Đề bài
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hàm số \[y = \sin 3x.\cos x\] là một hàm số tuần hoàn có chu kì là
A. \[\pi \] B. \[\dfrac{\pi }{4}\]
C. \[\dfrac{\pi }{3}\] D. \[\dfrac{\pi }{2}\]
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \[y = {\sin ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1\]
A. M = 2, m = -2
B. M = 1, m = 0
C. M = 4, m = -1
D. M = 2, m = -1
Câu 3: Tập xác định của hàm số \[y = \sqrt {1 - \cos 2017x} \] là
A. \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
B. \[D = \mathbb{R}\].
C. \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\,\dfrac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
D. \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Câu 4: Tìm chu kì T của hàm số \[y = \cot 3x + \tan x\] là
A. \[\pi \] B. \[3\pi \]
C. \[\dfrac{\pi }{3}\] D. \[4\pi \]
Câu 5: Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \left| x \right|\sin x.\] Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho có tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.
D. Hàm số có tập giá trị là \[\left[ { - 1;\,1} \right].\]
Câu 6: Trong các phương trình sau đây,phương trình nào có tập nghiệm là \[x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \] và \[x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\,[k \in \mathbb{Z}]\]
A. \[\sin \,x = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }}\]
B. \[\sin \,x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]
C. \[\sin \,x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]
D. \[\sin \,x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\]
Câu 7: Phương trình \[\tan \left[ {3x - {{15}^0}} \right] = \sqrt 3 \] có các nghiệm là:
A. \[x = {60^0} + k{180^0}\]
B. \[x = {75^0} + k{180^0}\]
C. \[x = {75^0} + k{60^0}\]
D. \[x = {25^0} + k{60^0}\]
Câu 8: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}\,x}} = 3\cot \, + \,\sqrt 3 \] là:
A. \[ - \dfrac{\pi }{2}\] B. \[ - \dfrac{{5\pi }}{6}\]
C. \[ - \dfrac{\pi }{6}\] D. \[ - \dfrac{{2\pi }}{3}\]
Câu 9: Phương trình \[sin x + cos x 1 = 2sin xcos x\] có bao nhiêu nghiệm trên \[\left[ {0;\,2\pi } \right]\] ?
A. 2. B. 3.
C. 4. D. 6.
Câu 10: Phương trình \[\sin [x + {10^0}] = \dfrac{1}{2}\,\,[{0^0} < x < {180^0}]\] có nghiệm là:
A. \[x = {30^0}\] và \[x = {150^0}\]
B. \[x = {20^0}\] và \[x = {140^0}\]
C. \[x = {40^0}\] và \[x = {160^0}\]
D. \[x = {30^0}\] và\[\,x = {140^0}\]
Câu 11: Phương trình \[\sin [5x + \dfrac{\pi }{2}] = m - 2\] có nghiệm khi:
A. \[m \in \left[ {1;3} \right]\]
B. \[m \in \left[ { - 1;1} \right]\]
C. \[m \in R\]
D. \[m \in [1;3]\]
Câu 12: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình \[\cos x = 0\]?
A. \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 1\]
B. \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - 1\]
C. \[{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = 0\]
D. \[\cot x = 0\]
Câu 13: Phương trình \[m\tan x - \sqrt 3 = 0\] Có nghiệm khi
A. \[m \ne 0\].
B. \[m \in R\]
C. \[ - 1 \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{m} \le 1\]
D. \[ - 1 < \dfrac{{\sqrt 3 }}{m} < 1\]
Câu 14: Phương trình \[\sin x + m\cos x = \sqrt {10} \] có nghiệm khi:
