- Câu 23
- Câu 24
Câu 23
Diện tích hình vành khăn giữa hai đường tròn đồng tâm \[[O ; R]\] và \[[O ; r] [R > r]\] là \[12,5\pi \,c{m^2}\]. Tiếp tuyến tại \[M\] của đường tròn \[[O ; r]\] cắt đường tròn \[[O ; R]\] tại \[A\] và \[B\]. Độ dài dây cung \[AB\] của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ là:
[A] \[5:\sqrt 2 \] [B] \[5\]
[C] \[5\sqrt 2 \] [D] \[10\]
Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng.
Phương pháp giải:
+ Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính \[R\] là \[S = \pi {R^2}\], từ đó suy ra diện tích hình vành khăn
+ Sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung, định lý Pytago để tính toán.
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình tròn \[\left[ {O;R} \right]\] là \[{S_1} = \pi {R^2}\,\left[ {c{m^2}} \right]\] , diện tích hình tròn \[\left[ {O;r} \right]\] là \[{S_2} = \pi {r^2}\,\left[ {c{m^2}} \right]\]
Suy ra diện tích hình vành khăn là \[S = {S_1} - {S_2} = \pi {R^2} - \pi {r^2}\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\]
Từ bài cho ta có \[S = 12,5\pi \,\left[ {c{m^2}} \right] \Rightarrow \pi {R^2} - \pi {r^2}\]\[ = 12,5\pi \Leftrightarrow {R^2} - {r^2} = 12,5\]
Xét đường tròn \[\left[ {O;r} \right]\] có \[AB\] là tiếp tuyến tại \[M \Rightarrow OM \bot AB\]
Xét \[\left[ {O;R} \right]\] có \[OM \bot AB\] nên \[M\] là trung điểm \[AB\] [quan hệ giữa dây và đường kính], suy ra \[AB = 2MB.\]
Xét tam giác \[OMB\] vuông tại \[M\], theo định lý Pytago ta có \[MB = \sqrt {O{B^2} - O{M^2}} = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \] mà \[{R^2} - {r^2} = 12,5\][cmt] và \[AB = 2MB\] [cmt] nên \[AB = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 2\sqrt {12,5} \]\[= 5\sqrt 2 \,cm.\]
Chọn C.
Câu 24
Một hình vuông cạnh a và một đường tròn bán kính r có chu vi bằng nhau. Tỉ số giữa diện tích hình tròn và diện tích hình vuông là:
[A] \[4:\pi \] [B] \[\sqrt 2 :\pi \]
[C] \[\pi :\sqrt 2 \] [D] \[\pi :4\]
Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng.
Phương pháp giải:
+ Hình vuông cạnh \[a\] có chu vi là \[4.a\] và diện tích là \[{a^2}\]
+ Đường tròn bán kính \[r\] có chu vi \[C = 2\pi r\] và diện tích hình tròn là \[S = \pi {r^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Hình vuông cạnh \[a\] có chu vi là \[4.a\] và diện tích là \[{a^2}\] và đường tròn bán kính \[r\] có chu vi \[C = 2\pi r\] và diện tích hình tròn là \[S = \pi {r^2}\] .
Vì theo giả thiết thì hình vuông và đường tròn có chu vi bằng nhau nên \[4a = 2\pi r \Rightarrow \dfrac{r}{a} = \dfrac{2}{\pi }\]
Tỉ số giữa diện tích hình tròn và diện tích hình vuông là \[\dfrac{{\pi {r^2}}}{{{a^2}}} = \pi {\left[ {\dfrac{r}{a}} \right]^2} = \pi .\dfrac{4}{{{\pi ^2}}} = \dfrac{4}{\pi } = 4:\pi \] [vì \[\dfrac{r}{a} = \dfrac{2}{\pi }\] [cmt]]
Chọn A.