Đề bài
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \[\sin 2x\sin 4x+\cos 6x=0\] là
A. \[-\dfrac{\pi}{12}\]
B. \[-\dfrac{\pi}{4}\]
C. \[-\dfrac{\pi}{8}\]
D. \[-\dfrac{\pi}{6}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để giải phương trình ta sử dụng
- Công thức biến đôi tích thành tổng \[\sin x\sin y \]
\[= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos [x - y] - \cos [x + y]} \right]\].
- Công thức biến đổi tổng thành tích \[\cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\sin 2x\sin 4x+\cos 6x=0\]
\[\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[ {\cos [4x 2x] - \cos [4x+ 2x]} \right] +\]
\[\cos 6x=0\]
\[\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}[\cos 2x-\cos 6x]+\cos 6x=0\]
\[\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}[\cos 2x+\cos 6x]=0\]
\[\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}2\cos \dfrac{{6x + 2x}}{2}\cos \dfrac{{6x 2x}}{2}=0\]
\[\Leftrightarrow \cos 4x\cos 2x=0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 4x=0\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\\4x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\]
Với \[x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\] nghiệm âm lớn nhất là \[-\dfrac{\pi}{4}\] ứng với \[k=-1\]
Với \[x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4}\] nghiệm âm lớn nhất là \[-\dfrac{\pi}{8}\] ứng với \[k=-1\]
Vì \[-\dfrac{\pi}{8}>-\dfrac{\pi}{4}\] nên nghiệm âm lớn nhất là \[-\dfrac{\pi}{8}\]
Đáp án: C.
Cách trắc nghiệm:
Xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.
Với giá trị lớn nhất là x = [-π]/12 thì cos6x = 0 còn sin2x 0, sin4x 0 nên [-π]/12 không phải là nghiệm. Vậy phương án A bị loại.
Với giá trị x = [-π]/8 thì sin2x = sin[[-π]/4] = [-2]/2, sin4x = sin[[-π]/2] = -1,
cos6x = cos[[-3π]/4] = [-2]/2 nên x = [-π]/8 là nghiệm của phương trình.