Đã gửi 14-06-2015 - 19:06
Bài toán : Cho hàm số $$y=\frac{-1}{3}x^3+[m-1]x^2+[m+3]x-4$$
a,Chứng minh rằng với mọi $m$ hàm số không thể nghịch biến trên R
b,Tìm m để hàm số đồng biến trên $[0;3]$
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
[FRANZ BECKEN BAUER]
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
Đã gửi 14-06-2015 - 19:53
Bài toán : Cho hàm số $$y=\frac{-1}{3}x^3+[m-1]x^2+[m+3]x-4$$
a,Chứng minh rằng với mọi $m$ hàm số không thể nghịch biến trên R
b,Tìm m để hàm số đồng biến trên $[0;3]$
$a]$
Ta có :
$f'[x]=-x^2+2[m-1]x+m+3$
$f'[x]=0\Leftrightarrow -x^2+2[m-1]x+m+3=0$
$\Delta '=[m-1]^2+m+3=m^2-m+4=\left [ m-\frac{1}{2} \right ]^2+\frac{15}{4}> 0$ với mọi $m$ [*]
Hàm số $f[x]$ nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow$ $f[x]$ xác định trên $\mathbb{R}$ và $f'[x]\leqslant 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \Delta '\leqslant 0$
Từ [*] suy ra hàm đã cho không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.
$b]$
Hàm đã cho đồng biến trên $[0;3]$ khi và chỉ khi :
$\left\{\begin{matrix}f'[0]\geqslant 0\\f'[3]\geqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m+3\geqslant 0\\7m-12\geqslant 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\geqslant \frac{12}{7}$.
Đã gửi 15-06-2015 - 16:07
$b]$
Hàm đã cho đồng biến trên $[0;3]$ khi và chỉ khi :
$\left\{\begin{matrix}f'[0]\geqslant 0\\f'[3]\geqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m+3\geqslant 0\\7m-12\geqslant 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\geqslant \frac{12}{7}$.
Cháu không hiểu câu b : Vì sao chỉ cần f'[0] và f'[3] lớn hơn hoặc bằng 0 như vậy ạ ?
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
[FRANZ BECKEN BAUER]
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
Đã gửi 21-06-2015 - 13:48
Bài toán : Cho hàm số $$y=\frac{-1}{3}x^3+[m-1]x^2+[m+3]x-4$$ b,Tìm m để hàm số đồng biến trên $[0;3]$
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì
$y'=-x^2+2[m-1]x+m+3\ge 0$, $\forall x\in [0;3]$ $\Longleftrightarrow \dfrac{x^2+2x-3}{2x+1}\le m$, $\forall x\in [0;3]$
Xét hàm $g[x]=\dfrac{x^2+2x-3}{2x+1}$ trên $[0;3]$ suy ra $g[x]\in \left[ -3;\dfrac{12}{7}\right]$, từ đó ta được $m\ge \dfrac{12}{7}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 21-06-2015 - 13:49
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
Đã gửi 23-06-2015 - 21:51
Cháu không hiểu câu b : Vì sao chỉ cần f'[0] và f'[3] lớn hơn hoặc bằng 0 như vậy ạ ?
Bạn có thể vào link mình gửi dưới đây để xem toàn bộ video bài giảng mà bạn đang thắc mắc. Trong video này thầy giảng rất chi tiết. Ngoài ra bạn có thể xem được rất nhiều video bài giảng khác của thầy nữa trong chuyên đề khảo sát hàm số. Ngoài ra bạn có thể tự tìm cho mình những dạng bài tập khác trong blog của thầy nhé.
Video bài giảng chi tiết bài tập bạn đang cần: tim-m-de-ham-so-dong-bien-tren-khoang-03
Chuyên đề khảo sát hàm số này: Chuyên đề khảo sát hàm số
Đã gửi 23-06-2015 - 22:21
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì
$y'=-x^2+2[m-1]x+m+3\ge 0$, $\forall x\in [0;3]$ $\Longleftrightarrow \dfrac{x^2+2x-3}{2x+1}\le m$, $\forall x\in [0;3]$
Xét hàm $g[x]=\dfrac{x^2+2x-3}{2x+1}$ trên $[0;3]$ suy ra $g[x]\in \left[ -3;\dfrac{12}{7}\right]$, từ đó ta được $m\ge \dfrac{12}{7}$
Anh hâm hấp ơi ! Em mở rộng lên như thế này có được không ạ
$f[x] \leq m , \forall x \in \left [ a;b \right ]\Leftrightarrow$
$\underset{x \in \left [ a;b \right ]}{maxf[x]} \leq m $
-------------------------------------------------
Nếu còn như cái tương tự như trên [ chẳng hạn nếu là min ] thì anh chia sẻ cho em với nhé ............
