- LG a
- LG b
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:
LG a
\[{16^{x + 1}} + {4^{x - 1}} - 5m = 0;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{4^x} = t[t > 0]\]. Bài toán trở thành:
Tìm m để phương trình \[16{t^2} + \dfrac{t}{4} - 5m = 0\] [1] có nghiệm dương duy nhất.
Điều kiện để [1] có nghiệm là \[\Delta = \dfrac{1}{16} + 320m \ge0\] hay \[m\ge - {1 \over {5120}}\] . Lại có \[{t_1} + {t_2} = - \dfrac{1}{64} 0.
LG b
\[2{\log _2}\left[ {x + 4} \right] = {\log _2}\left[ {mx} \right].\]
Lời giải chi tiết:
Bài toán quy về tìmmđể hệ
\[\left\{ \matrix{{[x + 4]^2} = mx \hfill \cr x + 4 > 0 \hfill \cr} \right.\]
có nghiệm duy nhất
Hay
\[\left\{ \matrix{{x^2} + [8 - m]x + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr x > - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2\right] \hfill \cr} \right.\] có nghiệm duy nhất
Tức là [1] có nghiệm duy nhất thỏa mãn \[x > - 4\].
Phương trình [1] có nghiệm khi\[\Delta = {m^2} - 16m \ge 0\] hay \[m \le 0\] hoặc \[m \ge 16\] .
Xét các trường hợp :
+] \[m = 0\] thì [1] có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = {{0 - 8} \over 2} = - 4\] [ không thỏa mãn \[x > - 4\] ].
+] \[m = 16\] thì [1] có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = {{16 - 8} \over 2} = 4\] [ thỏa mãn \[x > - 4\] ].
+] \[m < 0\] hoặc \[m > 16\] thì [1] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}[{x_1} < {x_2}]\] .
[1] có nghiệm duy nhất thỏa mãn \[x > - 4\]khi và chỉ khi \[{x_1} < - 4 < {x_2} \Leftrightarrow [{x_1} + 4][{x_2} + 4] < 0 \]
\[\Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 4[{x_1} + {x_2}] + 16 < 0\] .
Theo hệ thức . Vi-et ta có \[{x_1}{x_2} = 16\] và \[{x_1} + {x_2} = m - 8\].
Dẫn theo \[16 + 4[m - 8] + 16 < 0 \Leftrightarrow m < 0\] .