A. \[\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le - 3\end{array} \right.\].
B. \[\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 3\end{array} \right.\].
C. \[\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m < - 3\end{array} \right.\].
D. \[ - 3 \le m \le 3\].
Câu 15: Phương trình \[{\rm{cos}}2x + \sin x = \sqrt 3 \left[ {\cos x - \sin 2x} \right]\] có các nghiệm là:
A. \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
B. \[\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
C. \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
D. \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
Câu 16: Phương trình \[\sin 5x.\cos 3x = \sin 7x.\cos 5x\] có tập nghiệm là:
A. \[\left[ \begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
B. \[\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
C. \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\dfrac{\pi }{{10}}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
D. \[\left[ \begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
Câu 17: Các giá trị của \[m \in \left[ {a;b} \right]\] để phương trình \[\cos 2x + {\sin ^2}x + 3\cos x - m = 5\] có nghiệm thì:
A. \[a + b = 2\].
B. \[a + b = 12\].
C. \[a + b = - 8\].
D. \[a + b = 8\].
Câu 18: Chọn mệnh đề đúng:
A. \[\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
B. \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
C. \[\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
D. \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Câu 19: Nghiệm của phương trình \[\tan 4x.\cot 2x = 1\] là:
A. \[k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
B. \[\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\]
C. \[\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\]
D. Vô nghiệm
Câu 20: Nghiệm của phương trình \[\cos 3x = \cos x\] là:
A. \[k2\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
B. \[k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
C. \[\dfrac{{k\pi }}{2}\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
D. \[k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21: Giải các phương trình sau
\[a] 3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0\]
\[b] {\sin ^2}2x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x = 1\]
Câu 22: Giải phương trình sau:
\[\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sin x - 3\cos x = 3\]
Lời giải chi tiết
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| A | D | B | A | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | D | A | C | B |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| A | D | A | A | A |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A | C | B | D | C |
Câu 1:
Ta có: \[y = \sin 3x.\cos x = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 4x + \sin 2x} \right]\]
Hàm số \[y = \sin 4x\] tuần hoàn với chu kì \[{T_1} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\]
Hàm số \[y = \sin 2x\] tuần hoàn với chu kì \[{T_2} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \]
Vậy hàm số \[y = \frac{1}{2}\left[ {\sin 4x + \sin 2x} \right]\] tuần hoàn với chu kì \[T = BCNN\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right] = \pi \]
Chọn đáp án A.
Câu 2:
Ta có: \[y = {\sin ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1 \] \[= {\sin ^4}x - 2\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] + 1\]
\[ = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x - 1 \] \[= {\left[ {{{\sin }^2}x + 1} \right]^2} - 2\]
\[\begin{array}{l}
0 \le {\sin ^2}x \le 1\\
\Rightarrow 1 \le {\sin ^2}x + 1 \le 2\\
\Rightarrow 1 \le {\left[ {{{\sin }^2}x + 1} \right]^2} \le 4\\
\Rightarrow - 1 \le {\left[ {{{\sin }^2}x + 1} \right]^2} - 2 \le 2
\end{array}\]
\[ \Rightarrow - 1 \le y \le 2\]
Chọn đáp án D.
Câu 3:
Điều kiện xác định: \[1 - \cos 2017x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2017x \le 1 \] luôn đúng với mọi \[ x \in \mathbb{R}\]
Vậy TXĐ: D=R.
Chọn đáp án B.
Câu 4:
Chu kì của hàm số \[y = \cot 3x + \tan x\] là \[T = \pi \]
Chọn đáp án A.
Câu 5:
Hàm số \[y = \left| x \right|\sin x\] có:
\[\begin{array}{l}y\left[ { - x} \right] = \left| { - x} \right|\sin \left[ { - x} \right]\\ = - \left| x \right|\sin x = - y\left[ x \right]\end{array}\]
Nên là hàm số lẻ.
Do đó đồ thị hàm số nhận gốc \[O\] làm tâm đối xứng.
Chọn đáp án B.
Câu 6:
Ta có: \[\sin x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Chọn đáp án C.
Câu 7:
Ta có: \[\tan \left[ {3x - {{15}^ \circ }} \right] = \sqrt 3\] \[ \Leftrightarrow \tan \left[ {3x - {{15}^ \circ }} \right] = \tan {60^ \circ }\]
\[ \Leftrightarrow 3x - {15^ \circ } = {60^ \circ } + k{180^ \circ }\]
\[ \Leftrightarrow x = {25^ \circ } + k{60^ \circ }\;\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Chọn đán án D.
Câu 8:
Điều kiện: \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \pm k\pi \,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Ta có: \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt 3 \left[ {1 + {{\cot }^2}x} \right] = 3\cot x + \sqrt 3 \\
\Leftrightarrow \sqrt 3 {\cot ^2}x - 3\cot x = 0\\
\Leftrightarrow \cot x\left[ {\sqrt 3 \cot x - 3} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot x = 0\\
\cot x = \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\;\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Nghiệm âm lớn nhất là \[ - \dfrac{\pi }{2}\]
Chọn đáp án A.
Câu 9:
Ta có: \[\sin x + \cos x - 1 = 2\sin x\cos x\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 + 2\sin x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\left[ {\sin x + \cos x} \right]^2}
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\sin x + \cos x} \right]\left[ {1 - \sin x - \cos x} \right] = 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
1 - \sin x - \cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \cos x\\
\sin x + \cos x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Các nghiệm trên \[\left[ {0;2\pi } \right]\] là \[\left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4};0;2\pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right\}\]
Chọn đáp án C.
Câu 10:
Ta có: \[\sin [x + {10^0}] = \dfrac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin [x + {10^0}] = \sin {30^ \circ }\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {10^ \circ } = {30^ \circ } + k{360^ \circ }\\x + {10^ \circ } = {150^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {20^ \circ } + k{360^ \circ }\\x = {140^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right.\]
\[{0^0} < x < {180^0}\] \[ \Rightarrow {x_1} = {20^0},{x_2} = {140^0}\]
Chọn đáp án B.
Câu 11:
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[ - 1 \le m - 2 \le 1 \Leftrightarrow m \in \left[ {1;3} \right]\]
Chọn đáp án A.
Câu 12:
Ta có: \[\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \;\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
\[\cot x = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \;\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Chọn đáp án D.
Câu 13:
Với m=0 thì \[\sqrt 3 = 0\] [vô nghiệm]
Với \[m\ne 0\] thì \[m\tan x - \sqrt 3 = 0 \] \[\Leftrightarrow \tan x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{m}\] [luôn có nghiệm]
Phương trình có nghiệm khi \[m \ne 0\]
Chọn đáp án A.
Câu 14:
Ta có: \[\sin x + m\cos x = \sqrt {10} \]
Phương trình có nghiệm khi: \[1 + {m^2} \ge 10 \Leftrightarrow {m^2} \ge 9\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m \ge 3\end{array} \right.\]
Chọn đáp án A.
Câu 15:
Ta có: \[{\rm{cos}}2x + \sin x = \sqrt 3 \left[ {\cos x - \sin 2x} \right]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \cos 2x + \sin x = \sqrt 3 \cos x - \sqrt 3 \sin 2x\\
\Leftrightarrow \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = \sqrt 3 \cos x - \sin x\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \cos \left[ {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right] = \cos \left[ {x + \dfrac{\pi }{6}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{3} = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{3} = - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Chọn đáp án A.
Câu 16:
Ta có: \[\sin 5x.\cos 3x = \sin 7x.\cos 5x\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 8x + \sin 2x} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 12x + \sin 2x} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \sin 8x = \sin 12x\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = 8x + k2\pi \\12x = \pi - 8x + k2\pi \end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k2\pi \\
20x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Chọn đáp án A.