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
[FRANZ BECKEN BAUER]
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
Đã gửi 24-06-2015 - 01:40
Anh hâm hấp ơi ! Em mở rộng lên như thế này có được không ạ
$f[x] \leq m , \forall x \in \left [ a;b \right ]\Leftrightarrow$
$\underset{x \in \left [ a;b \right ]}{maxf[x]} \leq m $
-------------------------------------------------
Nếu còn như cái tương tự như trên [ chẳng hạn nếu là min ] thì anh chia sẻ cho em với nhé ............
Mình nghĩ cũng không cần chuyển từ khoảng sang đoạn làm gì. Cứ để khoảng như thế, xét hàm thì mình sẽ tìm ra được miền giá trị của $f[x]$.
Chẳng hạn, với $x\in [a;b]$ ta suy ra được $f[x]\in [p;q]$. Ta sẽ có nhận xét sau:
$$f[x]\ge m, \forall x\in [a;b] \Longrightarrow m\le p;$$ $$f[x]\le m, \forall x\in [a;b]\Longrightarrow m\ge q.$$
P/s: Trong video bạn trên chia sẻ có nói là PHẢI chuyển từ khoảng sang đoạn để tìm max, min là không đúng. Mình có nhất thiết phải tìm được max min của $f[x]$ đâu, chỉ cần chỉ ra được khoảng giá trị của $f[x]$ như mình nói ở trên là ok rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 24-06-2015 - 01:43
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
A. 2
B. 0
C. 4
D. 1
Lời giải:
Chọn D
Xét hàm số
f[x] = x5 – 5x2 + 5[m – 1]x – 8
TH1: f[x] = 0 có nghiệm x0 ∊ [-∞;1] thì hàm số y = |f[x]| không thể nghịch biến trên khoảng [-∞;1].
TH2: f[x] = 0 không có nghiệm x0 ∊ [-∞;1]
Ta có: f’[x] = 5x4 – 10x + 5[m – 1]
Khi đó y = |x5 – 5x2 + 5[m – 1]x – 8| = |f[x]| =
Nên
Hàm số nghịch biến trên [-∞;1] khi và chỉ khi y’ ≤ 0 với ∀ x ∊ [-∞;1]
Mà m ∊ ℤ nên m = 3
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |2x3 – mx + 1| đồng biến trên khoảng [1; +∞]?A. 2
B. 6
C. 3
D. 4
Lời giải:
Chọn C
Xét hàm số
f[x] = 2x3 – mx + 1
TH1: f[x] = 0 có nghiệm x0 ∊ [1;+∞] thì hàm số y = |f[x]| không thể nghịch biến trên khoảng [1;+∞].
TH2: f[x] = 0 không có nghiệm x0 ∊ [1;+∞]
Ta có: f’[x] = 6x2 – m
Khi đó y = |2x3 – mx + 1| = |f[x]| =
Nên
Hàm số nghịch biến trên khoảng [1;+∞] khi và chỉ khi y’ ≥ 0 với ∀ x ∊ [1;+∞]
⇒ m ∊ {1; 2; 3}
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số y = |3x4 – 4x3 – 12x2 + m| nghịch biến trên khoảng [-∞; -1]?A. 6
B. 4
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số f[x] = 3x4 – 4x3 – 12x2 + m ⇒ f’[x] = 12x3 – 12x2 – 24x = 12x [x2 – x – 2]
⇒ f’[x] = 0
BBT:
Nhận thấy: Hàm số y = |f[x]| nghịch biến trên khoảng [-∞; -1] ⇔ m – 5 > 0 ⇔ m ≥ 5.
Lại do ⇒ m ∊ {5; 6; 7; 8; 9}
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Loại 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số dạng phân thức hữu tỉ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-10; 10] để hàm số đồng biến trên [1; +∞].A. S = 55
B. S = 54
C. S = 3
D. S = 5
Lời giải
Chọn B.
Xét hàm số với x ≠ -m – 2, có
Hàm số đồng biến [1; +∞] khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
TH1:
TH2:
Vậy m ∊ [1; +∞], lại do suy ra m ∊ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Vậy S = 54
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞]A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Đặt . ĐK: x ≠ -m
Khi đó
Để hàm số đồng biến trên [1;+∞] ⇔
Ta có
Vậy ⅓ < m ≤ 1
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên [3; +∞]?A. 4
B. 5
C. Vô số
D. 6
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: D = ℝ \{1}
Xét hàm số
Có
Khi đó
Hàm số đồng biến trên [3; +∞] ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [3; +∞]
Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1}
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Loại 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên [0;1].A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn A
Đặt
Ta có
Do hàm số liên tục tại x = 0; x = 1 nên để hàm số nghịch biến trên [0;1] ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Do m nguyên nên m nhận các giá trị sau -3; -2; -1; 0
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ [-5; 5] để hàm số nghịch biến trên [2; 3]?A. 2
B. 3
C. 5
D. 9
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
Ta có
Cho f’[x] = 0
Ta thấy f’[x] < 0, ∀ x ∊ [2; 3] nên hàm số f[x] nghịch biến trên [2; 3]
Để nghịch biến trên [2; 3] thì
f[3] ≥ 0
Do m ∊ [-5; 5] nên m = {-2; -3; -4}
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ [0; 10] để hàm số đồng biến trên khoảng [1;+∞]?A. 11
B. 10
C. 12
D. 9
Lời giải
Chọn A
Tập xác định D = ℝ
Xét hàm số
Hàm số đồng biến trên khoảng [1;+∞]
TH1:
f’[x] ≥ 0, ∀ x ∊ [1;+∞]
Đặt t = x – 1, t > 0
Xét
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta có
TH2:
f’[x] ≤ 0, ∀ x ∊ [1;+∞]
Đặt t = x – 1, t > 0
Mà nên với mỗi giá trị của m luôn có giá trị của t dương đủ nhỏ để VT của [*] lớn hơn 0.
Suy ra không có giá trị nào của m để TH2 thỏa mãn.
Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn là {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Loại 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f[x]| = |x3 – 3x2 +3[m2 + 5] x + [12 – 3m2] cosx| đồng biến trên [0; π]A. 3
B. 5
C. 4
D. Vô số
Lời giải
Chọn B
Đặt h[x] = x3 – 3x2 + 3[m2 + 5] x + [12 – 3m2] cosx.
Ta có h’[x] = 3x2 – 6x + 3[m2 + 5] – [12 – 3m2] sinx.
⇔ h’[x] = 3[x – 1]2 + 12[1 – sinx] + 3m2[1 + sinx] ≥ 0, ∀ x ∊ [0; π]
Vậy hàm số h[x] luôn đồng biến trên [0; π].
Để y = f[x] đồng biến trên [0; π]. Thì h[0] ≥ 0 ⇔ [12 – 3m2] ≥ 0 ⇔ m ∊ [-2; 2]
Kết luận: có 5 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Ví dụ 2. Các giá trị của tham số m để hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng là.A.
B.
C. m > 1
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số f[x] = sinx – cosx + m =
Khi đó y = |sinx – cosx + m| = |f[x]| = . Nên
Hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊
Với
Nên [1] ⇔ f[x] > 0, ∀ x ∊
Ví dụ 3. Cho hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1|. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên . Tính số phần tử của S .A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
Trên khoảng , hàm số y = sinx đồng biến
Đặt t = sin x, x ∊ ⇒ t ∊ [0;1]
Khi đó hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1| đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi
y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1]
Xét hàm số y = f[t] = t3 – mt + 1 trên khoảng [0;1] có f’[t] = 3t2 – m.
