Ma trận nghịch đảo là thuật ngữ trong đại số tuyến tính. Môn học đa số các coder đều phải vượt qua trong chương trình học IT. Cùng Mitadoor tìm hiểu xem ma trận nghịch đảo? công thức tính ma trận nghịch đảo? Bài tập thực hành phần phụ đại số mới nhất bên dưới.
Ma trận nghịch đảo là gì? : Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = En . Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1.
Ma trận không có dấu phân số nên bạn cần sử dụng ma trận nghịch đảo để đơn giản hóa phép toán phức tạp này. Có hai cách tính ma trận nghịch đảo là tính tay và dùng máy tính giúp cho kết quả chính xác hơn.
Ma trận nghịch đảo là gì? Công thức tính ma trận nghịch đảo? Bài tập thực hành
Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.
Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và [AB]-1 = B-1A-1
Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn[K].
Dưới đây là hướng dẫn cách tìm ma trận nghịch đảo mới nhất hãy tham khảo nhé
Cách tính ma trận nghịch đảo 2×2 theo phương pháp sử dụng ma trận phụ hợp [phép khử Gauss-Jordan] thực hiện như sau:
Ví dụ:
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tạo ma trận bổ sung:
- Bước 1: Kiểm tra định thức của ma trận, ký hiệu là det[A]. Nếu det[A]=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A-1Nếu det[A]≠0 thì A có ma trận A-1, chuyển sang bước 2
Bước 2: Chuyển vị ma trận gốc tức là đổi vị trí của phần tử thứ [i,j] và chỗ của phần tử [j,i] với nhau.
- Bước 3: Tìm định thức của từng ma trận con 2×2 liên kết với ma trận chuyển vị 3×3 mới.
- Bước 4: Tạo ma trận các phần phụ đại số, ký hiệu là Adj[M].
- Bước 5: Thực hiện phép chia của toàn bộ các phần tử của ma trận bổ sung với định thức của ma trận là det[M].
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giảm hàng tuyến tính
- Bước 1: Thực hiện thêm ma trận đơn vị vào trong ma trận gốcBước 2: Tiến hành phép giảm hàng tuyến tính và thực hiện đến khi ma trận đơn vị được hình thànhBước 3: Viết lại ma trận nghịch đảo cho chuẩn xác
a] Đối với ma trận 4×4 thì cách tính được áp dụng phổ biến hơn cả là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp. Cụ thể như sau:
Nếu det[A]≠0 ta tính A-1 bằng các rút gọn ma trận -> < In : A-1> với I là ma trận đơn vị.
b] Dùng định lý Haminton-Cayley
+ Đa thức đặc trưng của ma trận Anxn= là: f [x] = det[xI – A]
Tổng quát: Tính đa thức đặc trưng của ma trận A là f[x] bằng công thức Bocher như sau:
Đặt Sp= tr[Ap] với tr[Ap] = tổng phần tử trên đường chéo chính của Ap
định lý Haminton-Cayley
Trường hợp riêng
định lý Haminton-Cayley
c] Định lý Cayley-Hamilton
Nếu f[x] là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f[A]=0
Giả sử cho A khả đảo [det[A]≠0] có đa thức đặc trưng f[x]= xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an thì An + a1An-1 + a2An-2 +…+ an-1A + an= O và an=[-1]n det[A] ≠0, ta nhân 2 vế cho A-1 được:
Định lý Cayley-Hamilton
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng máy tính bỏ túi được thực hiện theo quy trình nhất định. Các bước thực hiện chung cụ thể:
- Chọn máy tính có hỗ trợ chức năng giải ma trận
- Tiến hành nhập ma trận vào trong máy
- Chọn thực đơn con và tên cho ma trận
- Nhập kích thước và từng phần tử của ma trận
- Thoát chức năng ma trận
- Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng phím nghịch đảo của máy
- Viết lại ma trận nghịch đảo chuẩn xác
Như vậy là mitadoordn.com.vn đã cùng các Bạn tìm hiểu Ma trận nghịch đảo là gì? Công thức tính ma trận nghịch đảo? Bài tập thực hành để các Bạn nắm rõ hơn về giá trị cốt lõi của các thuật toán sau này, thuận tiện hơn cho việc phân tích dữ liệu.
Chúc các Bạn thành công, cùng Mitadoor DN tiếp cận nhiều kiến thức mới hơn nữa nhé.
Bạn tốn khá nhiều thời gian để tìm ma trận nghịch đảo của bài tập về nhà nhưng không tìm ra đáp án hay phương pháp giải sao cho nhanh nhất? Cũng như cách bấm ma trận nghịch đảo trên máy tính casio fx-570vn như thế nào? Sau đây, chúng tôi sẽ hướng dẫn các phương pháp Cách tìm ma trận nghịch đảo 2×2, 3×3, 4×4 bằng máy tính Fx570VN Plus chi tiết trong bài viết dưới đây
Ma trận nghịch đảo là gì?
Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = En. Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1.
Như vậy, A.A-1= A-1.A= In
Tính chất
Cách tìm ma trận nghịch đảo cực kỳ đơn giản
1. Tìm ma trận 3×3 bằng ma trận phụ hợp
Cho Anxn có D = det[A] và Dij là định thức con của D bỏ đi hàng i cột j
Ma trận Anxn khả đảo ⇔ det[A] ≠ 0
Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phụ hợp
Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận của A được tính bằng công thức:
Các bước tìm ma trận
Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A.
Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A’ được định nghĩa như sau: A* = [A’ij]nnvới A’ = A’ijlà phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A’
Bước 4: Tính ma trận A -1 = [1/det[A]]A*
2. Tìm ma trận 4×4 bằng phép biến đổi sơ cấp
Nếu det[A]≠0 ta tính A-1 bằng các rút gọn ma trận [Anxn : In ] => [ In : A-1] với I là ma trận đơn vị.
Sử dụng định lý Cayley-Hamilton
Nếu f[x] là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f[A]=0
Giả sử cho A khả đảo [det[A]≠0] có đa thức đặc trưng f[x]= xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an thì An + a1An-1 + a2An-2 +…+ an-1A + an= O và an=[-1]n det[A] ≠0, ta nhân 2 vế cho A-1 được:
An-1 + a1An-2 + a1An-3 +…+ an-1I + anA-1 = O
=> A -1 = -1/a[An-1 + a1An-2 + a1An-3 +…+ an-1I]
3. Tìm ma trận 2×2 bằng định lý Haminton-Cayley
+ Đa thức đặc trưng của ma trận Anxn=[aij] là: f [x] = det[xI – A]
Tổng quát: Tính đa thức đặc trưng của ma trận A là f[x] bằng công thức Bocher như sau:
Đặt Sp= tr[Ap] với tr[Ap] = tổng phần tử trên đường chéo chính của Ap
Trường hợp riêng
Các bạn có thể tham khảo:
Hướng dẫn cách tìm ma trận nghịch đảo bằng máy tính Fx570VN Plus
Để tính định thức và tìm ma trận nghịch đảo của ma trận bậc