S
Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
K
Ỳ
THI TUY
ỂN SINH LỚP 10
THÀNH PH
Ố HỒ CHÍ MINH
TRUNG H
ỌC PHỔ THÔNG
CHUYÊN
NĂM HỌC 2009
–2010 KHÓA NGÀY: 24-6-2009 MÔN THI: TOÁN [150 PHÚT] Câu 1:
[4 điểm]
- Gi
ải hệ phương tr
ình
22
12
x y xy x y xy
.
- Cho phương tr
ình x
2
– 2mx – 16 + 5m
2
\= 0 [x là
ẩn số].
- Tìm m
để phương tr
ình có nghi
ệm.
- G
ọi x
1
, x
2
là các nghi
ệm của phương tr
ình. Tìm giá tr
ị lớn nhất v
à giá tr
ị nhỏ
nh
ất của biểu thức A = x
1
[5x
1
+ 3x
2
– 17] + x
2
[5x
2
+ 3x
1
– 17].
Câu 2
: [4 điểm]
- Thu g
ọn biểu thức A =
452724527232325325323232
. 2] Cho x, y, z là ba s
ố dương thỏa điều kiện xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức:
B = 22122
x y z xy x yz y zx z
.
Câu 3: [2
điểm]
- Cho ba s
ố thực a, b, c. Chứng minh:
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca +
222
[][][]2662009
a b b c c a
. 2] Cho a > 0 và b < 0. Ch
ứng minh:
1282
a b a b
.
Câu 4: [2
điểm]
- Cho h
ệ phương tr
ình 55
ax bybx ay
[a, b nguyên dương và a khác b].
Tìm
a, b để hệ có nghiệm [x; y] với x, y l
à các s
ố nguyên dương.
- Ch
ứng minh rằng không tồn tại các số nguy
ên x, y, z th
ỏa hệ:
22222
33318100
x xy y z x xy z
.
Câu 5: [3
điểm]
Cho tam giác ABC [AB < AC] có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong
AD [M, D thu
ộc BC]. Đường tr
òn ngo
ại tiếp tam giác ADM cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E v
à F. Ch
ứng minh BE = CF.
Câu 6: [3
điểm]
Cho ABCD là hình thoi có c
ạnh bằng 1. Giả sử tồn tại điểm M thuộc cạnh BC v
à N thu
ộc cạnh CD sao cho tam giác CMN có chu vi
b
ằng 2 v
à
2
BAD MAN
. Tính các góc c
ủa h
ình thoi ABCD.
Câu 7: [2
điểm]
Cho a, b là các s
ố dương thỏa
2111
a ba b
. Ch
ứng minh ab
2
≤
BÀI GI
ẢI GỢI Ý
Câu 1
: 1]
22
12
x y xy x y xy
22
[1]102
x y y x y xy
22
[1][1]02
x y x y xy
22
12
x x y xy
hay
22
12
y x y xy
2
120
x y y
hay
2
120
y x x
112
x y y
hay 112
y x x
. V
ậy hệ có
3 nghi
ệm l
à [–1; 1], [–1; –2], [2; 1].
2]
Cho phương tr
ình x
2
– 2mx – 16 + 5m
2
\= 0 [1] [x là
ẩn số].
a.
Tìm m
để phương tr
ình có nghi
ệm.
Ta có:
' = 16 – 4m
2
.
Phương tr
ình [1] có nghi
ệm
'
0
16 – 4m
2
0
–2
≤
m
≤
2.
b.
G
ọi x
1
, x
2
là các nghi
ệm của phương tr
ình. Ta có: x
1
+ x
2
\= 2m và x
1
x
2
\= 5m
2
– 16.
Do đó A
\= x
1
[5x
1
+ 3x
2
– 17] + x
2
[5x
2
+ 3x
1
– 17] \=
22121212
5[]617[]
x x x x x x
\= 5[[x
1
+ x
2
]
2
– 2x
1
x
2
] + 6x
1
x
2
– 17[x
1
+ x
2
] \= 5[x
1
+ x
2
]
2
– 4x
1
x
2
– 17[x
1
+ x
2
] \= 20m
2
– 4[5m
2
– 16] – 17.2m \= –34m + 64. Vì –2
≤
m
≤
2 nên –4
≤
A
≤
132. Khi m = 2 thì A = –4 và khi m = –2 thì A = 132. V
ậy giá trị nhỏ nhất của A l
à –4 và giá tr
ị lớn nhất của A l
à 132.
Câu 2
:
1]
Thu g
ọn biểu thức A =
452724527232325325323232
. Ta có: 4527245272
\= 3
532532
.
Do đó: A =
353253232325325323232
\=
22
353253232326222
\= 10276272222222
.
2]
Cho x, y, z là ba s
ố dương thỏa điều kiện xyz = 2.
Ta có: B \= 2222
x xy xyz xy x xyz xy x xyzx xyz xy
\= 2.22222.22
x xy xy x xy x x xy
\= 2212222
x xy x xy xy x xy x x xy xy x
.
Câu 3
: 1] Cho ba s
ố thực a, b, c. Ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca +
222
[][][]2662009
a b b c c a
2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
2ab + 2bc + 2ca +
222
[][]2[]1332009
a b b c c a
2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
– 2ab – 2bc – 2ca
222
[][]2[]1332009
a b b c c a
[a – b]
2
+[b – c]
2
+ [c – a]
2
222
[][]2[]1332009
a b b c c a
222
12[]2[]2007[]01332009
a b b c c a
[luôn đúng].
- Ta có: 1282
a b a b
12802
a b a b
2802
b aab a b
2
[2]80[2]
b aab a b
[Đúng v
ì t
ử luôn âm v
à m
ẫu cũng luôn âm, do a > 0 v
à b < 0].
Câu 4
:
1]
Cho h
ệ phương tr
ình 5[1]5[2]
ax bybx ay
L
ấy [1]
–
[2] ta được [a
– b][x – y] = 0
x = y [do a
≠
Thay vào [1] ta được: x =
5
a b
y = 5
a b
. Do x là s
ố nguyên và a, b nguyên dương nên a + b là ước nguyên dương
2 c
ủa 5.
Suy ra a + b = 5
14234132
a a a ahay hay hayb b b b
.
2]
22222
3331[1]8100[2]
x xy y z x xy z
[*]
Giả
s
ử
r
ằng tồ
n
tạ
i các s
ố
nguyên x, y, z
thỏ
a [*]. Nhân hai v
ế củ
a [1] v
ớ
i 8 r
ồ
i c
ộ
ng và
o [2] ta được:
9x
2
– 23xy + 24y
2
\= 348
5[2x
2
– 5xy + 5y
2
] = [x – y]
2
+ 348 [3] Ta có: * 5[2x
2
– 5xy + 5y
2
] chia h
ế
t cho 5; * [x – y]
2
chia cho 5 ho
ặc dư
0, ho
ặc dư
1 ho
ặc dư 4;
* 348 chia 5 dư 3.
Suy ra: * V
ế trá
i
củ
a [3] chia h
ế
t cho 5 [4] * V
ế phả
i
củ
a [3] chia cho 5 có
dư hoặ
c là 3, ho
ặ
c là 4 ho
ặ
c là 2 [5] T
ừ [4] v
à [5] suy ra mâu thu
ẫn.