Chương I chúng ta đã được học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất. Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, KhoaHoc xin chia sẻ với các bạn cách áp dụng phương trình bậc hai. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.
Câu 41: trang 58 sgk toán lớp 9 tập 2
Trong lúc học nhóm bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 42: trang 58 sgk toán lớp 9 tập 2
Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm ?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 43: trang 58 sgk toán lớp 9 tập 2
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 44: trang 58 sgk toán lớp 9 tập 2
Đố: Đố em vừa tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một đơn vị
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 45 trang 59 sgk toán lớp 9 tập 2
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 46: trang 59 sgk toán lớp 9 tập 2
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 47: trang 59 sgk toán lớp 9 tập 2
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 48: trang 59 sgk toán lớp 9 tập 2
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 49: trang 59 sgk toán lớp 9 tập 2
Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc ?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 50: trang 49 sgk toán lớp 9 tập 2
Miếng kim loại thứ nhất nặng
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 51: trang 59 sgk toán lớp 9 tập 2
Người ta đổ thêm
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 52: trang 60 sgk toán lớp 9 tập 2
Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ \[40\] phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả \[6\] giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là \[3\] km/h.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 53: trang 60 sgk toán lớp 9 tập 2
Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn.
Hãy tìm tỉ số ấy.
Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.
Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là
=> Xem hướng dẫn giải
=> Trắc nghiệm đại số 9 bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 38 trang 56 sgk Toán 9 tập 2
Bài 38. Giải các phương trình:
a] \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right]^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\];
b] \[{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right][{x^2}-{\rm{ }}2]\];
c] \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x[{x^2} + {\rm{ }}1,5]\];
d] \[\frac{x[x - 7]}{3} – 1\] = \[\frac{x}{2}\] - \[\frac{x-4}{3}\];
e] \[\frac{14}{x^{2}-9}\] = \[1 - \frac{1}{3-x}\];
f] \[\frac{2x}{x+1}\] = \[\frac{x^{2}-x+8}{[x+1][x-4]}\]
Bài giải:
a] \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right]^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Delta = 25{\rm{ - }}16 = 9,{x_1} = - 2,{x_2} = - {1 \over 2}\]
b] \[{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right][{x^2}-{\rm{ }}2]\]
\[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}-{\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\]
\[{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Delta' = 16 + 22 = 38,{x_1} = {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2}\]
c] \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x[{x^2} + {\rm{ }}1,5]\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}1,5x\]
\[\Leftrightarrow {\rm{ }}2,5{x^2}-{\rm{ }}1,5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
\[{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }}-{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }} - 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0\]
Phương trình vô nghiệm
d] \[\frac{x[x - 7]}{3}– 1\] = \[\frac{x}{2}\] - \[\frac{x-4}{3}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]\]
\[\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}14x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\]
\[\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}15x{\rm{ }}-{\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}0;\]
\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}225{\rm{ }} + {\rm{ }}112{\rm{ }} = {\rm{ }}337\]
\[{x_1} = {{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {\rm{ }}{{15 - \sqrt {337} } \over 4}\]
e] \[\frac{14}{x^{2}-9}\] = 1 - \[\frac{1}{3-x}\]. Điều kiện: \[x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm 3\]
Phương trình được viết lại: \[\frac{14}{x^{2}-9}\] = \[1 + \frac{1}{x- 3}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3 \]
\[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0\],
\[{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}81\]
Nên \[{x_1} = {{ - 1 - 9} \over 2} = - 5;{x_2} = {{ - 1 + 9} \over 2} = 4\] [thỏa mãn]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = {\rm{ }} - 5,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\].
f] \[\frac{2x}{x+1}\] = \[\frac{x^{2}-x+8}{[x+1][x-4]}\]. Điều kiện: \[x ≠ -1, x ≠ 4\]
Phương trình tương đương với:
\[2x\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Có \[a – b + c = 1 – [-7] – 8 = 0\] nên \[{x_1} = - 1,{x_2} = 8\]
Vì \[{x_1} = - 1\]không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là \[x = 8\].
Bài 39 trang 57 sgk Toán 9 tập 2
Bài 39. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
a] \[[3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10][2{x^2} + {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
b] \[{x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
c] \[[{x^{2}} - {\rm{ }}1]\left[ {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\];
d] \[{[{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5]^2} = {\rm{ }}{[{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5]^2}\].
Bài giải.
a] \[[3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10][2{x^2} + {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow\]\[\left[ \matrix{ [3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10]{\rm{ }} = {\rm{ }}0[1] \hfill \cr
2{x^2} + {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right]x{\rm{ }} + \sqrt 5 -{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0[2] \hfill \cr} \right.\]
Giải [1]: phương trình \[a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0\]
nên \[{x_1} = - 1,{x_2} = - {{ - 10} \over 3} = {{10} \over 3}\]
Giải [2]: phương trình có \[a + b + c = 2 + [1 - \sqrt{5}] + \sqrt{5} - 3 = 0\]
nên \[{x_3} = 1,{x_4} = {{\sqrt 5 - 3} \over 2}\]
b] \[{x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] \[\Leftrightarrow {x^2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right][{x^2} - {\rm{ }}2]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow\]\[\left[ \matrix{ x + 3 = 0 \hfill \cr
{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.\]
Giải ra \[{x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }} - \sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_{3}} = \sqrt 2 \]
c] \[[{x^{2}} - {\rm{ }}1]\left[ {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\] \[ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]\left[ {{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 0,6x + 1 = 0[1] \hfill \cr
{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0[2] \hfill \cr} \right.\]
[1] ⇔ \[0,6x + 1 = 0 \]
\[ \Leftrightarrow {x_1} = - {1 \over {0,6}} = - {5 \over 3}\]
[2]:\[\Delta = {[ - 1]^2} - 4.1.[ - 1] = 1 + 4 = 5,\sqrt \Delta = \sqrt 5,\]
\[{x_2} = {\rm{ }}{{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\]
Vậy phương trình có ba nghiệm:
\[{x_1} = - {5 \over 3},{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\],
d] \[{[{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5]^2} = {\rm{ }}{[{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5]^2}\]\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{[{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5]^2} - {\rm{ }}{[{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5]^2} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow [{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5].\]
\[[{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}5]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}[2{x^2} + {\rm{ }}x]\left[ {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
⇔\[ x[2x + 1][3x – 10] = 0\]
Hoặc \[x = 0\], \[x = -\frac{1}{2}\] , \[x = \frac{10}{3}\]
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
$$ \Leftrightarrow {x_1} = - {1 \over {0,6}} = - {5 \over 3}$$
Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2
Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a] \[3{[{x^2} + {\rm{ }}x]^2}-{\rm{ }}2[{x^2} + {\rm{ }}x]{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
b] \[{[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2]^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
c] \[x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\];
d] \[\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\]
Hướng dẫn: a] Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\], ta có phương trình \[3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \[t\]. Thay mỗi giá trị của \[t\] vừa tìm được vào đằng thức \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\] , ta được một phương trình của ẩn \[x\]. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \[x\].
d] Đặt \[\frac{x+1}{x} = t\] hoặc \[\frac{x}{x+ 1} = t\]
Bài giải:
a] \[3{[{x^2} + {\rm{ }}x]^2}-{\rm{ }}2[{x^2} + {\rm{ }}x]{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\], ta có:
\[3{t^2}{\rm{ - }}2t{\rm{ - }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} = - {1 \over 3}\]
Với \[{t_1} = 1\], ta có: \[{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\] hay \[{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\Delta {\rm{ = }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ = }}5,{\rm{ }}\sqrt \Delta = \sqrt 5 \]
\[{x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\]
Với \[{t_2}= -\frac{1}{3}\], ta có: \[{x^2} + x = - {1 \over 3}\]hay \[3{x^2} + 3x{\rm{ + }}1{\rm{ = }}0\]:
Phương trình vô nghiệm, vì \[\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\]
b] \[{[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2]^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\], ta có phương trình \[{t^2} + {\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Giải ra ta được \[{t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 3\].
- Với \[{t_1}= 2\] ta có: \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2\] hay \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Suy ra \[{x_1} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\].
- Với \[{t_2}= -3\], ta có: \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3\] hay \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].
Phương trình này vô nghiệm vì \[\Delta= {[-4]}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{x_1} = 0, {x_2}= 4\].
c] \[x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\]. Điều kiện: \[x ≥ 0\]. Đặt \[t = \sqrt{x}, t ≥ 0\]
Ta có:\[{t^2}-{\rm{ }}6t{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Suy ra: \[{t_1}= -1\] [loại], \[{t_2}= 7\]
Với \[t = 7\], ta có: \[\sqrt{x} = 7\]. Suy ra \[x = 49\].
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: \[x = 49\]
d] \[\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3\]. Điều kiện: \[x ≠ -1, x ≠ 0\]
Đặt \[\frac{x}{x+ 1}\] = t, ta có: \[\frac{x+1}{x}\] = \[\frac{1}{t}\]. Vậy ta có phương trình: \[t - \frac{10}{t} – 3 = 0\]
hay: \[{t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }}-{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Suy ra \[{t_1} = 5, {t_2} = -2\].
- Với \[{t_1}= 5\], ta có \[\frac{x}{x+ 1} = 5\] hay \[x = 5x + 5\]. Suy ra \[x = -\frac{5}{4}\]
- Với \[{t_2} = -2\], ta có \[\frac{x}{x+ 1}= -2\] hay \[x = -2x – 2\]. Suy ra \[x = -\frac{2}{3}\].