+] Khi m = 0
f’[t] = 3t2 > 0, ∀ t ⇒ y = f[t] = t3 + 1 đồng biến trên [0;1] và đồng thời y = f[t] = t3 + 1 cắt trục hoành tại điểm duy nhất t = -1
⇒ y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1] ⇒ m = 0 thỏa mãn
+] Khi m > 0
f’[t] = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Hàm số y = f[t] = t3 – mt + 1 đồng biến trên các khoảng và
TH1: ⇔ 0 < m < 3
Hàm số y = f[t] = t3 – mt + 1 nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
⇒ Không có giá trị của m để y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1]
TH2: ⇔ m ≥ 3
Để y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1] thì t3 – mt + 1 ≤ 0, ∀ x ∊ [0;1]
⇔ mt ≤ t3 + 1, ∀ x ∊ [0;1]
⇒ Không có giá trị của m thỏa mãn
Vậy chỉ có giá trị m = 0 thỏa mãn
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để hàm số y = |cos3x – 3m2cosx| nghịch biến trên .A. 1
B. 11
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn B
Đặt t = cos x, vì x ∊ ⇒ t ∊ [0;1]
Vì t =cos x là hàm số nghịch biến trên nên yêu cầu bài toán trở thành tìm m nguyên thuộc [-5;5] để hàm số y = |t3 – 3m2t| đồng biến trên [0;1].
Xét f[t] = t3 – 3m2t, t ∊ [0;1] ⇒ f’[t] = 3t2 – 3m2
TH1: Nếu m = 0 ⇒ f’[t] > 0, ∀ t ∊ [0;1] ⇒ f[t] luôn đồng biến trên [0;1]
Mà f [0] = 0 ⇒ y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0; +∞]
⇒ y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0;1]
Do đó m = 0 thỏa mãn bài toán [1]
TH2: m ≠ 0 ⇒ f’[t] = 0
*] Với m > 0 , ta có BBT sau:
Từ BBT suy ra hàm số y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0; m]
YCBT tương đương [0;1] ⊂ [0; m] ⇔ m ≥ 1 [2]
*] Với m < 0 , ta có BBT sau:
Từ BBT suy ra hàm số y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0; -m]
YCBT tương đương [0;1] ⊂ [0; -m] ⇔ m ≤ -1 [3]
Từ [1], [2] và [3] vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Loại 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để y = |9x + 3x – m + 1| đồng biến trên đoạn [0;1]A. 1
B. 4
C. 3
D. 6
Lời giải
Chọn C
Đặt 3x = t ⇒ t ∊ [1;3] vì t ∊ [0;1]
⇒ t = |t2 + t – m + 1| =
Để hàm số đồng biến trên đoạn t ∊ [1;3] thì
Với mọi giá trị của t ∊ [1;3] thì 2t + 1 > 0 nên
Để y’ ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3] thì t2 + t – m + 1 ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3]
⇒ m – 1 ≤ t2 + t = g[t] , ∀ t ∊ [1;3]
Vậy có 3 giá trị nguyên {1; 2; 3} thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để hàm số y = |4x + m.2x+1 + m + 2| đồng biến trên khoảng [0;1]?A. 2018
B. 2019
C. 2
D. 3
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số f[x] = 4x + m.2x+1 + m + 2 [1] trên khoảng [0;1]
Đặt t = 2x ⇒ t ∊ [1;2]
Hàm số [1] trở thành h[t] = t2 – 2mt + m + 2 trên khoảng [1;2].
Suy ra h’[t] = 2t – 2m
Ta có y = |f[x]| đồng biến trên khoảng [0;1]
Vì hàm số t = 2x đồng biến trên khoảng [0;1]
Do đó,
Vậy có 2018 số nguyên dương nhỏ hơn 2020 thỏa ycbt.
Ví dụ 3. Cho hàm số [1]. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng [2;4]?A. 234
B. Vô số
C. 40
D. Không tồn tại m
Lời giải
Chọn C
Đặt
Ta có ⇒ t ∊ [e2; e3], đồng thời x và t sẽ ngược chiều biến thiên.
