Đề bài
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song [P] và [Q]. Chứng minh rằng nếu điểm M không nằm trên [P] và không nằm trên [Q] thì có duy nhất một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b
Lời giải chi tiết
Giả sử c = mp [ M, a] mp[M, b]. Ta cần chứng minh c cắt cả a và b.
Vì c và a cũng nằm trên một mặt phẳng và không thể trùng nhau [ do c qua M và a không đi qua M] nên hoặc c // a hoặc c cắt a. Cũng vậy, hoặc c // b hoặc c cắt b.
Không thể xảy ra đồng thời c // a; c // b vì a và b chéo nhau. Vậy nếu c song song với a và c phải cắt b, tức là c qua một điểm của mp [Q] và song song với a, suy ra c phải thuộc mp [Q], và do đó M thuộc [Q] [trái giả thiết].
Tương tự, không thể có c song song với b.
Tóm lại c cắt a và b.
Nếu còn có đường thẳng c khác c đi qua M, cắt cả a và b thì a và b đồng phẳng. Vô lí.