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{x_1}= -\frac{5}{4}\], \[{x_2} =-\frac{2}{3}\]
Giaibaitap.me
Page 2
Bài 41 trang 58 sgk Toán 9 tập 2
Bài 41. Trong lúc học nhóm bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ?
Bài giải.
Gọi số mà một bạn đã chọn là: \[x\] và số bạn kia chọn là: \[x+5\].
Tích của hai số là: \[x[x+5]\]
Theo đầu bài ta có phương trình:
\[x[x+5]=150\] hay \[{x^2}+5x-150=0\]
Giải phương trình ta được: \[{x_1}=10,{x_2}=-15\]
Vậy:+] nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.
+] nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn số -10 hoặc ngược lại.
Bài 42 trang 58 sgk Toán 9 tập 2
Bài 42. Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm ?
Bài giải:
Gọi lãi suất cho vay là \[x\] [%], \[[x > 0]\].
Tiền lãi sau một năm là: \[2 000 000 . \frac{x}{100}\] hay \[20000x\] [đồng]
Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: \[2 000 000 + 20000x\] [đồng]
Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:
\[[2 000 000 + 20000x]\frac{x}{100}\]hay \[20000x + 200{x^2}\]
Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:
\[2 000 000 + 40000x + 200x^2\]
Theo đầu bài ra ta có phương trình:
\[2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 420 000\]
hay \[x^2+ 200x - 2 100 = 0\]
Giải phương trình:
\[\Delta = 100^2 - 1 . [-2 100] = 10 000 + 2 100 = 12 100\]
\[=> \sqrt{\Delta'}= 110\]
nên \[{x_1}\] = \[\frac{-100-110}{1} = -210\], \[{x_2}\]= \[\frac{-100+110}{1}= 10\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_1}\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy lãi suất là 10%.
Bài 43 trang 58 sgk Toán 9 tập 2
Bài 43. Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài \[120\] km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường dài hơn đường lúc đi \[5\]km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là \[5\] km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Bài giải:
Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là \[x\][km/h], \[x > 0\], thì vân tốc lúc về là \[x - 5\] [km/h].
Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: \[\frac{120}{x} + 1\] [giờ]
Đường về dài: \[120 + 5 = 125\] [km]
Thời gian về là: \[\frac{125}{x-5}\] [giờ]
Theo đầu bài có phương trình: \[\frac{120}{x} + 1 =\frac{125}{x-5}\]
Giải phương trình:
\[x^2 – 5x + 120x – 600 = 125x \Leftrightarrow x^2 – 10x – 600 = 0\]
∆’ = [-5]2 – 1 . [-600] = 625, √∆’ = 25
\[{x_1} = 5 – 25 = -20, {x_2} = 5 + 25 = 30\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_1} = -20\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h
Bài 44 trang 58 sgk Toán 9 tập 2
Bài 44. Đố em vừa tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một đơn vị.
Giải
Gọi số phải tìm là \[x\].
Theo giả thiết một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: \[\frac{x}{2}\] - \[\frac{1}{2}\]
Theo đầu bài ta có phương trình: \[[\frac{x}{2}-\frac{1}{2}]\]\[\frac{x}{2}\] = \[\frac{1}{2}\]
hay \[x^2 – x – 2 = 0\], có \[a – b + c = 1 – [-1] – 2 = 0\] nên: \[{x_1} = -1, {x_2} = 2\]
Vậy số phải tìm bằng -1 hoặc 2.
Giaibaitap.me
Page 3
Bài 45 trang 59 sgk Toán 9 tập 2
Bài 45. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Bài giải:
Gọi số bé là \[x\], \[x ∈ N, x > 0\],
số tự nhiên kề sau là \[x + 1\].
Tích của hai số này là \[x[x + 1]\] hay \[x^2+ x\].
Theo đầu bài ta tích của hai số lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình:
\[x^2 + x - 2x - 1 = 109\] hay \[x^2- x - 110 = 0\]
Giải phương trình: \[\Delta = 1 + 440 = 441\], \[\sqrt{\Delta} = 21\]
\[{x_1} = 11, {x_2} = -10\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -10\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy hai số phải tìm là: 11 và 12
Bài 46 trang 59 sgk Toán 9 tập 2
Bài 46. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \[240\] m2. Nếu tăng chiều rộng \[3\] m và giảm chiều dài \[4\] m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
Bài giải:
Gọi chiều rộng của mảnh đất là \[x\] [m], \[x > 0\].
Vì diện tích của mảnh đất bằng \[240\] m2 nên chiều dài là: \[\frac{240}{x}\] [m]
Nếu tăng chiều rộng \[3\]m và giảm chiều dài \[4\]m thì mảnh đất mới có chiều rộng là \[x + 3\] [m],
chiều dài là [\[\frac{240}{x}- 4]\] [m] và diện tích là:
\[[x + 3][\frac{240}{x}\] - 4] [ m2 ]
Theo đầu bài ta có phương trình: \[[x + 3][\frac{240}{x}- 4] = 240\]
Từ phương trình này suy ra:
\[-4x^2 – 12x + 240x + 720 = 240x\]
hay \[x^2 + 3x – 180 = 0\]
Giải phương trình: \[\Delta = 3^2 + 720 = 729\], \[\sqrt{\Delta} = 27\]
\[{x_1} = 12, {x_2} = -15\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -15\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là \[12\]m, chiều dài là: \[240 : 12 = 20\] [m]
Vậy mảnh đất có chiều rộng là \[12\]m, chiều dài là \[20\]m.
Bài 47 trang 59 sgk Toán 9 tập 2
Bài 47. Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài \[30\] km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là \[3\] km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe mỗi người.
Bài giải:
Gọi vận tốc của bác Hiệp là \[x\] [km/h], \[x > 0\] khi đó vận tốc của cố Liên là \[x - 3\] [km/h]
Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là \[\frac{30}{x}\] [giờ].
Thời gian bác Liên đi từ làng lên tỉnh là: \[\frac{30}{x-3}\] [giờ]
Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình:
\[\frac{30}{x-3}\] - \[\frac{30}{x}\] = \[\frac{1}{2}\]
Giải phương trình:
\[x[x - 3] = 60x - 60x + 180\] hay \[x^2 – 3x - 180 = 0\]
\[{x_1} = 15, {x_2} = -12\]
Vì \[x > 0 \]nên \[{x_2} = -12\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy vận tốc của bác Hiệp là \[15\] km/h
Vận tốc của cô Liên là \]12\] km/h
Giaibaitap.me
Page 4
Bài 48 trang 59 sgk Toán 9 tập 2
Bài 48. Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng \[5\] dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích \[1500\] dm3 [h.15]. Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
Bài giải:
Gọi chiều rộng của miếng tôn là \[x\] [dm], \[x > 0\].
Chiều dài của nó là \[2x\] [dm]
Khi làm thành một cái thùng không đáy thì chiều dài của thùng là \[2x - 10\] [dm], chiều rộng là \[x - 10\] [dm], chiều cao là \[5\] [dm].
Dung tích của thùng là \[5[2x - 10][x - 10]\] [dm3]
Theo đầu bài ta có phương trình:
\[5[2x - 10][x - 10] = 1500\] hay
\[x^2 – 15x – 100 = 0\]
Giải phương trình: \[\Delta = 225 + 400 = 625\], \[\sqrt{\Delta} = 25\]
\[{x_1} = 20, {x_2} = -5\] [loại]
Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 [dm], chiều dài bằng 40 [dm].
Bài 49 trang 59 sgk Toán 9 tập 2
Bài 49. Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc ?
Bài giải:
Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là \[x\] [ngày], \[x > 0\].
Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là \[x + 6\] [ngày].
Mỗi ngày đội I làm được \[\frac{1}{x}\] [công việc].
Mỗi ngày đội II làm được \[\frac{1}{x+6}\] [công việc]
Hai đội làm 4 ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được \[\frac{1}{4}\] công việc ta có phương trình:
\[\frac{1}{x}\] + \[\frac{1}{x+6}\] = \[\frac{1}{4}\]
Giải phương trình: \[x[x + 6] = 4x + 4x + 24\] hay \[x^2– 2x - 24 = 0\], \[\Delta' = 1 + 24 = 25 = 5^2\]
\[{x_1} = 1 + 5 = 6, {x_2} = 1 - 5 = -4\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = 1 - 5 = -4\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy một mình đội I làm trong \[6\] ngày thì xong việc.
Một mình đội II làm trong \[12\] ngày thì xong việc.
Bài 50 trang 59 sgk Toán 9 tập 2
Bài 50. Miếng kim loại thứ nhất nặng \[880\] g, miếng kim loại thứ hai nặng \[858\] g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là \[10\] cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là \[1\] g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
Bài giải:
Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \[x\] [g/cm3 ]
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \[x - 1\] [g/cm3 ]
Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \[\frac{880}{x}\] [cm3 ]
Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \[\frac{858}{x-1}\] [cm3 ]
Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là \[10\] cm3 nên ta có phương trình: \[\frac{858}{x-1} - \frac{880}{x} = 10\]
Giải phương trình:
\[10x[x - 1] = 858x - 880x + 880\] hay \[5x^2 + 6x - 440 = 0\]
\[\Delta'=9 + 2200 = 2209\], \[\sqrt{\Delta' }= 47\]
\[{x_1}= 8,8, {x_2} = -10\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -10\] [loại]
Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \[8,8\] g/cm3
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \[7,8\] g/cm3
Giaibaitap.me
Page 5
Bài 51 trang 59 sgk Toán 9 tập 2
Bài 51. Người ta đổ thêm \[200\] g nước vào một dung dịch chứa \[40\] g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi \[10\] %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ?
Bài giải:
Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: \[x\] [g], \[x > 0\]
Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: \[\frac{40}{x + 40}\]
Nếu đổ thêm \[200\] g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: \[x + 40 + 200\] [g]
Nồng độ của dung dịch bây giờ là: \[\frac{40}{x + 240}\]
Vì nồng độ muối giảm \[10\]% nên ta có phương trình:
\[\frac{40}{x + 40}\] - \[\frac{40}{x + 240}\] = \[\frac{10}{100}\]
Giải phương trình:
\[[x + 40][x + 240] = 400[x + 240 - x - 40]\]
hay \[x^2 + 280x - 70400 = 0\]
\[\Delta' = 19600 + 70400 = 90000\], \[\sqrt{\Delta'} = 300\]
\[{x_1} = 160, {x_2} = -440\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -440\] [loại]
Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có \[160\] g nước.
Bài 52 trang 60 sgk Toán 9 tập 2
Bài 52. Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là \[30\] km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ \[40\] phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả \[6\] giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là \[3\] km/h.
Bài giải:
Gọi vận tốc thực của canô là \[x\] [km/h], \[x > 3\] , nên vận tốc khi đi xuôi dòng là: \[x + 3\] [km/h] và vận tốc khi ngược dòng là: \[x - 3\] [km/h]
Thời gian xuôi dòng là: \[\frac{30}{x + 3}\] [giờ]
Thời gian ngược dòng là: \[\frac{30}{x - 3}\] [giờ]
Nghỉ lại \[40\] phút hay \[\frac{2}{3}\] giờ ở B.
Theo đầu bài kể từ khi khời hành đến khi về tới bến A hết tất cả \[6\] giờ nên ta có phương trình: \[\frac{30}{x+ 3}+ \frac{30}{x- 3}+ \frac{2}{3} = 6\]
Giải phương trình:
\[16[x + 3][x - 3] = 90[x + 3 + x - 3]\] hay: \[4x^2 - 45x - 36 = 0\]
\[\Delta = 2025 + 576 = 2601, \sqrt{\Delta} = 51\]
\[{x_1} = 12, {x_2} = -\frac{3}{4}\] [loại]
Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là \[12\] km/h.
Bài 53 trang 60 sgk Toán 9 tập 2
Bài 53. Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn [h.16].
Hãy tìm tỉ số ấy.
Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.
Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là \[x\].
Bài giải:
Giả sử\[M\] là điểm chia đoạn \[AB\] và \[AB\] có độ dài bằng \[a\].
Gọi độ dài của \[AM = x, 0 < x < a\]. Khi đó \[MB = a - x\].
Theo đầu bài: \[{{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}\] hay \[{x \over a} = {{a - x} \over x}\]
Giải phương trình: \[x^2 = a[a - x]\] hay \[x^2 + ax - a^2= 0\]
\[\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}\]
\[{x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a[\sqrt 5 - 1]} \over 2},{x_2} = {{ - a[\sqrt 5 + 1]} \over 2}\]
Vì \[x > 0\] nên \[{x_2}\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy \[AM={{a[\sqrt 5 - 1]} \over 2}\]
Tỉ số cần tìm là: \[{{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 2}\]
Giaibaitap.me
Page 6
Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 54. Vẽ đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] và \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] trên cùng một hệ trục tọa độ
a] Qua điểm \[B[0; 4]\] kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
b] Tìm trên đồ thị của hàm số \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ:
- Tính toán theo công thức.
Giải:
Vẽ đồ thị hàm số:
* Hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] và \[y = - {1 \over 4}{x^2}\]
- Tập xác định \[D = R\]
- Bảng giá trị
- Đồ thị hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] và \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] là các Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] nằm trên trục hoành, đồ thị hàm số \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] nằm dưới trục hoành.
a] Đường thẳng qua \[B[0; 4]\] song song với \[Ox\] cắt đồ thị tại hai điểm \[M, M'\] [xem trên đồ thị]. Từ đồ thị ta có hoành độ của \[M\] là \[x = 4\], của \[M'\] là \[x = - 4\].
b] Trên đồ thị hàm số \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] ta xác định được điểm \[N\] và \[N’\] có cùng hoành độ với \[M, M’\]. ta được đường thẳng \[M, M’\]
Tìm tung độ của \[N, N’\]
- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của \[N\] là \[y = - 4\]; của \[N’\] là \[y = -4\]
- Tính toán theo công thức:
Điểm \[N\] trên \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] có \[x = 4\] nên \[y = - {1 \over 4}{.4^2} = - 4\]
Điểm \[N’\] trên \[y = - {1 \over 4}{x^2}\] có \[x = 4\] nên \[y = - {1 \over 4}.{[ - 4]^2} = - 4\]
Vậy tung độ của \[N, N’ = -4\].
Bài 55 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 55. Cho phương trình \[x^2 – x – 2 = 0\]
a] Giải phương trình
b] Vẽ hai đồ thị \[y = x^2\] và \[y = x + 2\] trên cùng một hệ trục tọa độ.
c] Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a] là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Hướng dẫn làm bài:
a] Giải phương trình: \[x^2 – x – 2 = 0\]
\[\Delta = [-1]^2– 4.1.[-2] = 1 + 8 > 0\]
\[\sqrt\Delta= \sqrt9 = 3\]
\[\Rightarrow {x_1} = -1; {x_2}= 2\]
b] Vẽ đồ thị hàm số
- Hàm số \[y = x^2\]
+ Bảng giá trị:
- Hàm số \[y = x + 2\]
+ Cho \[x = 0 ⇒ y = 2\] được điểm \[A[0;2]\]
+ Cho \[x = -2 ⇒ y = 0\] được điểm \[B[-2;0]\]
Đồ thị hàm số:
c] Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_1} = - 1 \hfill \cr {x_2} = 2 \hfill \cr} \right.\]
Điều này chứng tỏ rằng đồ thị đường thẳng cắt đồ thị parapol tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \[x = -1; x= 2\]. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình \[x^2 - x - 2 = 0\] ở câu a].
Bài 56 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 56. Giải các phương trình:
a] \[3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\]
b] \[2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\]
c] \[{x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\]
Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\]
Ta có phương trình:
\[\eqalign{ & 3{t^2} - 12t + 9 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \cr} \]
Phương trình có \[a + b + c = 0\] nên có hai nghiệm \[{t_1} = 1; {t_2} = 3\] [đều thỏa mãn]
Với \[{t_1} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
Với \[{t_2} = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3\]
b] \[2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\]
Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\]
Ta có phương trình :
\[\eqalign{ & 2{t^2} + 3t - 2 = 0 \cr & \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 \cr
& \Rightarrow {t_1} = {{ - 3 + 5} \over 4} = {1 \over 2}[TM];{t_2} = - 2[loại] \cr}\]
Với \[t = {1 \over 2} \Rightarrow {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\]
c] \[{x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\]
Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\]
Ta có phương trình :
\[t^2 + 5t + 1 = 0\]
\[\Delta = 25 – 2 = 21\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow {t_1} = {{ - 5 + \sqrt {21} } \over 2} < 0[loại] \cr
& {t_2} = {{ - 5 - \sqrt {21} } \over 2} < 0[loại] \cr} \]
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 57. Giải các phương trình:
a] \[5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\]
b] \[{{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\]
c] \[{x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\]
d] \[{{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\]
e] \[2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left[ {x + 1} \right]\]
f] \[{x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right]\]
Hướng dẫn làm bài:
a]
\[\eqalign{ & 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr & \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}\]
Phương trình có \[a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0\] nên có 2 nghiệm \[{x_1}= -1; {x_2}= 2\]
b]
\[\eqalign{ & {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr & \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr
& \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr} \]
c] \[{x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\] ĐKXĐ: \[x ≠ 0; x ≠ 2\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} = 10 - 2{\rm{x}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Delta ' = 1 + 10 = 11 \cr & \Rightarrow {x_1} = - 1 + \sqrt {11} [TM] \cr
& {x_2} = - 1 - \sqrt {11} [TM] \cr} \]
d] \[{{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\] ĐKXĐ: \[x \ne \pm {1 \over 3}\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2{\rm{x}} + 1} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{14{\rm{x}} + 4} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow \left[ {2{\rm{x}} + 1} \right]\left[ {3{\rm{x}} - 1} \right] = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + x - 1 = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 13{\rm{x}} - 5 = 0 \cr & \Delta = {[ - 13]^2} - 4.6.[ - 5] = 289 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {289} = 17 \cr & \Rightarrow {x_1} = {5 \over 2}[TM] \cr
& {x_2} = - {1 \over 3}[loại] \cr} \]
e]
\[\eqalign{ & 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left[ {x + 1} \right] \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]x + 1 - \sqrt 3 = 0 \cr & \Delta = {\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]^2} - 8\sqrt 3 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right] \cr & = 15 - 2.5.\sqrt 3 + 3 = {\left[ {5 - \sqrt 3 } \right]^2} \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left[ {5 - \sqrt 3 } \right]}^2}} = 5 - \sqrt 3 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \cr}\]