Khi đó hàm số trở thành y = |t2 + 3t – 2m + 5| = [2]
Ta có:
Hàm số [1] nghịch biến trên khoảng [2;3] ⇔ hàm số [2] đồng biến trên khoảng [e2; e3]
∀ x ∊ [e2; e3]
⇔ t2 + 3t – 2m + 5 > 0 ∀ x ∊ [e2; e3]
∀ x ∊ [e2; e3]
Có ∀ x ∊ [e2; e3]
Với điều kiện m là số nguyên dương ta tìm được 40 giá trị của m.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m ∊ [-2019; 2020], để hàm số y = |e-x2 + ex2 – m| nghịch biến trên [1;e]?A. 401
B. 0
C. 2019
D. 2016
Lời giải
Chọn A
Đặt f[x] = e-x2 + ex2 – m ⇒ f’[x] = -2xe-x2 + 2ex2
Ta có y = |f [x]| =
Yêu cầu bài toán ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ [1;e] [*]
Vì x ∊ [1;e] nên -2xe-x2 + 2ex2 = , ∀ x ∊ [1;e]
Khi đó, [*] ⇔ f[x] ≤ 0, ∀ x ∊ [1;e]
⇔ e-x2 + ex2 – m ≤ 0, ∀ x ∊ [1;e]
⇔ e-x2 + ex2 ≤ m, ∀ x ∊ [1;e]
Ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = e-x2 + ex2 ∀ x ∊ [1;e] là e-x2 + ex2
Nên m ≥ e-x2 + ex2 ≈ 1618,18
Vậy có 401 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.
Loại 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng [-100; 100] của tham số m để hàm số y = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]?A. 101
B. 102
C. 103
D. 100
Lời giải
Chọn B
y = |ln3x – 4x2 + m|. Điều kiện x > 0
Xét hàm số g[x] = ln3x – 4x2 + m trên [1;e2]
⇒ g[x] nghịch biến trên [1;e2]
⇒ Hàm số y = |g[x]| = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]
⇔ ln3 – 4 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 4 – ln3
Mà m nguyên thuộc khoảng [-100; 100] nên m ∊ {-99; -98;…; -1; 0; 1; 2}
Vậy có 102 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số nguyên m < 2020 để hàm số y = |ln[mx] – x + 2| nghịch biến trên [1;4]?A. 2018
B. 2019
C. 1
D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Xét f[x] = ln[mx] – x + 2.
Dễ thấy ∀ x ∊ [1;4]: mx > 0 ⇔ m > 0
Khi đó
Do đó f[x] luôn nghịch biến trên [1;4]
Yêu cầu bài tóan tương đương với f[4] ≥ 0 ⇔ ln[4m] – 2 ≥ 0
Vậy m ∊ [2; 2019] có 2018 số nguyên thỏa mãn.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc [-2020; 2020] để hàm số y = |ln[x2 + 2x – m] – 2mx2 – 1| luôn đồng biến trên [0;10]?A. 4038
B. 2020
C. 2017
D. 2018
Lời giải
Chọn C
Ta xét hàm số f[x] = ln[x2 + 2x – m] – 2mx2 – 1 trên [0;10]
Điều kiện hàm số có nghĩa là x2 + 2x – m > 0, ∀ x ∊ [0;10]
⇔ x2 + 2x > m, ∀ x ∊ [0;10] [1]
Ta lại có x2 + 2x = x.[x + 2] > 0 với ∀ x ∊ [0;10] nên điều kiện [1] cho ta m ≤ 0 [2]
Đạo hàm do m ≤ 0 và x ∊ [0;10] nên
Suy ra f’[x] > 0 hàm số đồng biến trên [0;10].
Từ đó để hàm số y = |ln[x2 + 2x – m] – 2mx2 – 1| = |f[x]| đồng biến trên [0;10] điều kiện đủ là f[x] ≥ 0 với ∀ x ∊ [0;10] [3]
+] TH1: Xét m = 0
Khi đó f[x] = ln[x2 + 2x] – 1 có không thỏa mãn [3]
+] TH2: Xét m < 0
Do hàm số f[x] đồng biến nên ta chỉ cần f[0] ≥ 0 ⇔ ln[-m] – 1 ≥ 0 ⇔ -m ≥ e ⇔ m ≤ -e
Từ đó ta được:
⇔ m ∊ {-2019; -2018; -2017;…; -3} có 2017 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m trong đoạn [-3;3] để hàm số y = |ln[x3 + mx + 2]| đồng biến trên nửa khoảng [1;3]?A. 7
B. 4
C. 6
D. 5
Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định: x3 + mx + 2 > 0
Xét hàm số f[x] = ln[x3 + mx + 2]
Ta có:
Hàm số đồng biến trên nửa khoảng [1;3]
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Từ hai trường hợp trên suy ra m ≥ -2
Mà m ∊ [-3;3] ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1; 2; 3}
Vậy có 6 số nguyên m thỏa mãn YCBT.