Bạn vừa học về công thức thể tích khối nón và thể tích hình trụ nhưng đã chóng quên. Hay bạn muốn tìm hiểu những công thức này để học trước, hay tìm hiểu trước khi lên lớp. Vậy hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết công thức thể tích khối nón và thể tích hình trụ chuẩn nhất ở bài viết dưới đây.
Để tích được lượng không gian mà hình nón chiếm là bao nhiêu, chúng ta có thể áp dụng công thức đó là: một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của khối nón.
Cụ thể, công thức thể tích khối nón như sau:
Trong đó:
-
V: thể tích hình nón
-
π: hằng số Pi = 3.14
-
r: bán kính đáy
-
h: chính là chiều cao hình nón được hạ từ đỉnh xuống đáy.
-
Ngoài ra, khi nhắc đến thể tích của khối nón thì người ta còn nhắc đến đường sinh “l”. Thật vậy, đây là đường được nối từ đỉnh của hình nón xuống một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn mặt đáy.
Bài tập ví dụ:
Cho một hình nón như hình bên dưới có bán kính đáy là r = 3cm và độ dài của đường sinh là l = 5cm, hãy tính thể tích của khối nón được cho.
Bài giải:
Ở bài tập này đã gọi sẵn tên cho đỉnh, tâm, điểm thuộc đường tròn. Trường hợp bài không cho hình giống tương tự như vậy, bạn hãy tự gọi để giải quyết bài toán được dễ dàng hơn.
Ví dụ bài tập trên chưa có thì ta gọi như sau:
-
Gọi O là đỉnh của khối hình nón, A là một điểm thuộc đường tròn đáy, H là tâm của hình tròn.
Tiếp theo, chúng ta đi giải quyết bài toán tìm ra thể tích của khối nón trên.
-
Trong tam giác vuông OHA, ta tính được OH và từ đó suy ra thể tích của khối nón như sau:
Như vậy, khi áp dụng công thức thể tích khối nón, bạn đã giải quyết xong bài toán này, chúng ta kết luận:
-
Vậy, thể tích của khối nói trên là: V = 12pi = 37,68 [cm3].
2. Công thức thể tích khối nón cụt chính xác, không khó hiểu
Nói sơ qua về nón cút: khi chúng ta cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón đó là một hình tròn; phần hình nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt đáy thì được gọi là một hình nón cụt.
Công thức không khác mấy công thức thể tích hình nón nhưng “râu ria” ở chỗ bán kính r. Thật vậy, công thức khối nón cụt bằng hiệu thể tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ.
Cụ thể, công thức thể tích khối nón cụt như sau:
Trong đó:
-
V: thể tích hình nón cụt.
-
r1 và r2: chính là bán kính 2 đáy [đáy lớn và đáy nhỏ] của hình nón cụt.
-
h: chính là chiều cao của hình nón cụt [khoảng cách giữa 2 đáy của nón cụt]
Bài tập ví dụ:
Cho một hình nón cụt có đường kính 2 mặt đáy lần lượt là 18 cm và 12 cm, chiều cao nối giữa hai mặt đáy dài 7 cm, hãy tính thể tích của hình nón cụt đã cho.
Bài giải:
Đầu tiên ta đi tìm những yếu tố còn thiếu trong công thức tính thể tích khối nón cụt.
-
Ta có đường kính lớn và đường kính nhỏ lần lượt là 18 cm và 12 cm nên ta có:
Bước tiếp theo vô cùng đơn giản, ta chỉ cần ráp công thức là giải được bài toán
-
Áp dụng công thức tính thể tích của khối nón cụt, ta có:
Như vậy, khi áp dụng công thức thể tích hình nón cụt, bạn đã giải quyết xong bài toán này, chúng ta kết luận:
-
Vậy thể tích của hình nón cụt trên là: V = 1288/3 * pi = 1253,5 [cm3].
3. Công thức tính thể tích hình trụ chuẩn xác nhất
Để tích được lượng không gian mà hình trụ chiếm là bao nhiêu, chúng ta có thể áp dụng công thức đó là: diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của hình trụ.
Nếu để ý kỹ, bạn sẽ thấy mối tương quan giữa công thức thể tích khối nón và công thức thể tích hình trụ. Thật vậy, thể tích hình tụ gấp ba lần thể tích của khối nón. Hiểu một cách nôm na đó là nếu cho hình trụ và khối nón cùng chiều cao, bán kính đáy thì “3 hình nón sẽ nhét đầy trong hình trụ”.
Cụ thể, công thức thể tích hình trụ như sau:
Trong đó:
-
V: thể tích hình trụ
-
π: hằng số Pi = 3.14
-
r: bán kính đáy
-
h: chính là chiều cao hình nón được hạ từ đỉnh xuống đáy.
Bài tập ví dụ:
Cho một khối trụ [H] có chiều cao bằng 2 lần bán kính đáy, biết bán kính đáy bằng 4cm, hãy tính thể tích của khối trụ đã cho.
Bài giải:
Đầu tiên ta đi tìm những yếu tố còn thiếu trong công thức tính thể tích hình trụ.
-
Ta biết, đường kính bằng 2 lần bán kính nên chiều cao của khối trụ đã cho là 8cm.
Bước tiếp theo, ta chỉ cần ráp công thức là giải được bài toán
-
Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ, ta có:
Như vậy, khi áp dụng công thức thể tích hình trụ, bạn đã giải quyết xong bài toán này, chúng ta kết luận:
-
Vậy thể tích của hình trụ trên là: V = 128pi = 401,92 [cm3].
Trên đây là những chia sẻ của chúng tôi về công thức thể tích khối nón và thể tích hình trụ chuẩn nhất. Qua đó là một số bài tập vận dụng để bạn có thể hiểu bài hơn cũng như khi nhìn vào bài toán có thể “phang” ngay lập tức. Chúc bạn có những giờ học vui và đừng quên theo dõi chúng tôi thường xuyên để cập nhật thêm nhiều kiến thức bổ ích!
1. Lý thuyết:
\[V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h\] \[[=\frac{1}{3}.S_{day}.h]\] R: bán kính hình tròn đáy h: chiều cao [ khoảng cách từ đỉnh tới đáy]
2. Bài tập:
Ví dụ 1: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón. \[\left\{\begin{matrix} l=5cm\\R=3cm \end{matrix}\right.\]
Giải:
Gọi O là đỉnh khối nón H là tâm hình tròn A là điểm thuộc đường tròn đáy OA=5cm, HA=3cm Trong tam giác vuông OHA, \[OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\] \[V=\frac{1}{3}\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi .3^{2}.4=12\pi [cm^{3}]\]Ví dụ 2: Cho khối nón có góc ở đỉnh bằng \[60^{\circ}\] độ dài đường sinh bằng 6cm. Tính thể tích khối nón.
Giải: Gọi O là đỉnh khối nón. Kẻ đường kính AB của hình tròn đáy tâm H.
Chú ý: \[OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}\] hoặc \[OH=HA.\cot30^{\circ}=3\sqrt{3}\]
Ví dụ 3: Cho \[\Delta ABC\] vuông tại A, AB=8[cm], BC=10[cm]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc a] ACB quay quanh AB.
b] ABC quay quanh AC. a] BAC quay quanh BC.
Giải:
b] Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h=AC=6[cm], bán kính R=AB=8[cm].
\[V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .8^{2}.6=128\pi [cm^{3}]\]c] Khi đường gấp khúc
BAC quay quanh BC ta được 2 hình nón. + Hình nón thứ nhất tạo thành khi cho đường gấp khúc BAH quay quanh BH
R1=AH, h1=BH.
Trong tam giác vuông ABC:\[\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{6^{2}}=\frac{10^{2}}{8^{2}.6^{2}}\]
\[\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{8.6}{10}=\frac{24}{5}\] \[h_{1}=BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{8^{2}-\frac{8^{2}.6^{2}}{10^{2}}}=8\sqrt{\frac{10^{2}-6^{2}}{10^{2}}}=\frac{8^{2}}{10}=\frac{32}{5}\]\[V_{1}=\frac{1}{3}.\pi .R_{1}^{2}.h_{1}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{48^{2}}{10^{2}}.\frac{32}{5}=\frac{6144}{125}[cm^{3}]\] + Hình nón thứ hai tọa thành khi cho đường gấp khúc HAC quay quanh HC. \[\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{24}{5}\] \[h_{2}=HC=BC-HB=10-\frac{32}{5}=\frac{18}{5}\] \[V_{2}=\frac{1}{3}.\pi .R_{2}^{2}.h_{2}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.\frac{18}{5}=\frac{3456}{125}[cm^{3}]\] \[V=V_{1}+V_{2}=\frac{384}{5}[cm^{3}]\]
Cách 2: \[V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.h_{1}+\frac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.h_{2}\]
\[=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.[h_{1}+h_{2}]=\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}[\frac{32}{5}+\frac{18}{5}] =\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.10\] Nhận xét:\[V=\frac{1}{3}\pi .AH^{2}.BC=\frac{1}{3}\pi .AH.\frac{AB^{2}.AC^{2}}{AB^{2}+AC^{2}}.BC\]