f]
\[\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right] \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {2\sqrt 2 - 3} \right]x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr} \]
Giaibaitap.me
Page 7
Bài 58 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 58. Giải các phương trình
a] \[1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\]
b] \[5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\] [1]
\[ \Leftrightarrow x\left[ {1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2 = 0[*] \hfill \cr} \right.\]
Giải [*]: \[1,2x^2 – x – 0,2 = 0\]
Ta có: \[a + b + c = 1,2 + [-1] + [-0,2] = 0\]
Vậy [*] có 2 nghiệm: \[{x_1}= 1\]; \[{x_2} = {{ - 0,2} \over {1,2}} = - {1 \over 6}\]
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = - {1 \over 6}\]
b] \[5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\]
\[⇔ x^2[5x – 1] – [5x – 1] = 0\]
\[⇔ [5x – 1][x^2– 1] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{5{\rm{x}} - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {1 \over 5} \hfill \cr x = \pm 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy phương trình [2] có 3 nghiệm: \[{x_1} = {1 \over 5};{x_2} = - 1;{x_3} = 1\]
Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 59. Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a] \[2{\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + 3\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right] + 1 = 0\]
b] \[{\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 4\left[ {x + {1 \over x}} \right] + 3 = 0\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[2{\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + 3\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right] + 1 = 0\]
Đặt \[x^2 – 2x = t\]. Khi đó [1] \[⇔ 2t^2+ 3t +1 = 0 \][*]
Phương trình [*] có \[a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0\]
Vậy phương trình [*] có hai nghiệm:
- Với \[t = -1\]. Ta có
\[\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {x_2} = 1 \cr}\]
- Với \[t = - {1 \over 2}\]. Ta có:
\[\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 2.1 = 4 - 2 = 2 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 2 \cr & \Rightarrow {x_3} = {{ - \left[ { - 2} \right] + \sqrt 2 } \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \cr
& {x_4} = {{ - \left[ { - 2} \right] - \sqrt 2 } \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \cr} \]
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \[{x_1} = {x_2} = 1;{x_3} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2};{x_4} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2}\]
b] \[{\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 4\left[ {x + {1 \over x}} \right] + 3 = 0\]
Đặt \[x + {1 \over x} = t\] ta có phương trình: \[t^2 – 4t + 3t = 0\]
Phương trình có \[a + b + c = 1 – 4 + 3 =0\] nên có 2 nghiệm \[{t_1} =1, {t_2}=3\]
Với \[{t_1} =1\], ta có:
\[\eqalign{ & x + {1 \over x} = 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4 = - 3 < 0 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm
Với \[{t_2}= 3\], ta có
\[\eqalign{ & x + {1 \over x} = 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4 = 5 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}[TM] \cr} \]
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \[ \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]
Bài 60 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 60. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm [ghi kèm theo], hãy tìm nghiệm kia:
a] \[12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\]
b] \[2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\]
c] \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \]
d] \[{x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\]
Ta có: \[{x_1}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {1 \over 2}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {x_2} = {1 \over 6}\]
b] \[2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\]
Ta có: \[{x_1}.{x_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow - 3{{\rm{x}}_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow {x_2} = {{13} \over 2}\]
c] \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \]
Ta có:
\[\eqalign{ & {x_1}.{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 2 .{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr
& \Leftrightarrow {x_2} = {{\sqrt 2 - 2} \over { - \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]} \over { - \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1 \cr} \]
d] \[{x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\]
Vì \[{x_1} = 2\] là một nghiệm của pt [1] nên
\[2^2- 2m.2 + m - 1 = 0\]
\[⇔ m = 1\]
Khi \[m = 1\] ta có: \[{x_1}{x_2} = m - 1\] [hệ thức Vi-ét]
\[⇔ 2.{x_2}= 0\] [vì \[{x_1} = 2\] và \[m = 1\]]
\[⇔ {x_2}= 0\]
Giaibaitap.me
Page 8
Bài 61 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 61. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a] \[u + v = 12\]; \[uv = 28\] và \[u > v\]
b] \[u + v = 3; uv = 6\]
Hướng dẫn làm bài:
a] \[u + v = 12; uv = 28\] và \[u > v\]
\[u\] và \[v\] là hai nghiệm của phương trình:
\[x^2 – 12x + 28 = 0\]
\[\Delta'= 36 – 28 = 8\]
\[ \Rightarrow {x_1} = 6 + 2\sqrt 2 ;{x_2} = 6 - 2\sqrt 2 \]
Vì \[6 + 2\sqrt 2 > 6 - 2\sqrt 2\] nên suy ra \[u = 6 + 2\sqrt 2 ;v = 6 - 2\sqrt 2\]
b] \[u + v = 3; uv = 6\]
\[u\] và \[v\] là hai nghiệm của phương trình:
\[x^2 – 3x + 6 = 0\]
\[\Delta = [-3]^2 – 4.1.6 = 9 – 24 = -15 < 0\]
Phương trình vô nghiêmh suy ra không có 2 số \[u\] và \[v\] thỏa mãn điều kiện đã cho.
Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 62. Cho phương trình \[7x^2 + 2[m – 1]x – m^2= 0\]
a] Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình có nghiệm?
b] Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \[m\].
Giải
Xét phương trình \[7x^2 + 2[m – 1]x – m^2 = 0\] [1]
a] Phương trình có nghiệm khi \[\Delta’ ≥ 0\]
Ta có: \[\Delta’ = [m – 1]^2 – 7[-m^2] = [m – 1]^2 + 7m^2 ≥ 0\] với mọi \[m\]
Vậy phương trình [1] luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \[m\]
b] Gọi \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình [1]
Ta có:
\[\eqalign{ & x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{{\rm{x}}_1}{x_2} \cr & = \left[ {{{ - 2{{\left[ {m - 1} \right]}^2}} \over 7}} \right] - 2{{{{ { - m} }^2}} \over 7} \cr & = {{4{m^2} - 8m + 4} \over {49}} + {{2{m^2}} \over 7} \cr & = {{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}} \over {49}} \cr
& = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}} \cr} \]
Vậy \[x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\] .
Bài 63 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 63. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Giải
Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là \[x\] % \[[x > 0]\].
Sau một năm dân số của thành phố là:
\[2 000 000 + 2 000 000 . {x \over {100}}= 2 000 000 + 20 000x\] [người]
Sau hai năm, dân số của thành phố là:
\[2000000 +20 000x + [2000 000 + 20 000x]. {x \over {100}}\]
\[= 2000 000 + 40 000x + 200x^2\] [người]
Ta có phương trình:
\[2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 020 050\]
\[⇔ 4x^2 + 800x – 401 = 0\]
\[\Delta' = 400^2 – 4[-401] = 160 000 + 1 604\]
\[= 161 604 > 0\]
\[\sqrt\Delta'= \sqrt{161 604} = 402\]
Vậy phương trình có 2 nghiệm:
\[{x_1} = {{ - 400 + 402} \over 4} = 0,5[TM]\]
\[{x_2} = {{ - 400 - 402} \over 4} = - 200,5 < 0\] [loại]
Tỉ lệ tăng dẫn số trung bình hàng năm của thành phố là \[0,5\] %
Giaibaitap.me
Page 9
Bài 64 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 64. Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Giải:
Gọi \[x\] là số dương mà đấu bài cho, \[x ∈ N*\]
Bạn Quân đã chọn số \[[x – 2]\] để nhân với \[x\].
Theo đề bài, ta có: \[x[x – 2] = 120\] hay \[x^2 – 2x – 120 = 0\]
Giải phương trình ta được \[x = 12\] [thỏa mãn] và \[x=-10\] [loại]
Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của \[x\] với \[x +2\]
Vậy kết quả đúng phải là: \[12.14 = 168\]
Bài 65 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 65. Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn [Quảng Ngãi]. Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.
Giải:
Gọi \[x\] [km/h] là vận tốc của xe thứ nhất. Điều kiện \[x > 0\].
Khi đó vận tốc của xe lửa thứ hai là \[x + 5\] [km/h].
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: \[{{450} \over x}\] [giờ]
Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: \[{{450} \over {x + 5}}\] [giờ]
Vì xe lửa thứ hai đi sau \[1\] giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất \[1\] giờ. Ta có phương trình:
\[{{450} \over x} - {{450} \over {x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 5{\rm{x}} - 2250 = 0\]
Giải phương trình ta được: \[{x_1} = 45\] [nhận]; \[{x_2} = -50\] [loại]
Vậy: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là \[45\] km/h
Vận tốc của xe lửa thứ hai là \[50\] km/h.
Bài 66 trang 64 SGK Toán 9 tập 2
Bài 66. Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC [h.17]. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Giải:
Gọi \[x\] [cm] là độ dài của đoạn \[AK\]. Điều kiện \[0 < x < 12\]
Vì \[∆ABC\] đồng dạng \[∆AMN\] nên
\[\eqalign{ & {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}} = {x \over {12}} \cr
& \Rightarrow MN = {{16x} \over {12}} = {{4{\rm{x}}} \over 3} \cr} \]
Ta có: \[MQ = KH = 12 – x\]
Do đó diện tich hình chữ nhật \[MNPQ\] là: \[\left[ {12 - x} \right]{{4{\rm{x}}} \over 3}\]
Ta có phương trình:
\[\left[ {12 - x} \right]{{4{\rm{x}}} \over 3} = 36 \Leftrightarrow {x^2} - 12{\rm{x}} + 27 = 0\]
Giải phương trình ta được:
\[{x_1} = 9\] [nhận] hoặc \[{x_2} = 3\] [nhận]
Vậy độ dài của đoạn \[AK = 3cm\] hoặc \[9cm\]. Khi đó \[M\] sẽ có hai vị trí trên \[AB\] nhưng diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] luôn bằng \[36\] cm2
Giaibaitap.me
Page 10
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 11
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 12
Bài 7 trang 69 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 7. Cho hai đường tròn cùng tâm \[O\] với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua \[O\] cắt hai đường tròn đó tại các điểm \[A, B, C, D, M, N, P, Q\] [h.8]
a]Em có nhận xét gì về số đo của các cung \[AM, CP, BN, DQ\].
b] Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.
c] Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
a] Các cung nhỏ \[\overparen{AM}, \overparen{CP}, \overparen{BN}, \overparen{DQ}\] có cùng số đo
b] \[\overparen{AM}\] = \[\overparen{DQ}\]; \[\overparen{BN}\] = \[\overparen{PC}\]; \[\overparen{AQ}\] =\[\overparen{ MD}\]; \[\overparen{BP}\] =\[\overparen{NC}\].
c] Các cung lớn bằng nhau:
\[\overparen{AMDQ} = \overparen{MAQD}\]; \[\overparen{BNCP} = \overparen{NBPC}\];
Bài 8 trang 70 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 8. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
a] Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau.
b] Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
c] Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.
d] Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
Hướng dẫn giải:
a] Đúng
b] Sai. Không rõ hai cung nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau không.
c] Sai[ như trên]
d] Đúng
Bài 9 trang 70 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 9. Trên đường tròn tâm \[O\] lấy ba điểm \[A, B, C\] sao cho \[\widehat{AOB} = 100^0\], sđ cung \[\overparen{AC} = 45^0\]. Tính số đo của cung nhỏ \[\overparen{BC}\] và cung lớn \[\overparen{BC}\]. [Xét cả hai trường hợp: điểm \[C\] nằm trên cung nhỏ \[\overparen{AB}\], điểm \[C\] nằm trên cung lớn \[\overparen{AB}\]].
Hướng dẫn giải:
a] Điểm \[C\] nằm trên cung nhỏ \[\overparen{AB}\] [ hình a]
Số đo cung nhỏ \[\overparen{BC} = 100^0 – 45^0 = 55^0\]
Số đo cung lớn \[\overparen{BC} = 360^0 – 55^0 = 305^0\]
b] Điểm \[C\] nằm trên cung lớn \[\overparen{AB}\] [hình b]
Số đo cung nhỏ \[\overparen{BC} = 100^0 + 45^0= 145^0\]
Số đo cung lớn \[\overparen{BC} = 360^0 – 145^0 = 215^0\]
Giaibaitap.me
Page 13
Bài 10 trang 71 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 10. a] Vẽ đường tròn tâm \[O\] bán kinh \[R = 2\] cm. Nêu cách vẽ cung \[\overparen{AB}\] có số đo bằng \[60^0\]. Hỏi dây \[AB\] dài bao nhiêu xentimet?
b] Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.
Hướng dẫn giải:
a] Vẽ đường tròn \[[O; R]\]. Vẽ góc ở tâm có số đo \[60^0\]. Góc này chắn \[\overparen{AB}\] có số đo \[60^0\] [hình a].
Tam giác \[AOB\] cân có \[\widehat{O}=60^0\] nên tam giác đều, suy ra \[AB = R\].
b] Theo câu a, ta có góc ở tâm bằng \[sđ\overparen{AB}=60^0\]. Số đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là \[360^0:60^0= 6\]. Suy ra được \[6\] cung tròn bằng nhau trên đường tròn.
Từ đó suy ra cách vẽ như sau:
Vẽ \[6\] dây cung bằng nhau và bằng bán kính \[R\]:
\[\overparen{{A_1}{A_2}} = \overparen{{A_2}{A_3}} = \overparen{{A_3}{A_4}}= \overparen{{A_4}{A_5}} = \overparen{{A_5}{A_6}} = \overparen{{A_6}{A_1}}\]
\[= {\rm{ }}R\]
Từ đó suy ra \[6\] cung bằng nhau. [hình b]
Bài 11 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 11. Cho hai đường tròn bằng nhau \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại hai điểm \[A\] và \[B\]. Kẻ các đường kính \[AOC, AO'D\]. Gọi \[E\] là giao điểm thứ hai của \[AC\] với đường tròn \[[O']\].
a] So sánh các cung nhỏ \[\overparen{BC}, \overparen{BD}\].
b] Chứng minh rằng \[B\] là điểm chính giữa của cung \[\overparen{EBD}\] [ tức điểm \[B\] chia cung \[\overparen{EBD}\] thành hai cung bằng nhau: \[\overparen{BE}\] = \[\overparen{BD}\] ].
Hướng dẫn giải:
a] Nối \[C\] đến \[D\].
Ta có 2 đường tròn bằng nhau \[=> AC = AD\]
\[=> ∆ ACD\] cân tại \[A\]
Lại có \[\widehat{ABC} = 90^0\]; do có \[OB = OC = OA = R\] [ tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ]
Tương tự có \[\widehat{ABD} = 90^0\]
\[=> \widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 180^0\]
\[=> C; B; D\] thẳng hàng và \[AB \bot CD\]
\[=> BC = BD\]
=> \[\overparen{BC}\] = \[\overparen{BD}\]
b] Nối \[E\] đến \[D\]; từ \[B\] hạ \[BH \bot ED\] Ta có góc \[\widehat{DEA} = 90^0\] [ chứng minh tương tự theo [a] ]
\[=> BH // EC\]
Mà theo [a] ta có \[BE = BD\]
\[=> BH\] là đường trung bình tam giác \[CDE\]
\[=> HE = HD\] mà \[BH \bot ED => B\] là điểm chính giữa \[\overparen{EBD}\]
Bài 12 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 12. Cho tam giác \[ABC\]. Trên tia đối của tia \[AB\] lấy một điểm \[D\] sao cho \[AD = AC\]. Vẽ đường tròn tâm \[O\] ngoại tiếp tam giác \[DBC\]. Từ \[O\] lần lượt hạ các đường vuông góc \[OH\], \[OK\] với \[BC\] và \[BD\] \[[H \in BC, K \in BD]\].
a] Chứng minh rằng \[OH > OK\].
b] So sánh hai cung nhỏ \[\overparen{BD}\] và \[\overparen{BC}\].
Hướng dẫn giải:
a] Trong \[∆ABC\], có \[BC < BA + AC\].
Mà \[AC = AD\] suy ra \[BC < BD\].
Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm, ta có \[OH > OK\].
b] Ta có \[BC < BD\] [cmt]
nên suy ra \[\overparen{BC}\] nhỏ hơn \[\overparen{BD}\] [ liên hệ cung và dây]
Giaibaitap.me
Page 14
Bài 13 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 13. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Giả sử \[AB\] và \[CD\] là các dây song song của đường tròn \[[O]\].
Kẻ \[OI \bot AB\] \[[I \in AB]\] và \[OK \bot CD [K\in CD]\].
Do \[AB //CD\] nên \[I,O,K\] thẳng hàng.
Do các tam giác \[OAB, OCD\] là các tam giác cân đỉnh \[O\] nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.
Vì vậy ta có: \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\]
Giả sử \[AB\] nằm ngoài \[\widehat{COD}\], ta có: \[\widehat {AOC} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat {{O_3}} = {180^0} - \widehat {{O_2}} - \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}\]
Suy ra \[\overparen{AC}\]= \[\overparen{BD}\].
Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta chứng minh tương tự.
Bài 14 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 14
a] Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b] Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
Hướng dẫn giải:
a. Vì \[I\] là điểm chính giữa của \[\overparen{AB}\], suy ra \[\overparen{IA}\] = \[\overparen{IB}\] \[⇒ IA = IB\]
Ta có: \[OA = OB =\] bán kính. Suy ra đường kính \[IK\] là đường trung trực của dây \[AB\]. Vậy \[HA = HB\] [đpcm]
Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh: Vì \[∆ AOB\] cân tại \[O\] và \[HA = HB\] nên \[OH\] là đường phân giác của góc \[\widehat{AOB}\]. Suy ra \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\]
Từ đó suy ra \[\overparen{IA}\] = \[\overparen{IB}\]
Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây \[AB\] đi qua tâm \[O\] của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
b. Ta có: \[\overparen{IA}\] = \[\overparen{IB}\] [gt] \[⇒ IA = IB\]
Điều này chứng tỏ rằng điểm \[ I\] nằm trên đường trung trực của \[AB\] [1]
Ta có \[OA = OB =\] bán kính
Điều này chứng tỏ rằng điểm \[O\] nằm trên đường trung trực của \[AB\] [2]
Từ [1] và [2] chứng tỏ rằng \[OI\] hay \[IK\] là đường trung trực của dây \[AB\]. Suy ra \[IK \bot AB\].
* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Kẻ đường kính \[KOI\] vuông góc với \[AB\].
Ta có \[OA = OB ⇒ ∆OAB\] cân tại \[O\]
Mà \[OH \bot AB\] nên \[OH\] là đường phân giác của \[\widehat{AOB}\] suy ra \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\]
Ta có \[∆OAI = ∆OBI\] [c.g.c]. Do đó \[AI = IB\]. Suy ra \[\overparen{AI}\] = \[\overparen{IB}\].
Vậy \[I\] là điểm chính giữa của \[\overparen{AB}\]
Giaibaitap.me
Page 15
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 16
Bài 19 trang 75 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 19. Cho một đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] và \[S\] là một điểm nằm ngoài đường tròn. \[SA\] và \[SB\] lần lượt cắt đường tròn tại \[M, N\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BM\] và \[AN\]. Chứng minh rằng \[SH\] vuông góc với \[AB\].
Hướng dẫn giải:
\[BM \bot SA\] [\[\widehat{AMB}\] = \[90^{\circ}\] vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn].
Tương tự, có: \[AN \bot SB\]
Như vậy \[BM\] và \[AN\] là hai đường cao của tam giác \[SAB\] và \[H\] là trực tâm.
Suy ra \[SH \bot AB\].
[Trong một tam giác ba đường cao đồng quy]
Bài 20 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 20. Cho hai đường tròn \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\]. Vẽ các đường kính \[AC\] và \[AD\] của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm \[C, B, D\] thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Nối \[B\] với 3 điểm \[A, C, D\] ta có:
\[\widehat{ABC}\] = \[90^{\circ}\]
[góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[\widehat{ABD}\] =\[90^{\circ}\]
[ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Vậy \[\widehat{ABC}\] + \[\widehat{ABD}\] = \[180^{\circ}\]
Suy ra ba điểm \[A, C, D\] thẳng hàng.
Bài 21 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 21. Cho hai đường tròn bằng nhau \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\]. Vẽ đường thẳng qua \[A\] cắt \[O\] tại \[M\] và cắt \[[O']\] tại \[N\] [ \[A\] nằm giữa \[M\] và \[N\]]. Hỏi \[MBN\] là tam giác gi? Tại sao?
Hướng dẫn giải:
Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ \[\overparen{AB}\] bằng nhau. Vì cùng căng dây \[AB\].
Suy ra \[\widehat N = \widehat M\] [cùng chắn hai cung bằng nhau] nên tam giác \[BMN\] là tam giác cân đỉnh \[B\]
Bài 22 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 22. Trên đường tròn \[[O]\] đường kính \[AB\], lấy điểm \[M\] [khác \[A\] và \[B\]]. Vẽ đường qua \[A\] cắt \[[O]\] tại \[A\]. Đường thẳng \[BM\] cắt tiếp tuyến đó tại \[C\]. Chứng minh rằng ta luôn có: \[M{A^2} = MB.MC\]
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[∆MAB\] đồng dạng \[∆MCA\] [\[\widehat{A_{2}}\] = \[\widehat{C}\]; \[\widehat{B}\] = \[\widehat{A_{1}}\]]
nên \[\frac{MA}{MB}\] = \[\frac{MC}{MA}\]
Suy ra \[M{A^2} = MB.MC\]
Giaibaitap.me
Page 17
Bài 23 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 23. Cho đường tròn \[[O]\] và một điểm \[M\] cố định không nằm trên đường tròn. Qua \[M\] kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt \[[O]\] tại \[A\] và \[B\].Đường thẳng thứ nhất cắt \[[O]\] tại \[C\] và \[D\].
Chứng minh \[MA. MB = MC. MD\]
Hướng dẫn giải:
Xét hai trường hợp:
a] \[M\] ở bên trong đường tròn [hình a]
Xét hai tam giác \[MAB'\] và \[MA'B\] có:
\[\widehat{M_{1}}\] = \[\widehat{M_{2}}\] [ đối đỉnh]
\[\widehat{B'}\] = \[\widehat{B}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AA'\]].
Do đó \[∆MAB'\] đồng dạng \[∆MA'B\], suy ra:
\[\frac{MA}{MA'}\] = \[\frac{MB'}{MB}\], do đó \[MA. MB = MB'. MA'\]
b] \[M ở bên ngoài đường tròn [hình b]
Tương tự ta có:
\[∆MAB'\] đồng dạng \[∆MA'B\]
\[\widehat{M}\] chung
\[\widehat{B'}\] = \[\widehat{B}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AA'\]].
Suy ra: \[\frac{MA}{MA'}\] = \[\frac{MB'}{MB}\]
hay \[MA. MB = MB'. MA'\]
Bài 24 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 24. Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài \[AB = 40\]m, chiều cao \[MK = 3\]m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung \[AMB\]
Hướng dẫn giải:
Gọi \[MN = 2R\] là đường kính của đường tròn có cung tròn là \[AMB\]
Theo bài tập 23, ta có:
\[KA. KB = KM. KN\]
hay \[KA. KB = KM. [2R - KM]\]
Thay số, ta có:
\[20. 20 = 3[2R - 3]\]
do đó \[6R = 400 + 9 = 409\].
Vậy \[R\] = \[\frac{409}{6}\] \[≈68,2\] [mét]
Bài 25 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 25. Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài \[4\]cm và một cạnh góc vuông dài \[2,5\] cm.
Hướng dẫn giải:
Cách vẽ như sau:
- Vẽ đoạn thẳng \[BC\] dài \[4cm\].
- Vẽ nửa đưởng tròn đường kính \[BC\].
- Vẽ dây \[AB\] [hoặc dây \[CA\]] dài \[2,5cm\].
Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đầu bài [ \[\widehat{A}\]=\[90^{\circ}\], \[BC = 4cm, AB = 2,5cm\]]
Bài 26 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 26. Cho \[AB, BC, CA \] là ba dây của đường tròn \[[O]\]. Từ điểm chính giữa \[M\] của \[\overparen{AB}\] vẽ dây \[MN\] song song với dây \[BC\]. Gọi giao điểm của \[MN\] và \[AC\] là \[S\]. Chứng minh \[SM = SC\] và \[SN = SA\]
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[\overparen{MA}\]= \[\overparen{MB}\] [theo gt].
\[\overparen{NC}\]= \[\overparen{MB}\] [ vì \[MN // BC\]]
Suy ra \[\overparen{MA}\] = \[\overparen{NC}\], do đó \[\widehat {ACM} = \widehat {CMN}\]
Vậy \[∆SMC\] là tam giác cân, suy ra \[SM = SC\]
Chứng minh tương tự ta cũng có \[∆SAN\] cân , \[SN = SA\].
Giaibaitap.me
Page 18
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 19
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 20
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 21
Bài 36 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 36. Cho đường tròn \[[O]\] và hai dây \[AB\], \[AC\]. Gọi \[M, N\] lần lượt là điểm chính giữa của cung \[AB\] và cung \[AC\]. Đường thẳng \[MN\] cắt dây \[AB\] tại \[E\] và cắt dây \[AC\] tại \[H\]. Chứng minh rằng tam giác \[AEH\] là tam giác cân.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\widehat {AHM}\]= \[\frac{sđ\overparen{AM}+sđ\overparen{NC}}{2}\] [1]
\[\widehat {AEN}\]= \[\frac{sđ\overparen{MB}+sđ\overparen{AN}}{2}\] [2]
[Vì \widehat {AHM}\]và \[\widehat {AEN}\]là các góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn].
Theo gỉả thiết thì:
\[\overparen{AM}=\overparen{MB} [3]\]
\[\overparen{NC}=\overparen{AN} [4]\]
Từ [1],[2], [3], [4], suy ra \[\widehat {AHM}\]= \[\widehat {AEN}\] do đó \[∆AEH\] là tam giác cân.
Bài 37 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 37. Cho đường tròn \[[O]\] và hai dây \[AB\], \[AC\] bằng nhau. Trên cung nhỏ \[AC\] lấy một điểm \[M\]. Gọi \[S\] là giao điểm của \[AM\] và \[BC\]. Chứng minh: \[\widehat {ASC}\]=\[\widehat {MCA}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\widehat {ASC}\]= \[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{MC}}{2}\] [1]
[\[\widehat {ASC}\] là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn \[[O]\]]
và \[\widehat {MCA}\]=\[\frac{sđ\overparen{AM}}{2}\] [2]
[góc nội tiếp chắn cung \[\overparen{AM}\]]
Theo giả thiết thì:
\[AB = AC =>\]\[\overparen{AB}=\overparen{AC}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra: \[\overparen{AB}-\overparen{MC}=\overparen{AC}-\overparen{MC}=\overparen{AM}\]
Từ đó \[\widehat {ASC}=\widehat {MCA}\].
Bài 38 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 38. Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung \[AC, CD, DB\] sao cho
\[sđ\overparen{AC}\]=\[sđ\overparen{CD}\]=\[sđ\overparen{DB}\]=\[60^0\]. Hai đường thẳng \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[E\]. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[T\]. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {AEB}=\widehat {BTC}\];
b] \[CD\] là phân giác của \[\widehat{BTC}\]
Hướng dẫn giải:
a] Ta có \[\widehat{AEB}\] là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:
\[\widehat{AEB}\]=\[\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CD}}{2}\]=\[{{{{180}^0} - {{60}^0}} \over 2} = {60^0}\]
và \[\widehat{BTC}\] cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn [ hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn] nên:
\[\widehat{BTC}\]=\[\frac{\widehat {BAC}-\widehat {BDC}}{2}\]=\[{{[{{180}^0} + {{60}^0}] - [{{60}^0} + {{60}^0}]} \over 2} = {60^0}\]
Vậy \[\widehat {AEB} =\widehat {BTC}\]
b] \[\widehat {DCT} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nên:
\[\widehat {DCT}=\frac{sđ\overparen{CD}}{2}\]
\[\widehat {DCB}\] là góc nội tiếp trên
\[\widehat {DCB}=\frac{sđ\overparen{DB}}{2}={{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}\]
Vậy \[\widehat {DCT}=\widehat {DCB}\] hay \[CD\] là phân giác của \[\widehat {BCT} \]
Bài 39 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 39. Cho \[AB\] và \[CD\] là hai đường kính vuông góc của đường tròn \[[O]\]. Trên cung nhỏ \[BD\] lấy một điểm \[M\]. Tiếp tuyến tại \[M\] cắt tia \[AB\] ở \[E\], đoạn thẳng \[CM\] cắt \[AB\] ở \[S\].Chứng minh \[ES = EM\].
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\widehat{MSE}\] = \[\frac{sđ\overparen{CA}+sđ\overparen{BM}}{2}\] [1]
[ vì \[\widehat{MSE}\] là góc có đỉnh S ở trong đường tròn [O]]
\[\widehat{CME}\] = \[\frac{sđ\overparen{CM}}{2}\]= \[\frac{sđ\overparen{CB}+sđ\overparen{BM}}{2}\] [2]
[\[\widehat{CME}\] là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung].
Theo giả thiết \[\overparen{CA}=\overparen{CB}\] [3]
Từ [1], [2], [3] ta có: \[\widehat{MSE}\] = \[\widehat{CME}\] từ đó \[∆ESM\] là tam giác cân và \[ES = EM\]
Giaibaitap.me
Page 22
Bài 40 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 40. Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn [O], vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD
Trả lời:
Có: \[\widehat {ADS}=\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CE}}{2}\] [định lí góc có đỉnh ở ngoài đường tròn].
\[\widehat {SAD}=\frac{1}{2} sđ\overparen{AE}\] [định lí góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung].
Có: \[\widehat {BAE} = \widehat {EAC}\] \[\Rightarrow \] \[\overparen{BE}=\overparen{EC}\]
\[\Rightarrow\] \[sđ\overparen{AB}\]+\[sđ\overparen{EC}\]=\[sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{BE}\]=
\[sđ\overparen{AE}\]
nên \[\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\]\[\Rightarrow\] tam giác \[SDA\] cân tại \[S\] hay \[SA=SD\].
Bài 41 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 41. Qua điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn \[[O]\] vẽ hai cát tuyến \[ABC\] và \[AMN\] sao cho hai đường thẳng \[BN\] và \[CM\] cắt nhau tại một điểm \[S\] nằm bên trong đường tròn.
Chứng minh:
\[\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có :
\[\widehat{A}\]+\[\widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}\]
\[\widehat A\]=\[\frac{sđ\overparen{CN}-sđ\overparen{BM}}{2}\] [góc \[A\] là góc ngoài \[[0]\]] [1]
\[\widehat {BSM}\]=\[\frac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2}\] [góc \[S\] là góc trong \[[0]\]] [2]
\[\widehat {CMN}\]=\[\frac{sđ\overparen{CN}}{2}\]
\[\Leftrightarrow\] \[2\widehat {CMN}\]=\[sđ\overparen{CN}\]. [3]
Cộng [1] và[2] theo vế với vế:
\[\widehat{A}\]+\[\widehat {BSM}\] =\[\frac{2sđ\overparen{CN}+[sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM]}}{2}\]=\[\overparen{CN}\]
Từ [3] và [4] ta được: \[\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\]
Bài 42 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 42. Cho tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn. \[P, Q, R\] theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \[BC, CA, AB\] bởi các góc \[A, B, C\].
a] Chứng minh \[AP \bot QR\]
b] \[AP\] cắt \[CR\] tại \[I\]. Chứng minh tam giác \[CPI\] là tam giác cân
Hướng dẫn giải:
a] Gọi giao điểm của \[AP\] và \[QR\] là \[K\].
\[\widehat{AKR}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên
\[\widehat{AKR}\] = \[\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}\]=\[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BC}}{4}=90^0\]
Vậy \[\widehat{AKR} = 90^0\] hay \[AP \bot QR\]
b] \[\widehat{CIP}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:
\[\widehat{CIP}\] = \[\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\] [1]
\[\widehat {PCI}\] góc nội tiếp, nên \[\widehat {PCI}\]= \[\frac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\] [2]
Theo giả thiết thì cung \[\overparen{AR} = \overparen{RB}\] [3]
Cung \[\overparen{CP} = \overparen{BP}\] [4]
Từ [1], [2], [3], [4] suy ra: \[\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\]. Do đó \[∆CPI\] cân.
Bài 43 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 43. Cho đường tròn \[[O]\] và hai dây cung song song \[AB, CD\] [\[A\] và \[C\] nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ \[BD\]]; \[AD\] cắt \[BC\] tại \[I\]
Chứng minh \[\widehat{AOC }\] = \[\widehat{AIC }\].
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết: \[\overparen{AC}\]=\[\overparen{BD}\] [vì \[AB // CD\]] [1]
\[\widehat{AIC }\] = \[\frac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BD}}{2}\] [2]
Theo [1] suy ra \[\widehat{AIC }\] = \[sđ\overparen{AC}\] [3]
\[\widehat{AOC }\] = \[sđ\overparen{AC}\] [góc ở tâm chắn cung \[\overparen{AC}\]] [4]
So sánh [3], [4], ta có \[\widehat{AOC }\] = \[\widehat{AIC }\].
Giaibaitap.me
Page 23
- Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
- Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
- Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
- Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
- Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
- Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
- Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2
Page 24
Bài 47 trang 86 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 47. Gọi cung chứa góc \[55^0\] ở bài tập 46 là \[\overparen{AmB}\]. Lấy điểm \[{M_1}\] nằm bên trong và điểm \[{M_2}\] nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \[{M_1},{M_2}\] và cung \[\overparen{AmB}\] nằm cùng về một phía đối với đường thẳng \[AB\]. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {A{M_1}B} > 55^0\];
b] \[\widehat {A{M_2}B} < 55^0\].
Hướng dẫn giải:
\[{M_1}\] là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc \[55^0\] [hình a].
Gọi \[B’, A’\] theo thứ tự là giao điểm của \[{M_1}A\], \[{M_1}B\] với cung tròn. Vì \[\widehat{A{M_1}B}\] là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: \[\widehat {A{M_1}B}\] = \[\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{A'B'}}{2}\] = \[55^0\]+ [một số dương].
Vậy \[\widehat {A{M_1}B} > 55^0\]
b]
\[{M_2}\] là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn [h.b], \[{M_2}A,{M_2}B\] lần lượt cắt đường tròn tại \[A’, B’.\] Vì góc \[\widehat {A{M_2}B}\] là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên:
\[\widehat {A{M_2}B}\]=\[\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{A'B'}}{2}\]=\[55^0\]- [một số dương]
Vậy \[\widehat {A{M_2}B} < 55^0\]
Bài 48 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 48. Cho hai điểm \[A, B\] cố định. Từ \[A\] vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm \[B\] bán kính không lớn hơn \[AB\]. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp các đường tròn tâm \[B\] có bán kính \[BA\]. Tiếp tuyến \[BA\] vuông góc với bán kính \[BT\] tại tiếp điểm \[T\].
Do \[AB\] cố định nên quỹ tích của \[T\] là đường tròn đường kính \[AB\].
- Trường hợp các đường tròn tâm \[B\] có bán kính lớn hơn \[BA\]: quỹ tích là tập hợp rỗng.
Bài 49 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 49. Dựng tam giác \[ABC\], biết \[BC = 6cm\], \[\widehat{A}\] = \[40^0\] và đường cao \[AH = 4cm\].
Hướng dẫn giải:
Trình tự dựng gồm 3 bước:
- Dựng đoạn thẳng \[BC = 6cm\]
- Dựng cung chứa góc \[{40^0}\] trên đoạn thẳng \[BC\].
- Dựng đường thẳng \[xy\] song song với \[BC\] và cách \[BC\] một khoảng là \[4cm\] như sau:
Trên đường trung trực \[d\] của đoạn thẳng \[BC\] lấy đoạn \[HH' = 4cm\] [dùng thước có chia khoảng mm]. Dựng đường thẳng \[xy\] vuông góc với \[HH'\] tại \[H\].
Gọi giao điểm \[xy\] và cung chứa góc là \[\widehat{A}\], \[\widehat{A'}\]. Khi đó tam giác \[ABC\] hoặc \[A'BC\] đều thỏa yêu cầu của đề toán
Giaibaitap.me
Page 25
Bài 50 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 50. Cho đường tròn đường kính \[AB\] cố định. \[M\] là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[I\] sao cho \[MI = 2MB\].
a] Chứng minh \[\widehat{AIB}\] không đổi.
b] Tìm tập hợp các điểm \[I\] nói trên.
Hướng dẫn giải:
a] Vì \[\widehat{BMA}\] = \[90^0\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] suy ra trong tam giác vuông \[MIB\] có \[tg\widehat{AIB}\] = \[\frac{MB}{MI}\] = \[\frac{1}{2}\] =>\[\widehat{AIB}\] = \[26^0 34'\]
Vậy \[\widehat{AIB}\] không đổi.
b] Phần thuận:
Khi điểm \[M\] chuyển động trên đường tròn đường kính \[AB\] thì điểm \[I\] cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng \[AB\] cố định dưới góc \[26^0 34'\] , vậy điểm \[I\] thuộc hai cung chứa góc \[26^0 34'\] dựng trên đoạn thẳng \[AB\] [hai cung \[\overparen{AmB}\] và \[\overparen{Am'B}\]]
Phần đảo:
Lấy điểm \[I'\] bất kì thuộc \[\overparen{AmB}\]
hoặc \[\overparen{Am'B}\], \[I'A\] cắt đường tròn đường kính \[AB\] tại \[M'\].
Tam giác vuông \[BMT\], có \[tg\widehat{I'}\] = \[\frac{M'B}{M'I'}\] = \[tg26^034’\]
Kết luận: Quỹ tích điểm \[I\] là hai cung \[\overparen{AmB}\] và \[\overparen{Am'B}\]
Bài 51 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 51. Cho \[I, O\] lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] với \[\widehat{A}\] = \[60^0\]. Gọi \[H\] là giao điểm của các đường cao \[BB'\] và \[CC'\]
Chứng minh các điểm \[B, C, O, H, I\] cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\widehat{BOC}\] = \[2\widehat{BAC}\] = \[2.60^0\] = \[120^0\] [1]
[góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung]
và \[\widehat{BHC}\] = \[\widehat{B'HC'}\] [đối đỉnh]
mà \[\widehat{B'HC'}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\] = \[180^0- 60^0 = 120^0\]
nên \[\widehat{BHC}\] = \[120^0\] [2]
\[\widehat{BIC}\] = \[\widehat{A}\] + \[\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\]
= \[60^0\] + \[\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}\] = \[60^0+ 60^0\]
[sử dụng góc ngoài của tam giác]
Do đó \[\widehat{BIC}\] = \[120^0\]
Từ [1], [2], [3] ta thấy các điểm \[O, H, I\] cùng nằm trên các cung chứa góc \[120^0\] dựng trên đoạn thẳng \[BC\]. Nói cách khác, năm điểm \[B, C, O, H, I\] cùng thuộc một đường tròn
Bài 52 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 52. "Góc sút" của quả phạt đền \[11\] mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là \[7,32m\]. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền \[11 m\].
Hướng dẫn giải:
Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền là \[M\], và bề ngang cầu môn là \[PQ\] thì \[M\] nằm trên đường trung trực của \[PQ\]. Gọi \[H\] là trung điểm \[PQ\], \[\widehat{PMH}\] = \[\alpha\].
Theo các giả thiết đã cho thì trong tam giác vuông \[MHP\], ta có:
\[tgα\] = \[\frac{3,66}{11}\] \[≈ 0,333 => α = 18^036’\].
Vậy góc sút phạt đền là \[2α ≈ 37^012’\].
Giaibaitap.me
Page 26
Bài 53 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 53. Biết \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bẳng sau [nếu có thể]
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1:
Ta có \[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\] => \[\widehat{C}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\]= \[180^0\]– \[80^0\]=\[100^0\]
\[\widehat{B}\] + \[\widehat{D}\] = \[180^0\] => \[\widehat{D}\] = \[180^0\] - \[\widehat{B}\]= \[180^0\] – \[70^0\] = \[110^0\]
Vậy điểm \[\widehat{C}\] = \[100^0\] , \[\widehat{D}\] = \[110^0\]
- Trường hợp 2:
Ta có \[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\]=> \[\widehat{C}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\]= \[180^0\]– \[105^0\]= \[75^0\]
\[\widehat{B}\] + \[\widehat{D}\] = \[180^0\] => \[\widehat{D}\] = \[180^0\] - \[\widehat{B}\]= \[180^0\] – \[75^0\] = \[105^0\]
- Trường hợp 3:
\[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\]=> \[\widehat{C}\] = \[180^0\]- \[\widehat{A}\]= \[180^0\] – \[60^0\] =\[120^0\]
\[\widehat{B}\] + \[\widehat{D}\] = \[180^0\] Chẳng hạn chọn \[\widehat{B}\]= \[70^0\],\[\widehat{D}\] = \[110^0\]
- Trường hợp 4: \[\widehat{D}\] = \[180^0\]- \[\widehat{B}\]= \[180^0\] – \[40^0\]= \[140^0\]
Còn lại \[\widehat{A}\] + \[\widehat{C}\] = \[180^0\]. Chẳng hạn chọn \[\widehat{A}\]= \[100^0\] ,\[\widehat{B}\] =\[80^0\]
- Trường hợp 5: \[\widehat{A}\] = \[180^0\]- \[\widehat{C}\]=\[180^0\] – \[74^0\]= \[106^0\]
\[\widehat{B}\] = \[180^0\] - \[\widehat{D}\]= \[180^0\] – \[65^0\]= \[115^0\]
- Trường hợp 6: \[\widehat{C}\] = \[180^0\] - \[\widehat{A}\]= \[180^0\] – \[95^0\] = \[85^0\]
\[\widehat{B}\] = \[180^0\] - \[\widehat{D}\]=\[180^0\] – \[98^0\] = \[82^0\]
Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau:
Bài 54 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 54. Tứ giác \[ABCD\] có \[\widehat{ABC}\] + \[\widehat{ADC}\] = \[180^0\]. Chứng minh rằng các đường trung trực của \[AC, BD, AB\] cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn giải:
Tứ giác \[ABCD\] có tổng hai góc đối diện bằng \[180^0\] nên nội tiếp đường tròn tâm \[O\], ta có
\[OA = OB = OC = OD\]
Do đó các đường trung trực của \[AB, BD, AB\] cùng đi qua \[O\]
Bài 55 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 55. Cho \[ABCD\] là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \[M\], biết \[\widehat {DAB}\]= \[80^0\], \[\widehat {DAM}\] = \[30^0\], \[\widehat {BMC}\]= \[70^0\].
Hãy tính số đo các góc \[\widehat {MAB}\], \[\widehat {BCM}\], \[\widehat {AMB}\], \[\widehat {DMC}\], \[\widehat {AMD}\], \[\widehat {MCD}\] và \[\widehat {BCD}\]
Ta có: \[\widehat {MAB} = \widehat {DAB} - \widehat {DAM} = {80^0} - {30^0} = {50^0}\] [1]
- \[∆MBC\] là tam giác cân [\[MB= MC\]] nên \[\widehat {BCM} = {{{{180}^0} - {{70}^0}} \over 2} = {55^0}\] [2]
- \[∆MAB\] là tam giác cân [\[MA=MB\]] nên \[\widehat {MAB} = {50^0}\] [theo [1]]
Vậy \[\widehat {AMB} = {180^0} - {2.50^0} = {80^0}\]
\[\widehat {BAD}\] =\[\frac{sđ\overparen{BCD}}{2}\][số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn]
\[=>sđ\overparen{BCD}\]=\[2.\widehat {BAD} = {2.80^0} = {160^0}\]
Mà \[sđ\overparen{BC}\]= \[\widehat {BMC} = {70^0}\] [số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn]
Vậy \[sđ\overparen{DC}\]=\[{160^0} - {70^0} = {90^0}\] [vì C nằm trên cung nhỏ cung \[BD\]]
Suy ra \[\widehat {DMC} = {90^0}\] [4]
\[∆MAD\] là tam giác cân [\[MA= MD\]]
Suy ra \[\widehat {AMD} = {180^0} - {2.30^0}\] [5]
\[∆MCD\] là tam giác vuông cân [\[MC= MD\]] và \[\widehat {DMC} = {90^0}\]
Suy ra \[\widehat {MCD} = \widehat {MDC} = {45^0}\] [6]
\[\widehat {BCD} = {100^0}\] theo [2] và [6] và vì CM là tia nằm giữa hai tia \[CB, CD\].
Bài 56 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 56. Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác \[ABCD\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\widehat{BCE}\] = \[\widehat{DCF}\] [hai góc đối đỉnh]
Đặt \[x\] = \[\widehat{BCE}\] = \[\widehat{DCF}\]. Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:
\[\widehat{ABC}\] = \[x\] + \[40^0\] [1]
\[\widehat{ADC}\] = \[x\] + \[20^0\] [2]
Lại có \[\widehat{ABC}\] +\[\widehat{ADC}\] = \[180^0\] [3]
[hai góc đối diện tứ giác nội tiếp]
Từ [1], [2], [3] suy ra:
\[180^0\] = \[2x\] + \[60^0\] \[\Rightarrow\] \[x \]= \[60^0\]
Từ [1], ta có:
\[\widehat{ABC}\] = \[60^0\] + \[40^0\] = \[100^0\]
Từ [2], ta có:
\[\widehat{ADC}\] = \[60^0\] +\[20^0\] = \[80^0\]
\[\widehat{BCD}\] = \[180^0\] \[– x\] [hai góc kề bù]
\[\Rightarrow\]\[\widehat{BCD}\] = \[120^0\]
\[\widehat{BAD}\] = \[180^0\] - \[\widehat{BCD}\] [hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp]
\[\Rightarrow\] \[\widehat{BAD}\] = \[180^0\]– \[120^0\] = \[60^0\]
Giaibaitap.me