Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[r\]. Xét hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy, \[S\] và \[A\] cố định, \[SA = h\] cho trước và có đáy \[ABCD \] là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo \[AC\] và \[BD\] vuông góc với nhau.
a] Tính bán kính \[r\] của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp.
b] Hỏi đáy \[ABCD\] là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Xác định tâm mặt cầu [cách đều năm điểm \[S,A,B,C,D\]] và tính bán kính.
b] Viết công thức tính thể tích khối chóp. Đánh giá GTLN của thể thích và kết luận.
Lời giải chi tiết
a] Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I.
Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp.
Khi đó điểm O phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Ta có \[\displaystyle d \bot [ABCD]\] tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
Ta có MI // SA nên \[\displaystyle MI \bot [ABCD]\] tại I. Từ M kẻ đường thẳng d//OI cắt d tại O.
Vì \[\displaystyle d' \bot [SAC]\]tại M nên ta có OC = OS và OC là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có \[\displaystyle r = O'C = \sqrt {OO{'^2} + O{C^2}} = \sqrt {M{I^2} + r{'^2}}\]
\[\displaystyle = \sqrt {{{[{h \over 2}]}^2} + r{'^2}} \] \[\displaystyle = {{\sqrt {{h^2} + 4r{'^2}} } \over 2}\]
b] Vì SA không đổi nên ta có VSABCDlớn nhất khi và chỉ khi SABCD lớn nhất.
Ta có \[\displaystyle {S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD\] trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau.
Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r , nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.