- Đi qua điểm G[1 ; 2 ; 3] và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
- Đi qua điểm H[2 ; 1 ; 1] và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left[ { - 1; - 2;4} \right],{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \overrightarrow {MP} = \left[ { - 2;1;3} \right]\]
\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left[ { - 10; - 5; - 5} \right] = - 5\left[ {2;1;1} \right]\]
Chọn vectơ pháp tuyến của mp[MNP] là \[\overrightarrow n = [2;1;1]\]. Mp[MNP] đi qua M[2; 0; −1] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [2;1;1]\] nên có phương trình là:
\[2[x - 2] + 1[y - 0] + 1[z + 1] = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\]
Câu b:
Mp[P] đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \] vuông góc với \[\overrightarrow {AB} = [4;1;2]\] và vuông góc với \[\vec k = \left[ {0;0;1} \right]\] nên:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4\\ 1&0 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 0&0 \end{array}} \right|} \right] = \left[ {1; - 4;0} \right]\]
[P] qua ;−1] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [1; - 4;0]\] nên [P] có phương trình:
\[1[x - 1] - 4[y - 1] + 0[z + 1] = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\]
Câu c:
Mặt phẳng [α]: x − 5y + z = 0 có vectơ pháp tuyến \[\vec n = \left[ {1; - 5;1} \right]\]
Mp[β] qua A[3; 2; −1] song song với mp[α] nên [β] có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó: \[\left[ \beta \right]:[x - 3] - 5[y - 2] + [z + 1] = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\]
Câu d:
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - 1; - 1;1]\]
Mp[α]: x − y + z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến \[\vec m = \left[ {1; - 1;1} \right]\]
Mp[β] đi qua A, B và vuông góc với mp[α] nên vectơ pháp tuyến của [β] vuông góc với \[\overrightarrow {AB} \] và vuông góc với \[\overrightarrow m \] nên ta có thể chọn:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = [0;2;2]\]
Vậy [P]: 2[y−1] + 2[z−1] = 0 y + z − 2 = 0
Câu e:
Mặt phẳng đi qua M[a, b, c] song song với mp[Oxy] có vectơ pháp tuyến là \[\vec k = \left[ {0;0;1} \right]\] nên có phương trình: 1[z − c] = 0 z − c = 0
Tương tự mặt phẳng đi qua M[a, b, c] song song với mp[Oyz] có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua M[a, b, c] song song với mp[Oxz] có phương trình y – b = 0.
Câu g:
Giả sử A[a; 0; 0], B[0, b, 0], C[0, 0, c].
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \[\frac{{a + 0 + 0}}{3} = 1;\frac{{0 + b + 0}}{3} = 2;\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\]
Vậy mp[ABC]: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\]
Câu h:
Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm ΔABC khi và chỉ khi OH ⊥ mp[ABC].
Vậy mp[ABC] đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {OH} = [2;1;1]\] nên có phương trình
2[x−2] + [y−1] + [z−1] = 0 2x + y + z − 6 = 0
Bài 16 trang 89 SGK Toán 12 nâng cao
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:
- x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y − 7z − 4 = 0
- z − 2y + z − 3 = 0 và 2x − y + 4z − 2 = 0
- x + y + z − 1 = 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0.
- 3x − 2y + 3z + 5 = 0 và 9x − 6y − 9z − 5 = 0
- x − y + 2z − 4 = 0 và 10x − 10y + 20z − 40 = 0
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có 1 : 2 : [−1] ≠ 2 : 3 : [−7] nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau.
Câu b:
1 : [−2] : 1 ≠ 2 : [−1] : 4 nên hai mặt phẳng cắt nhau.
Câu c:
\[\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ - 1}}{3}\] nên hai mặt phẳng song song.
Câu d:
3 : [−2] : 3 ≠ 9 : [−6] : [−9] nên hai mặt phẳng cắt nhau.
Câu e:
\[\frac{1}{{10}} = \frac{{ - 1}}{{ - 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ - 4}}{{ - 40}}\] nên hai mặt phẳng trùng nhau
Bài 17 trang 89 SGK Toán 12 nâng cao
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:
- 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y − 4z + 7 = 0
- 2x + y + mz − 2 = 0 và x + ny + 2z + 8 = 0.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi:
\[\frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ - 4}} \ne \frac{3}{7} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = - 4\\ n = - 1 \end{array} \right.\]
Câu b:
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi:
\[\frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{{2m}}{2} \ne \frac{{ - 2}}{8} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 4\\ n = \frac{1}{2} \end{array} \right.\]
Bài 18 trang 90 SGK Toán 12 nâng cao
Cho hai mặt phẳng có phương trình là 2x − my + 3z − 6 + m = 0 và [m + 3]x− 2y + [5m + 1]z − 10 = 0
Với giá trị nào của m thì:
- Hai mặt phẳng đó song song
- Hai mặt phẳng đó trùng nhau
- Hai mặt phẳng đó cắt nhau
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng 2x − my + 3z − 6 + m = 0 có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {2; - m;3} \right]\]
Mặt phẳng [m + 3]x − 2y + [5m + 1]z − 10 = 0 có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {m + 3; - 2;5m + 1} \right]\]
Ta có
\[\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5{m^2} - m + 6 = 0\\ - 7m + 7 = 0\\ {m^2} + 3m - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\]
Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình 2x − y + 3z − 5 = 0 và 4x − 2y + 6z − 10 = 0 nên chúng trùng nhau.
