CASIO_BÀI 14_TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [276.34 KB, 10 trang ]
PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
BÀI 14. TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA
1] BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Hôm nay tôi lại nhận được 3 bài toán của thầy BìnhKami, 3 bài toán này liên quan đến so
sánh 2 lũy thừa cùng cơ số.
Bài toán 1 : So sánh 2 lũy thừa 3210 và 1615
Bài toán 2 : So sánh 2 lũy thừa 2100 và 370
Bài toán 3 : So sánh 2 lũy thừa 22017 5999
Đối với bài toán số 1 thì tôi đã biết cách làm rồi, cơ số 32 và cơ số 16 đều có thể đưa về cơ số
10
15
2, vậy 3210 25 25.10 250 và 1615 24 24.5 260 . Vậy 3210 1615
Đối với bài số 2 không thể đưa về cùng cơ số 2 hay 3 vì vậy tôi dùng sự trợ giúp của máy
tính Casio, tôi sẽ thiết lập hiệu 2100 370 nếu kết quả ra một giá trị dương thì 2100 370 , thật
đơn giản phải không !!
2^100$p3^70$=
Hay quá ra một giá trị âm, vậy có nghĩa là 2100 370
Tương tự như vậy tôi sẽ làm bài toán số 3 bằng cách nhập hiệu 22017 5999 vào máy tính
Casio
2^2017$p5^999
Và tôi bấm nút =
Các bạn thấy đấy, máy tính không tính được. Tôi chịu rồi !!
Để so sánh 2 lũy thừa có giá trị quá lớn mà máy tính Casio không tính được thì
chúng ta phải sử dụng một thủ thuật, tôi gọi tắt là BSS. Thủ thuật BSS dựa trên một
nguyên tắc so sánh như sau : Nếu số A có n 1 chữ số thì luôn lớn hơn số B có n
chữ số .
Ví dụ như số 1000 có 4 chữ số sẽ luôn lớn hơn số 999 có 3 chữ số.
Vậy tôi sẽ xem 22107 và 5999 thì lũy thừa nào có số chữ số nhiều hơn là xong.
Để làm được việc này tôi sẽ sử dụng máy tính Casio nhưng với tính năng cao cấp
hơn, các bạn quan sát nhé :
Đầu tiên là với 22017
Q+2017g2]]+1=
Trang 1/10
Vậy tôi biết 22017 có 608 chữ số
Tiếp theo là với 5999
Q+999g5]]+1=
Vậy 5999 có 699 chữ số
Rõ ràng 608 699 hay 2 2017 5999 . Thật tuyệt vời phải không !!
Bình luận nguyên tắc hình thành lệnh tính nhanh Casio
Ta thấy quy luật 101 có 2 chữ số, 10 2 có 3 chữ số 10k sẽ có k 1 chữ số
Vậy muốn biết 1 lũy thừa A có bao nhiêu chữ số ta sẽ đặt A 10 k . Để tìm
k ta sẽ logarit cơ số 10 cả 2 vế khi đó k log A . Vậy số chữ số sẽ là
k 1 log A 1
Lệnh Int dùng để lấy phần nguyên của 1 số.
2]VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Bài toán số nguyên tố Mersenne] Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự
nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất
tại thời điểm đó. Số nghuyên tố này là một số có giá trị bằng M 274207281 1 . Hỏi số
M có bao nhiêu chữ số.
A. 2233862
B. 22338618
C. 22338617
D. 2233863
GIẢI
CASIO
Ta có M 2742007281 1 M 1 2742007281
Đặt M 1 10k 2742007281 10 k k log 274207281 và số chữ số là k 1
Q+74207281g2]]+1=
Vậy M 1 có số chữ số là 22338618
Ta nhận thấy M 1 có 22338618 chữ số, vậy M có bao nhiêu chữ số ? Liệu vẫn
là 22338618 chữ số hay suy biến còn 22338617 chữ số.
Câu trả lời là không suy biến vì M là lũy thừa bậc của 2 nên tận cùng chỉ có
thể là 2, 4, 8, 6 nên khi trừ đi 1 đơn vị vẫn không bị suy biến
Vậy ta chọn B là đáp án chính xác.
Đọc thêm :
Trang 2/10
M 274207281 1 là số nguyên tố lớn nhất thế giới được phát hiện, gồm 22 triệu
chữ số, mất 127 ngày để đọc hết
Giả sử 1 giây bạn có thể đọc được 2 chữ số, bạn không cần ăn uống, ngủ
nghỉthì 4 tháng liên tục là quãng thời gian mà bạn cần phải bỏ ra để đọc hết
con số nguyên tố lớn nhất thế giới do các nhà toán học phát hiện mới đây. Với
tên gọi M 74207281 con số nguyên tố Merssenne được phát hiện bởi các nhà
toán học thuộc GIMPS-tổ chức thành lập năm 1996 chuyên đi tìm những con
số nguyên tố.
Câu chuyện đi tìm số nguyên tố bắt đầu từ một nhà toán học, thần học, triết
học tự nhiên, Marin Mersenne [1588-1648]. Ông là người đã nghiên cứu các số
nguyên tố nhằm cố tìm ra một công thức chung đại diện cho các số nguyên tố.
Dựa trên các nghiên cứu của ông, các nhà toán học thế hệ sau đã đưa ra một
công thức chung cho các số nguyên tố là M p 2 p 1
Năm 1750 nhà toán học Ơ-le phát hiện ra số nguyên tố M 31
Năm 1876 số M 127 được nhà toán học Pháp Lucas Edouard phát hiện ra
Năm 1996 số nguyê tố lớn nhất thời đó được phát hiện là M 1398268
VD2-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2017]
Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số 230 trong hệ thập phân và n là số chữ số cần
dùng khi viết số 302 trong hệ nhị phân. Ta có tổng m n là :
A. 18
B. 20
C. 19
D. 21
GIẢI
CASIO
Đặt 230 10k k log 230 . Số chữ số của 230 trong hệ thập phân là k 1
Q+30g2]]+1=
Vậy số chữ số của 230 trong hệ thập phân là 10
Đặt 302 900 2 h h log 2 900 . Số chữ số của 302 trong hệ nhị phân là
h 1
Q+i2$900$]+1=
Vậy số chữ số của 302 trong hệ nhị phân là 10 m n 10 10 20
Đáp số chính xác là B
0
1
2
2020
VD3: Cho tổng M C2020
Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ
C2020
C2020
... C2020
thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số:
A. 608
B. 609
C. 610
GIẢI
D. 611
Trang 3/10
CASIO
Theo khai triển nhị thức Newtơn thì 1 1
2020
0
1
2
2020
C2020
C2020
C2020
... C2020
Vậy M 22020
Đặt 22020 10 k k log 22020 . Số chữ số của M là k 1
Q+2020g2]]+1=
Vậy số chữ số của M là 609. Ta chọn đáp án B
Bình luận :
Bài toán này là sự kết hợp hay giữa kiến thức lũy thừa và kiến thức về nhị
thức Newtơn. Để làm được bài toán này bằng Casio thì cần có một số kiến
thức cơ bản về tổng Nhị thức Newtơn
Dạng toán tổng nhị thức Newtơn được tác giả tóm tắt như sau :
n
+]Cho khai triển tổng a b Cn0 a n b 0 Cn1 a n 1b1 Cn2 a n 2b 2 ... Cnn a 0b n và khai
n
triển tổng a b Cn0 a n b 0 Cn1 a n 1b1 Cn2 a n 2b 2 Cn3 a n 3b3 ... Cnn a 0b n
+]Để quan sát xem tổng nhị thức Newton có dạng là gì ta quan sát 3 thông số :
1
Thông số mũ n thì quan sát tổ hợp Cn1 ví dụ như xuất hiện C2020
thì rõ ràng
n 2020 . Thông số a sẽ có số mũ giảm dần, thông số b sẽ có số mũ tăng dần
0
1
2
3
1999
+]Áp dụng C1999
thì rõ
51999 C1999
51998 2 C1999
51997 22 C1999
51996 23 .... C1999
1999 2
ràng n 1999 , số mũ của a giảm dần vậy a 5 , số mũ của b tăng dần vậy
1999
b 2 . Ta thu gọn khai triển thành 5 2
31999
VD4: So sánh nào sau đây là đúng
A. 57123 7 5864
B. 57123 75864
C. 3400 2500
GIẢI
CASIO
Đặt 57123 10k k log 57123 7123log 5 4978.76 4978
7123g5]=
D. 41700 91200
Vậy 57123 104978
Tương tự đặt ta đặt 75864 10h h log 75864 4955.65 4956
5864g7]=
Vậy 75864 10 4956
Tóm lại 57123 104978 10 4566 75864
Trang 4/10
Bình luận :
Bài toán này nếu ta thực hiện 1 phép Casio ở đẳng cấp thấp là nhập hiệu
57123 75864 rồi xét dấu thì máy tính không làm được vì vượt qua phạm vi 10100
5^7123$p7^5846=
Vậy để so sánh ta 2 đại lượng lũy thừa bậc cao M và N ta sẽ đưa về dạng
M 10k 10h N
Tuy nhiên việc so sánh 2 lũy thừa sử dụng Casio ở mức độ đơn giản cũng
thường xuất hiện trong đề thi của các trường, vậy ta cũng cần tìm hiểu thêm
một chút. Các e xem ở ví dụ số 4 dưới đây.
VD5-[THPT Ngọc Hồi - Hà Nội 2017] Kết quả nào sau đây đúng :
17
18
A.
6
6
17
18
e
e
C.
3
3
GIẢI
Cách 1 : CASIO
17
18
17
18
B.
3
3
e
e
D.
2
2
17
18
Để kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A ta sẽ thiết lập hiệu .
6
6
17
18
Vậy bài so sánh chuyển về bài bất phương trình 0
6
6
Rồi nhập hiệu trên vào máy tính Casio
[aqKR6$]^17$p[aqKR6$]^18
Rồi ta nhấn nút = nếu kết quả ra 1 giá trị âm thì đáp án A đúng còn ra giá trị
dương thì đáp án A sai
Máy tính Casio báo kết quả ra 1 giá trị dương vậy rõ ràng đáp án A sai.
Tương tự vậy đối với đáp án B
[aqKR3$]^17$p[aqKR3$]^18
=
Trang 5/10
Vậy đáp số B cũng sai
Ta lại tiếp tục với đáp án B
[aQKR3$]^17$p[aQKR3$]^18
=
17
18
17
18
17
18
e
e
e
e
Đây là 1 đại lượng dương vậy 0 hay
3
3
3
3
Tới đây ta thấy rõ ràng đáp số C là đáp số chính xác !!
Cách 2 : Tự luận
Ta có cơ số
0.52 0;1 và số mũ 17 18 vậy
6
6
6
Đáp án A
sai
17
18
Ta có cơ số 1.04 1 và số mũ 17 18 vậy Đáp án B sai
3
3
3
17
18
e
e
e
Ta có cơ số 0.906 0;1 và số mũ 17 18 vậy Đáp số C sai
3
3
3
Bình luận
Để so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số a u và a v ta sử dụng tính chất sau :
+] Nếu cơ số a 1 và u v thì a u a v [Điều này dẫn tới đáp án B sai]
+] Nếu cơ số a thuộc khoảng 0;1 và u v thì a u a v [Điều này dẫn tới đáp
án A sai]
VD6-[THPT-Hà Nội-Amsterdam 2017] [Bài toán xây dựng để chống lại Casio]
Khẳng định nào sau đây sai ?
A. 2
2 1
23
B.
2016
2
2
C. 1
1
2
2
GIẢI
Cách 1: CASIO
2016
2 1
2017
2 1
2017
D.
3 1
2017
2016
3 1
Để kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A ta sẽ thiết lập hiệu 2
so sánh chuyển về bài bất phương trình 2
Rồi nhập hiệu trên vào máy tính Casio
2^s2$+1$p2^3
2 1
2 1
23 . Vậy bài
23 0
Trang 6/10
Rồi ta nhấn nút = nếu kết quả ra 1 giá trị dương thì đáp án A đúng còn ra giá
trị âm thì đáp án A sai
Máy tính Casio báo kết quả ra 1 giá trị âm vậy rõ ràng đáp án A sai.
Tương tự vậy đối với đáp án B
[s2$p1]^2016$p[s2$p1]^201
7=
Đáp số máy tính báo là 0 điều này là vô lý vì cơ số khác 0 và số mũ khác nhau
buộc
2016
2 1
và
2017
2 1
buộc phải khác nhau.
Như vậy trong trường hợp này thì máy tính chịu !!!
Cách 2: Tự luận
Ngoài phương pháp so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số được tác giả trình bày ở Ví
dụ 3 thì tại Ví dụ 4 này tác giả xin giới thiệu 1 phương pháp thứ 2 vô cùng
hiệu quả có tên là Phương pháp đặt nhân tử chung.
2 1 1
Đáp án B :
2016
Dễ thấy 2
2016
2017
2016
2017
2 1 2 1 2 1
2 1 0 2 2 2 1
0
2 0 và 2 1 0 vậy 2 2 2 1
2 1
0
2016
2016
2016
0 Đáp số B
đúng
Bình luận :
Theo thuật toán của Casio thì những đại lượng dương mà nhỏ hơn 10 100 hoặc
lớn hơn 10100 thì sẽ được hiển thị là ố 0 .
Đây là kẽ hở để các trường ra bài toán so sánh lũy thừa chống lại Casio
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[ Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat là người
n
đầu tiên đưa ra khái niệm số Fecmat Fn 22 1 là một số nghuyên tố với n là số
dương không âm. Hãy tìm số chữ số của F13
A. 1243
B. 1234
C. 2452
D. 2467
Trang 7/10
*Chú ý : Sự dự đoán của Fecmat là sai lầm vì nhà toán học Ơ le đã chứng minh được
F5 là hợp số.
0
1
3
1642 1642
31642 C1642
316412 C1642
31640 23 ... C1642
2
Bài 2: Cho tổng M C1642
Khi viết M dưới
dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số:
A. 608
B. 609
C. 610
D. 611
*Chú ý : 1642 là năm sinh của nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả
kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton.
Bài 3: So sánh nào sau đây là đúng
A. 112003 9 2500
B. 23693 25600
C. 29445 31523
D.
445
523
29 31
Bài 4-[Thi thử THPT Ngọc Hồi - Hà Nội lần 1 năm 2017] Cho a, b là hai số tự nhiên
lớn hơn 1 thỏa mãn a b 10 và a12b 2016 là một số tự nhiên có 973 chữ số. Cặp a, b
thỏa mãn bài toán là :
A. 5;5
B. 6; 4
C. 8; 2
D. 7;3
Bài 5-[THPT Ngọc Hồi - Hà Nội 2017] Kết quả nào sau đây đúng :
A.
6
6
17
18
B.
3
3
17
18
17
17
18
18
e
e
e
e
C.
D.
3
3
2
2
Bài 6-[THPT Nguyễn Trãi - Hà Nội 2017] Mệnh đề nào sau đây đúng :
4
3 2 3 2
C. 2 2 2 2
A.
3
4
5
6
11 2 11 2
D. 4 2 4 2
B.
3
7
4
Bài 7-[THPT Thăng Long - Hà Nội 2017] Khẳng định nào sau đây đúng :
1
2 2
A. 3
C.
1
3 3
3
B. 2 3
3
2 1
2 1
3
D. 0,3
3
2
1
0,3
2
Bài 1-[Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat là người
n
đầu tiên đưa ra khái niệm số Fecmat Fn 22 1 là một số nghuyên tố với n là số
dương không âm. Hãy tìm số chữ số của F13 trong hệ nhị phân
A. 1243
GIẢI
Casio
B. 1234
13
C. 2452
D. 2467
13
Số F13 có dạng 22 1 . Ta thấy số 22 1 không thể tận cùng là 9 nên số chữ số của
13
13
22 1 cũng chính là số chữ số của 22 trong hệ thập phân.
13
13
Đặt 22 10 k k 213 log 2 . Số chữ số của 22 trong hệ thập phân là k 1
Q+2^13$g2]]+1=
Trang 8/10
Đáp số chính xác là D
0
1
3
1642 1642
31642 C1642
316412 C1642
31640 22 ... C1642
2
Bài 2: Cho tổng M C1642
Khi viết M dưới
dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số:
A. 608
B. 1148
C. 2610
D. 911
*Chú ý : 1642 là năm sinh của nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả
kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton.
GIẢI
Casio
1642
Rút gọn khai triển nhị thức Newton M 3 2
51642
Đặt 51642 10k k 1642 log 5 . Số chữ số của 51642 trong hệ thập phân là k 1
Q+1642g5]]+1=
Đáp số chính xác là B
Bài 3: So sánh nào sau đây là đúng
A. 112003 9 2500
B. 23693 25600
C. 29445 31523
D.
445
523
29 31
GIẢI
Casio
Số chữ số của 112003 và 92500 trong hệ thập phân lần lượt là :
Q+2003g11]]+1=Q+2500g9]]
+1=
Số chữ số của 92500 nhiều hơn số chữ số của 112003 nên 92500 112003 A sai
Số chữ số của 23693 và 25600 trong hệ thập phân lần lượt là :
Q+693g23]]+1=Q+600g25]]+
1=
Số chữ số của 23693 nhiều hơn số chữ số của 25600 nên 23693 25600 B sai
Số chữ số của 29445 và 31523 trong hệ thập phân lần lượt là :
Q+693g23]]+1=Q+600g25]]+
1=
Trang 9/10
Số chữ số của 29445 nhỏ hơn số chữ số của 31523 nên 29445 31523 B là đáp số chính
xác
Bài 4: Cho a, b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn a b 10 và a12b 2016 là một số tự
nhiên có 973 chữ số. Cặp a, b thỏa mãn bài toán là :
A. 5;5
B. 6; 4
C. 8; 2
D. 7;3
GIẢI
Casio
12
Ta có a b 10 a 10 b . Khi đó a12b 2016 10 b b 2016
12
12
Đặt 10 b b 2016 10k k log 10 b b 2016 12 log 10 b 2016 log b
12
Số chữ số của 10 b b 2016 là k 1
Với đáp số A : a b 5 . Số chữ số của 51252016 là 1418 khác 973 Đáp số A sai
Q+12g5]+2016g5]]+1=
Với đáp số B : a 6; b 4 . Số chữ số của 612 4 2016 là 1224 khác 973 Đáp số B sai
Q+12g6]+2016g4]]+1=
Tương tự với a 7; b 3 . Số chữ số của 712 7 2016 là 973 Đáp số C chính xác
Q+12g7]+2016g3]]+1=
Trang 10/10