : xxy 77212[2] Từ [1] và [2] ta có hệ :xxyyyx7721772122Đây là hệ đối xứng loại II đã biết cách giải .Ví dụ 33 : Giải phương trình: 3,3362 xxxxLời giải : PT3632 xx- Kiểm tra :6,0,3,1,1,3,1edcbaĐặt : 3633963322 yyxxyyxy[1]Mặt khác :3632 xxy[2]Từ [1] và [2] ta có hệ :36336322xxyyyx Đến đây đã khá dễ dàngVí dụ 34 : Giải phương trình: 255336853233 xxxxLời giải :PT 232532272.9.33.4.325333233 xxxxxxxx- Kiểm tra :2,1,3,2,1,5,3edcba[thoả mãn] Đặt : 332553368532754368533223233 yxyyyxyyyxy [1]Mặt khác : 32255336823 yxxx [2]Từ [1] và [2] ta có hệ :3225533683325533682323yxxxyxyyyGiải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!  Huế , ngày 15 tháng 4 năm 2007www.VNMATH.com