Câu a:
Không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song.
Câu b:
Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
Câu c:
Với m ≠ 1 thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.
Câu d:
Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi
\[\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2[m + 3] + 2m + 3[5m + 1] = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 9}}{{19}}\]
Bài 19 trang 90 SGK Toán 12 nâng cao
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng [α] và [α′] trong mỗi trường hợp sau:
\[\begin{array}{l} a][\alpha ]:2x - y + 4z + 5 = 0,[\alpha \prime ]:3x + 5y - z - 1 = 0\\ b][\alpha ]:2x + y - 2z - 1 = 0,[\alpha \prime ]:6x - 3y + 2z - 2 = 0\\ c][\alpha ]:x + 2y + z - 1 = 0,[\alpha \prime ]:x + 2y + z + 5 = 0 \end{array}\]
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Điểm M[x,y,z] cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l} \frac{{|2x - y + 4z + 5|}}{{\sqrt {4 + 1 + 16} }} = \frac{{|3x + 5y - z - 1|}}{{\sqrt {9 + 25 + 1} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 5 |2x - y + 4z + 5| = \sqrt 3 |3x + 5y - z - 1|\\ \Leftrightarrow \sqrt 5 [2x - y + 4z + 5] = \pm \sqrt 3 [3x + 5y - z - 1] \end{array}\]
Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng
\[\begin{array}{l} [2\sqrt 5 - 3\sqrt 3 ]x - [\sqrt 5 + 5\sqrt 3 ]y + [4\sqrt 5 + \sqrt 3 ]z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0\\ [2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 ]x - [\sqrt 5 - 5\sqrt 3 ]y + [4\sqrt 5 - \sqrt 3 ]z + 5\sqrt 5 - \sqrt 3 = 0 \end{array}\]
Câu b:
Điểm M[x, y, z] cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l} \frac{{|2x + y - 2z - 1|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \frac{{|6x - 3y + 2z - 2|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 7[2x + y - 2z - 1] = 3[6x - 3y + 2z - 2]\\ 7[2x + y - 2z - 1] = - 3[6x - 3y + 2z - 2] \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4x + 16y - 20z - 1 = 0\\ 32x - 2y - 8z - 13 = 0 \end{array} \right. \end{array}\]
Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:
\[\begin{array}{l} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}16y - 20z - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 32x - 2y - 8z - 13 = 0 \end{array}\]
Câu c:
Điểm M[x, y, z] cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l} \frac{{|x + 2y + z - 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{|x + 2y + z + 5|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5\\ x + 2y + z - 1 = - x - 2y - z - 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \end{array}\]
Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : x + 2y + z + 2 = 0
Bài 20 trang 90 SGK Toán 12 nâng cao
Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D′ = 0 với D ≠ D′
Hướng dẫn giải:
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.
Lấy M[x0, y0, z0] thuộc mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0.
Ta có Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 => Ax0 + By0 + Cz0 = −D
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng thứ hai, ta có:
\[d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D\prime |}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{|D\prime - D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]
Bài 21 trang 90 SGK Toán 12 nâng cao
Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:
- M cách đều điểm A[2 ; 3 ; 4] và mặt phẳng 2x + 3y + z − 17 = 0
- M cách đều hai mặt phẳng x + y − z + 1 = 0 và x − y + z + 5 = 0
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Giả sử M[0; 0; c] thuộc trục Oz
Ta có: \[MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{[4 - c]}^2}} \] và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là \[d = \frac{{|c - 17|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}\]
\[\begin{array}{l} MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{[4 - c]}^2}} = \frac{{|c - 17|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 13 + {[4 - c]^2} = \frac{{{{[c - 17]}^2}}}{{14}} \Leftrightarrow c = 3. \end{array}\]
Vậy M[0; 0; 3]
Câu b:
M[0; 0 ; c] cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\[\frac{{| - c + 1|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{|c + 5|}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c = - 2 \Rightarrow M[0;0; - 2]\]
Bài 22 trang 90 SGK Toán 12 nâng cao
Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng [ABC] và các mặt phẳng [OBC], [OCA], [OAB]. Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :
- Tam giác ABC có ba góc nhọn.
- \[co{s^2}\alpha + co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma = 1\]
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c] [a > 0, b > 0, c > 0] [a > 0, b > 0, c > 0]
Ta có
\[\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = [ - a;b;0];\overrightarrow {AC} = [ - a;0;c] \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0\\ \Rightarrow cosA = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} > 0 \end{array}\]
\=> A là góc nhọn
Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn.
Câu b:
Mp[ABC] có phương trình \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\] nên có vecto pháp tuyến \[\vec n = \left[ {\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right]\]
Mp[OBC] ≡ Mp[Oyz] có vectơ pháp tuyến \[\vec i = \left[ {1;0;0} \right]\]
Gọi α là góc giữa mp[ABC] và mp[OBC] thì:
\[{\cos ^2}\alpha = {\left[ {\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right]^2} = \frac{{\frac{1}{{{a^2}}}}}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\]
Tương tự
\[{\cos ^2}\beta = \frac{{\frac{1}{{{b^2}}}}}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}};{\cos ^2}\gamma = \frac{{\frac{1}{{{c^2}}}}}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\]
Vậy \[co{s^2}\alpha + co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma = 1\]
Bài 23 trang 90 SGK Toán 12 nâng cao
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0