Câu 17:
Ta có: \[\cos 2x + {\sin ^2}x + 3\cos x - m = 5\]
\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + 1 - {\cos ^2}x + 3\cos x - m = 5\]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x + 3\cos x - m - 5 = 0\]
Đặt \[t = \cos x\] với \[t \in \left[ { - 1;1} \right]\] phương trình trở thành:
\[\begin{array}{l}{t^2} + 3t - m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 3t + \frac{9}{4} = m + \frac{{29}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left[ {t + \frac{3}{2}} \right]^2} = m + \frac{{29}}{4}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} - 1 \le t \le 1\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le t + \frac{3}{2} \le \frac{5}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{4} \le {\left[ {t + \frac{3}{2}} \right]^2} \le \frac{{25}}{4}\\ \Rightarrow \frac{1}{4} \le m + \frac{{29}}{4} \le \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow -7 \le m \le -1\\ \Rightarrow m \in \left[ {-7;-1} \right]\end{array}\]
Suy ra a=-7, b=-1 nên a+b=-8.
Chọn đáp án C.
Câu 18:
Ta có: \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Chọn đáp án B.
Câu 19:
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\cos 4x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{4}\\x \ne k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\tan 4x.\cot 2x = 1\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \tan 4x = \frac{1}{{\cot 2x}}\\
\Leftrightarrow \tan 4x = \tan 2x\\
\Leftrightarrow 4x = 2x + k\pi \\
\Leftrightarrow 2x = k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\left[ {loai} \right]
\end{array}\]
Do đó phương trình vô nghiệm.
Chọn D
Câu 20:
Ta có: \[\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = - x + k2\pi \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\quad \Rightarrow x = k\dfrac{\pi }{2}\;\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Chọn đáp án C.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21:
\[\begin{array}{l}a] 3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left[ {1 - {{\cos }^2}2x} \right] + 7\cos 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left[ {3\cos 2x - 7} \right] = 0\\ \,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0 & [1]\\3\cos 2x - 7 = 0\,\,[2]\end{array} \right.\\[1] \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\\[2] \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{7}{3}\end{array}\]
Vì \[\dfrac{7}{3} > 1\] nên phương trình [2] vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
\[\begin{array}{l}b] {\sin ^2}2x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x + 1 + \cos 2x}}{2} = 1 \\\Leftrightarrow 2 - \cos 4x + \cos 2x = 2 \\\Leftrightarrow - \cos 4x + \cos 2x = 0\\\Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 2x + k2\pi }\\{4x = - 2x + k2\pi }\end{array}} \right.\end{array} \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k2\pi \\
6x = k2\pi
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = k\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.\]
Vậy phương trình có nghiệm là: \[x = k\pi ;\,x = k\dfrac{\pi }{3}\]
Câu 22:
\[\begin{array}{l}\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sin x - 3\cos x = 3\\ \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + 3.2\sin x\cos x + 5\sin x - 3\cos x - 3 = 0\\\Leftrightarrow [6\sin x\cos x - 3\cos x] - [2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2] = 0\\ \Leftrightarrow 3\cos x[2\sin x - 1] - [2\sin x - 1][\sin x - 2] = 0\\ \Leftrightarrow [2\sin x - 1][3\cos x - \sin x + 2] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos x - \sin x + 2 = 0\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{[1]}\\{[2]}\end{array}\\[1] \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\[2] \Leftrightarrow 3\cos x - \sin x = - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\cos x - \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\sin x = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }}\,\,[3]\end{array}\]
Đặt \[\dfrac{3}{{\sqrt {10} }} = \sin \alpha ;\,\,\dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = \cos \alpha \]
Khi đó [3] trở thành
\[\sin \alpha \cos x - \cos \alpha \sin x = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }}\]
\[\Leftrightarrow \sin [\alpha - x] = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\alpha - x = \arcsin \left[ { - \frac{2}{{\sqrt {10} }}} \right] + k2\pi \\
\alpha - x = \pi - \arcsin \left[ { - \frac{2}{{\sqrt {10} }}} \right] + k2\pi
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha - \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi \\x = \alpha - \pi + \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi \end{array} \right.\]
Vậy phương trình có nghiệm là: \[x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\]\[\,x = \alpha - \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi ;\]\[\,x = \alpha - \pi + \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi \]