Giải chi tiết:
\[IK \bot MH\]
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]\[ \Rightarrow AG \bot \left[ {ABC} \right]\].
Trong \[\left[ {BCD} \right]\], kẻ đường thẳng song song với \[BN\] cắt \[BD\] tại \[E\], ta có: \[BN\parallel \left[ {MCE} \right] \supset CM\].
\[ \Rightarrow d\left[ {BN;CM} \right] = d\left[ {BN;\left[ {MCE} \right]} \right]\].
Gọi \[I\] là trung điểm của \[BG\], ta có \[MI\parallel AG\] [tính chất đường trung bình] \[ \Rightarrow MI \bot \left[ {BCD} \right]\].
Trong \[\left[ {BCD} \right]\] kẻ \[IH \bot CE\,\,\left[ {H \in CE} \right]\], trong \[\left[ {MIH} \right]\] kẻ \[\left[ {K \in MH} \right]\] ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}CE \bot IH\\CE \bot MI\,\,\left[ {MI \bot \left[ {BCD} \right]} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow CE \bot \left[ {MIH} \right] \Rightarrow CE \bot IK\].
\[\left\{ \begin{array}{l}IK \bot CE\\IK \bot MH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left[ {MCE} \right]\].
\[ \Rightarrow d\left[ {I;\left[ {MCE} \right]} \right] = IK = d\left[ {BN;\left[ {MCE} \right]} \right] = d\left[ {BN;CM} \right]\].
Tam giác \[BCD\] đều cạnh \[a\] nên \[BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\], suy ra \[BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[ABG\] có: \[AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} \]\[ = \sqrt {{a^2} - {{\left[ {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right]}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\].
\[ \Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AG = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\].
Ta có: \[IH \bot CE,\,\,CE\parallel BN,\,\,BN \bot CD\]\[ \Rightarrow IH\parallel CD\] hay \[IH\parallel CN\] .
Tứ giác \[INCH\] có: \[\left\{ \begin{array}{l}IH\parallel CN\\IN\parallel CH\end{array} \right.\] nên \[INCH\] là hình bình hành, do đó \[IH = CN = \dfrac{a}{2}\].
Vì \[MI \bot \left[ {BCD} \right]\] nên \[MI \bot IH\], suy ra tam giác \[MIH\] vuông tại \[I\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \[IK = \dfrac{{MI.IH}}{{\sqrt {M{I^2} + I{H^2}} }}\]\[ = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\].
Vậy \[d\left[ {BN;CM} \right] = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\].
Chọn A.
Đáp án B.
Gọi lần lượt là trung điểm của AD và BC. Ta có ∆ABD và ∆ACD đều cạnh bằng a nên
=> ∆MBC cân tại M và MN là đường cao của ∆MBC => MN⊥BC
Tương tự, ∆NAD cân tại N nên NM là đường cao của ∆NAD => NM⊥AD
Suy ra MN là đoạn vuông góc cung của AD và BC.
Vậy
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Số câu hỏi: 374
Thi đại học Toán học Thi đại học - Toán học
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và BC là:
A . d = a 3 2
B . d = a 2 2
C . d = a 2 3
D . d = a 3 3
Các câu hỏi tương tự
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và BC là:
A . d = a 3 2
B . d = a 2 2
C . d = a 2 3
D . d = a 3 3
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng [ADH] và DH = a.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD. 'D ' có ABCD là hình thoi cạnh a, góc giữa đường thẳng A 'B và mặt phẳng [ABCD] bằng 600 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và B ' D '
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng [ABC].
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng [ABC], AC=AD=4,AB=3, BC=5 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng [BCD].
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,C′D′ bằng
A. a 2
B. a.
C. a 3
D. a 3 2
Đáp án B.
Gọi lần lượt là trung điểm của AD và BC. Ta có ∆ABD và ∆ACD đều cạnh bằng a nên
=> ∆MBC cân tại M và MN là đường cao của ∆MBC => MN⊥BC
Tương tự, ∆NAD cân tại N nên NM là đường cao của ∆NAD => NM⊥AD
Suy ra MN là đoạn vuông góc cung của AD và BC.
Vậy