a. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c [1], trong đó a; b; c là các số đã biết; $a\neq0$ hoặc $b\neq0$
Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn
b. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Trong phương trình [1] nếu giá trị của vế trái tại $x=x_0;y=y_0$ bằng vế phải thì cặp số $[x_0;y_0]$ được gọi là một nghiệm của phương trình [1]
Ví dụ: Cặp số [3; 4] là một nghiệm của phương trình 2x - y = 2 vì 2.3 - 4 =2
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình [1] được biểu diễn bởi 1 điểm. Nghiệm $[x_0;y_0]$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $[x_0;y_0]$
c. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c [ $a\neq0$ hoặc $b\neq0$ ] luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là [d]
- Nếu $a\neq0$ và $b\neq0$ thì đường thẳng [d] chính là đồ thị của hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$
- Nếu $a\neq0$ và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay $x=\frac{c}{a}$ và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung.
- Nếu a = 0 và $b\neq0$ thì phương trình trở thành by = c hay $y=\frac{c}{b}$ và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành
Ví dụ: Phương trình 3x + y = 5 luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là $S=\left\{[x;5-3x]/ x\in R\right\}$
Phương trình 2x + 0y = 8 nghiệm đúng với mọi y và x = 4 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x=4\\y\in R\end{cases}$
Phương trình 0x + 4y = 8 nghiệm đúng với mọi x và y = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x\in R\\y=2\end{cases}$
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Khái niệm
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\,\,\,[I]\,\,\,[a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0]$
Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung $[x_0;y_0]$ thì $[x_0;y_0]$ được gọi là một nghiệm của hệ [I]
Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ [I] vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm [tìm tập nghiệm] của nó.
Ví dụ: $\begin{cases}x+y =6\\2x-y=3\end{cases}$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta thấy cặp số [3; 3] là một nghiệm của phương trình trên vì $\begin{cases}3+3 =6\\2.3-3=3\end{cases}$
b. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax+by=c\,\,\,[d]\\a’x+b’y=c’\,\,\,[d’]\end{cases}\,\,\,[I]\,\,\,[a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0]$
Nghiệm hệ phương trình [I] chính là số giao điểm của đường thẳng [d] và [d']
- Nếu [d] cắt [d'] thì $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$ Khi đó hệ [I] có một nghiệm duy nhất
- Nếu [d] song song với [d'] thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$ Khi đó hệ [I] vô nghiệm
- Nếu [d] trùng với [d'] thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$ Khi đó hệ [I] có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Xét hệ phương trình $\begin{cases}x+y=3\\x-2y=0\end{cases}$
Ta có: a = 1; b = 1; c = 3; a' = 1; b' = - 2; c' = 0
Khi đó $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hình vẽ minh họa
\n \n
Ví dụ 2: Xét hệ phương trình $\begin{cases}3x-2y=-6\\3x-2y=3\end{cases}$
Ta có: a = 3; b = -2; c = -6; a' = 3; b' = -2; c = 3
Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$ nên hệ phương trình vô nghiệm
Hình vẽ minh họa
\n \n
Ví dụ 3. Xét hệ phương trình $\begin{cases}x-2y=-6\\-x+2y=6\end{cases}$
Ta có: a = 1; b = - 2; c = - 6; a' = -1; b' = 2; c' =6
Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$ nên hệ phương trình vô số nghiệm
c. Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu $\Leftrightarrow$
Ví dụ: $\begin{cases}2x+y=5\\x-2y=8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x+y=5\\3x-y=13\end{cases}$
1. Các kiến thức cần nhớ
Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\a'x + b'y = c'\,\,\,[2]\end{array} \right.$
Trong đó $a, b, c, a’, b’, c’$ là các số thực cho trước, $x$ và $y$ là ẩn số
- Nếu hai phương trình [1] và [2] có nghiệm chung $[{x_0},\,{y_0}]$thì$[{x_0},\,{y_0}]$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình [1] và [2] không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'.\]
Trường hợp 1. \[d \cap d' = A\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\];
Trường hợp 2. \[d//d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 3. \[d \equiv d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}};\]
Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\];
Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.\]
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.
Phương pháp:
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\]
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\]
- Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\]
- Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\]
Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?
Phương pháp:
Cặp số \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\] khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'\] trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 [hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng]