Câu hỏi:
Cho các số thực dương \[x,y,a,b\] thỏa mãn \[a,b > 1\] và \[{a^x} = {b^y} = ab\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{{{16}^{x + y}} – {{513.4}^{x + y}} + {2^{x + y + 5}} + 4\ln 2}}{{{{2.4}^{x + y + 4}} – {2^{x + y + 5}} – \left[ {x + y + 4} \right]\ln 2}}\] bằng
A. \[0.\]
B. \[\frac{1}{2}\].
C. \[\frac{{ – 1}}{2}\].
D. \[1.\]
GY::
Từ giả thiết, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x = \log _a^{}ab = 1 + \log _a^{}b\\y = \log _b^{}ab = 1 + \log _b^{}a\end{array} \right. \Rightarrow x + y = 2 + \log _a^{}b + \log _b^{}a \ge 4\].
Đặt \[{t_1} = {2^{2x + 2y}};{t_2} = {2^{x + y + 4}}\].
Do \[x + y \ge 4\] nên \[{2^{2x + 2y}} \ge {2^{x + y + 4}} \ge 256 > 2\] hay \[{t_1} > {t_2} > 2\].
Xét hàm số\[f\left[ t \right] = 2{t^2} – 2t – \ln t,\,\,t > 2\].
Ta thấy \[f’\left[ t \right] = \frac{{4{t^2} – 2t – 1}}{t} = \frac{{4t\left[ {t – 2} \right] + 6\left[ {t – 2} \right] + 11}}{t} > 0,\;\forall t > 2\].
Do đó hàm số\[f\left[ t \right]\] đồng biến trên \[\left[ {2; + \infty } \right]\].
Suy ra \[f\left[ {{t_1}} \right] \ge f\left[ {{t_2}} \right] > f\left[ 2 \right] > 0\].
Ta có \[P = \frac{{\frac{{f\left[ {{t_1}} \right]}}{2} – f\left[ {{t_2}} \right]}}{{f\left[ {{t_2}} \right]}} = \frac{{f\left[ {{t_1}} \right]}}{{2f\left[ {{t_2}} \right]}} – 1\]\[ \Rightarrow P \ge \frac{{ – 1}}{2}\].
Dấu bằng xảy ra khi \[a = b,x = y = 2\].
Vậy \[\min P = \frac{{ – 1}}{2}\] đạt được khi \[a = b,x = y = 2\].
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a
Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 [ a b + b c + c a ] = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3
Vì a , b , c ≥ 1 , nên [ a − 1 ] [ b − 1 ] ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b
Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a
Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 [ a + b + c ] ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6
Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18
⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a
Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 [ a b + b c + c a ] = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3
Vì a , b , c ≥ 1 , nên [ a − 1 ] [ b − 1 ] ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b
Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a
Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 [ a + b + c ] ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6
Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18
⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= [a+b+1][a2+b2]+\[\dfrac{4}{a+b}\]
Các câu hỏi tương tự
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Cho các số thực a,b thỏa mãn ab khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+1\]
Các câu hỏi tương tự
Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = [a + b + 1][a2 + b2] +
A.
B.
C.
D.