§6. SO SÁNH PHÂN SỐ A. Tóm tắt kiến thức So sánh hai phân sô cùng mẫu Trong hai phân số cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hon thì lớn hon. So sánh hai phân sô không cùng mẫu Muốn so sánh hai phân sô không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Lưu ý Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hon 0. Phân số lớn hon 0 được gọi là phân số dương. Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hon 0. Phân số nhỏ hon 0 được gọi là phân số âm. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. So sánh các cặp phân số sau: UA _ 114.116 _ 13224 - " 115.116 “ 13340 ; b] —— và 115 -116 1000 -35 1000 35 xr, , ,nnn^ 1 . - >000 u.„. 1 . 1000 Vì 1 > - 1000 nên — > —-3— hay _ > 35 35 Ví dụ 2. So sánh các cặp phân số sau: 35 -35 48 47 a] — và — 121 120 c] 16 24 và 10 -15 Giải, a] Tìm mẫu chung: 121 = 1 r, 120 = 23.3 . 5. Mẫu chung là 112.23.3 . 5 = 121 . 120 = 14520. Quy đồng mẫu: 48 121 48.120 5760 47 47.121 5687 5760 Vì 5760 > 5687 nên 120 120.121 14520 5687 , ■ 48 , 47 ■ -••••- hay —— > — 14520 14520 121 120 ? 8 5 5 Giải, a] Vì hai phân số có cùng mẫu dương và 28 < 55 nên — < —- 94 94 -35 b] Ta cần đổi —thành phân số'có mẫu dương. Ta có: 15 _ 115 116 116 -116 b] Đổi phân số —thành phân số có mâu dương ta được: „ ,, - , . . 114 . 115 _ . _ Quy đông máu hai phân sô —— và —— , ta được: 115 116 115 _ 115.115 _ 13225 H6 " 116.115 - 13340 ■ 10 -15 -5 Dơ đó z -16 24 á = 10 15 xn 13224 . 13225 u.„. 114 . ->15 Vì 13224 < 13225 nên ——- < ■ hay ——< ——- 13340 13340 ' 115 -116 . .,24 ' , , „ - c] Đôi phân sô — — thành phân sô có máu dương ta được: 24 -24 -15 15 -16 -24 Quy dóng mâu hai phân sô - và 10 15 ta được: -16 _ -16.3 _ -48 -24 -24.2 10 10.3 " 30 ’ 15 15.2 Vậy -16 -24 , -16 24 ■ = hav - — / . - XT-" . ... ... -16 ' 24 Lưu V. Nêu ta rút gọn hai phân số và ta được: 10 -15 16 -8 . 24 8 -8 - - — và — Ví dụ 3. Tìm các phán số —~ thoả mãn điều kiện: 30 -2x1 — < — < — 15 30 20 Phán tích. Đê so sánh các phàn số ta cần đổi chúng thành nhưng phân số cùng mẫu số dương. .,. . -2 X 1 Giái. Quy đồng mẫu ba phân sô —, — . — ta đươc: 15 30 20 -2 _ -2.4 _ -8 _x_ _ X .2 _ 2x 1 _ ♦ 1 . 3 _ 3 15 15.4 “ 60 : 30 - 30.2 - 60 ; 20 - 20.3 ” 60 ■ Bây giờ ta chi can tìm X đê —- < — < — . 60 60 60 Muốn vậy, ta phải có - 8 < 2x < 3. Vì 2x là số chắn nên - 8 < 2x < 2. Như vậy 2x e {-6;-4;-2;0;2}. Khi 2x = -6 thì X = -6 : 2 = -3; Khi 2x = -4 thì X = -4 : 2 = -2; Khi 2x =-2 thì X = —2 : 2 =-1; Khi 2x = 0 thì X = 0 : 2 = 0; Khi 2x = 2 thì x = 2 : 2= 1. Các phân số phái tìm là: 777 , 77 , 77,0, 77 hay —-, —7 , 777,0, 777. 30 30 30 30 '10 15 30 30 Ví dụ 4. a] Cho phán sỏ , với a > b > 0. Chứng tó rằng với mọi sô tự nhiên n > 0 ta có b] Áp dụng kết quả trôn chứng tỏ rằng ^2011+1 7*2011 ,2010 22O1O_1 Giải, a] Quy đổng mầu hai phân số — và 7—— . ta được: b b + n a _ a . [b + n] ab + an b b.[b + n] b[b + n] a + n _ [a + n]. b _ ab + bn b + n [b + n].b b[.b + n] Vì n > 0 và a > b nên an > bn. Do đó ab + an > ab + bn. ab +an ab + bn , a + n a \ Vì thê 7 > 7———- hay - < 7- b{b + n] b[b + n] ’ b + n b . , 'T.. ->2011 -,1010 20] 1 b] Ta có 3 > 2 . 32O11+1 _ 3 Ap dụng két quét trén ta có: - < 22 +1 2 -,2011 -.1010 -.2011 , -1010 fừ 3 >2 suy ra 3 - 1 > 2 Hơn nữa 32011 = [32011 - 1]+ 1 và 21010 = [21010 - 1] + 1. 2 2011 22O11_1 Vì 32011 - 1 > 21010 - 1 > 0 nên có thể áp dụng kết quả trên để được: 2010 22010 -! [32011 -l] + l 32011 -l 32011 [22010 -l] + l < 22010 -1 hay 22010 Vậy 32011 + 1 32011 _1 22010 +1 ' 22010 _ Ị c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Bài 37. a] Vì - 11 1 00 1 105 ’ 280 - 80 ’ 126 - ' 84 14 14 14 14 Vì 80 < 82 < 84 < 105 nên — > — > > —— hay 80 82 84 105 49 7 21 14 — > — > —- - > . 280 41 126 105 a] Nếu a . d > b . c thì > h--- [vì a, b, c, d > 0] hay — > — • b.d b.d b d Ngược lại, nếu — > 4 thì —. b . d > 4 . b . d [vì a, b, c, d > 0] & b d b d hay a . d > b . c. b] Ta xét [IO2011 + 1]. [1O2O13 + 1] và [IO21112 + 1]. [102l>12+ 1]. Taco: [to2011 + 1]. [102ol3 + 1] = IO20" . 102ol3+ IO20" + 1020,3+ 1 [102O.2+ ,] [1O2O.2+ ,]= 102O.2 1 020,2 + lo2Ot2 + lũ2OI2+| Vi IO2'"1 . IO2"'3 = IO20" * 2013 = IO4024 và IO21"2 . IO2012 = IO4024 ,„i„u in2011 , i in2012 nên chí cân so sanh 10 + 10 va 2.10 Tacó: IO2011 + 102013 = IO2011 .[1 + 102] và 2 . IO2012 = IO2011 .2. 10. Vì 1 + IO2 = 101 > 2 . 10 nên IO2011 + IO2013 > 2 . IO2012. Vậy [IO2011 + 1]. GO2013 + 1] > [IO2012 + 1] . [IO2012 + 1]. IO2011 +1 102012 +l Ap dụng kêt qua trên ta co kêt luận ———; > —r—: . 102[]12+l IO2013 +1 Lưu ý. Ta cũng có thể giải bài toán theo cách sau: 102011+l 102Ol2+10 _ 102O12 + l + 9 9 'io2°12+l~ 102012 +l ■ 102,,l2+l '■ + 1020l2+l' 102012 + l 102013 + 10 102013 + l + 9 9 ' 1O2013 + 1 ” 1O2013 +1 - ,1O2013 +1 - + ÌO2013 + 1 ' Vì 1O2012 < 1O2013 nên 1O2012 + 1 < 1O2013 + 1. Do đó 1O2012 +1 102013 +l Vì thế 10 . 1O2O11 +1 102[]12+l > 10. 10 2012 10 2013 +_! + 1 ’ 102[]11 + l 102OI2+l ậy 102“'2 + l > 102°13 + l’
Các phương pháp so sánh phân số cơ bản đến nâng cao. So sánh phân số là nôi dung quan trọng ta gặp rất nhiều từ chương trình toán 5, toán 6 đến toán 7. Để giúp các em dễ dàng ôn tập cũng như giúp các thầy cô có thêm tài liệu luyện tập cho học sinh, dưới đây là các cách so sánh phân số hay dùng trong chương trình.
Khi gặp các bài toán so sánh phân số, cách đơn giản và cơ bản nhất học sinh có thể làm là quy đồng mẫu số. Với cách này, học sinh chỉ cần thành thạo các bước để quy đồng mẫu số và sau đó đánh giá hai phân số đó. Các bước thực hiện như sau:
Bước 1. Viết các phân số dưới dạng phân số có cùng mẫu dương.
Hay nói cách khác, đây là bước quy đồng phân số.
Bước 2. So sánh các tử số với nhau.
Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Cách làm này có thể phát biểu như sau: Trong hai phân số có tử và mẫu số đều dương, tử số bằng nhau thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại.
Khi không thể làm theo 2 cách cơ bản [tử số và mẫu số quá lớn khó quy đồng] ta có thể sử dụng 7 phương pháp sau để so sánh,
Lý thuyết so sánh hai phân số
– Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
– Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được.
Các phương pháp so sánh 2 phân số
– Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
– So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
+Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.
– So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
– So sánh qua một phân số trung gian.
* Cách chọn phân số trung gian:
– Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như:
– Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
– Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
– Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.
* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau.
– Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh
– Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
Bài viết cùng series:Like share và ủng hộ chúng mình nhé: