Vectơ hướng Đường thẳng là gì? Vectơ chỉ phương trong oxyz như thế nào? Vectơ chỉ phương của 2 điểm? Làm thế nào để chuyển đổi từ vectơ hướng sang vectơ pháp tuyến? Cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian? Viết phương trình của đường thẳng biết vectơ pháp tuyến? Đây là những vấn đề được đông đảo các bạn sinh viên quan tâm. Trong bài viết sau, chúng ta hãy Tip.edu.vn Tìm hiểu về chủ đề này.
Cho dòng [ Delta ]. Chúng tôi có một vectơ [ vec {u} neq vec {0} ] được gọi là vectơ hướng [viết tắt: VTCP] của dòng [ Delta ] nếu giá của nó song song hoặc trùng với [ Delta ].
Vì vậy, giá của một vectơ là gì? Giá của một vectơ là đường thẳng đi qua gốc và đỉnh của vectơ đó.
Nhận xét
- Nếu [ vec {u} ] là vectơ hướng của [ Delta ] thì [k vec {u} left [k neq 0 right] ] cũng là VTCP của [ Delta ]. Do đó, một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm [ in ] nó và VTCP của đường thẳng đó.
- VTCP và VTPT [Vectơ pháp tuyến] vuông góc với nhau. Do đó, nếu [ Delta ] có VTCP là [ vec {u} = left [a; b right] ] thì [ vec {n} = left [-b; a right ] ] là một VTPT của [ Delta ].
Với đường thẳng d, hệ số góc k, phương trình của d có dạng: [y = kx + m ] hoặc [kx-y + m = 0 ]
Khi đó vectơ pháp tuyến của d là [ vec {n} = left [k; -1 right] ].
Suy ra vectơ chỉ phương của d là [ vec {u} = left [1; k right] ].
Vậy một đường thẳng có hệ số góc k có vectơ chỉ phương là [ vec {u} = left [1; k right] ].
Tìm hiểu về chủ đề này, chúng ta không thể không nhắc đến phương trình tham số của đường thẳng với các nội dung sau:
Định lý về phương trình tham số của đường thẳng
Dòng [ Delta ] đi qua điểm [M_ {0} left [x_ {0}; y_ {0} right] ] và lấy vectơ [ vec {u} = left [ a; b right] ] dưới dạng vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
[ Delta: left { begin {matrix} x & = & x_ {0} + at \ y & = & y_ {0} + bt end {matrix} right. ]
Nhận xét:
- Khi hệ số [u_ {1} neq 0 ] thì tỉ lệ [k = frac {u_ {1}} {u_ {2}} ] được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Vì vậy, chúng ta có phương trình của đường thẳng [ Delta ] đi qua điểm [M_ {0} left [x_ {0}; y_ {0} right] ] và có độ dốc k là: [y-y_ {0} = k left [x-x_ {0} right] ]
- Độ dốc [k = tan alpha ] của góc [ alpha ] là góc của đường [ Delta ] theo chiều dương của trục Ox.
- Nếu [a = 0, b neq 0 ] thì nó là phương trình của một đường [// Oy ], với PTTQ: [x-x_ {0} = 0.
- Nếu ] [b = 0, a neq 0 ] thì nó là phương trình của một đường [// Ox ], có PTTQ là: [y-y_ {0} = 0.
Ví dụ: Đặt PTTS của dòng [latex] Delta ] đi qua hai điểm [A left [-2; 3 right], B left [5; -2 right] ]
Giải pháp:
Đường thẳng [ Delta ] đi qua 2 điểm [A left [-2; 3 right], B left [5; -2 right] ], do đó vectơ hướng của [ Delta ] là [ vec {u} left [7; -5 right] ]
Phương trình tham số cho [ Delta ] là [ left { begin {matrix} x & = & -2 + 7t \ y & = & 3-5t end {matrix} right. ].
Trên đây Dinhnghia.vn đã tổng hợp lại các kiến thức, hi vọng có thể cung cấp cho các bạn những thông tin hữu ích cho quá trình học tập. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào liên quan đến chủ đề vectơ hướngHãy để lại bình luận để cùng Dinhnghia.vn tìm hiểu thêm nhé.
Xem thêm các bài giảng về vectơ của đoạn thẳng dưới đây:
[Nguồn: www.youtube.com]
vectơ \[\vec{u}\] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{u}\] ≠ \[\vec{0}\] và giá của \[\vec{u}\] song song hoặc trùng với \[∆\]
Nhận xét :
- Nếu \[\vec{u}\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] thì \[k\vec{u} [ k≠ 0]\] cũng là một vectơ chỉ phương của \[∆\] , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
Bạn đang xem: Vecto chỉ phương là gì, phương trình tham lý thuyết phương trình Đường thẳng
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và nhận vectơ \[\vec{u} = [u_1; u_2]\] làm vectơ chỉ phương là :
\[∆\] : \[\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\]
-Khi \[u_1≠ 0\] thì tỉ số \[k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\] được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và có hệ số góc k là:
\[y – y_0 = k[x – x_0]\]
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \[k = \tan α\] với góc \[α\] là góc của đường thẳng \[∆\] hợp với chiều dương của trục \[Ox\]
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ \[\vec{n}\] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{n}\] ≠ \[\vec{0}\] và \[\vec{n}\] vuông góc với vectơ chỉ phương của \[∆\]
Nhận xét:
- Nếu \[\vec{n}\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] thì k\[\vec{n}\] \[[k ≠ 0]\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[∆\], do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\], được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Xem thêm: Hoa Hậu Jennifer Phạm Lên Chức Mẹ Lần Thứ 4
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu \[a = 0 => y = \dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox\] hoặc trùng Ox [khi c=0]
+ Nếu \[b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\] hoặc trùng Oy [khi c=0]
+ Nếu \[c = 0 => ax + by = 0 => ∆\] đi qua gốc tọa độ
+ Nếu \[∆\] cắt \[Ox\] tại \[A[a; 0]\] và \[Oy\] tại \[B [0; b]\] thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \[∆\] :
\[\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\]
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0
Điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]] là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \[[x_0 ;y_0]\] là nghiệm của hệ hai phương trình:
[1] \[\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\]
Ta có các trường hợp sau:
a] Hệ [1] có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b] Hệ [1] vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c] Hệ [1] có vô số nghiệm: ∆1 \[ \equiv \]∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.
Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900.
Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
Cho hai đường thẳng:
∆1: a1x+b1y + c1 = 0
∆2: a2x+b2y + c2 = 0
Đặt \[\varphi\] = \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
\[\cos \varphi\] = \[\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\]
Chú ý:
+ \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\] \[ \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\]
+ Nếu \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
\[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\]
7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[∆\] có phương trình \[ax+by+c=0\] và điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]].
Khoảng cách từ điểm \[M_0\] đến đường thẳng \[∆\] kí hiệu là \[d[M_0,∆]\], được tính bởi công thức
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
* Định nghĩa
Vectơ $\overrightarrow u $ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ nếu $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ và giá của $\overrightarrow u $ song song hoặc trùng với $\Delta $.
Nhận xét
- Nếu $\overrightarrow u $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ thì $k\overrightarrow u \left[ {k \ne 0} \right]$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta $. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta $đi qua điểm ${M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ và nhận $\overrightarrow u = \left[ {{u_1};{u_2}} \right]$ làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M[x ; y] bất kì trong mặt phẳng, ta có $\overrightarrow {M{M_0}} = \left[ {x - {x_0};y - {y_0}} \right]$. Khi đó $M \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_0}} $ cùng phương với $\overrightarrow u \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_0}} = t\overrightarrow u $.
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - {x_0} = t{u_1}} \\ {y - {y_0} = t{u_2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_0} + t{u_1}} \\ {y = {y_0} + t{u_2}}
\end{array}} \right.\left[ 1 \right]$
Hệ phương trình [1] được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $, trong đó t là tham số.
Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta $.
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ $\overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ nếu $\overrightarrow n \ne 0$ và $\overrightarrow n $ vuông góc với vectơ chỉ phương của $\Delta $.
Nhận xét
Nếu $\overrightarrow n $ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ thì $k\overrightarrow n \left[ {k \ne 0} \right]$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\Delta $. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đưòng thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ và nhận $\overrightarrow n \left[ {a;b} \right]$ làm vectơ pháp tuyến.
Với mỗi điểm M[x ; y] bất kì thuộc mặt phẳng, ta có: $\overrightarrow {M{M_0}} = \left[ {x - {x_0};y - {y_0}} \right]$.
Khi đó:
$\begin{array}{*{20}{l}} {M\left[ {x;y} \right] \in \Delta \Leftrightarrow \vec n \bot \overrightarrow {M{M_0}} } \\ { \Leftrightarrow a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0} \\ { \Leftrightarrow ax + by + \left[ { - a{x_0} - b{y_0}} \right] = 0} \\ { \Leftrightarrow ax + by + c = 0}
\end{array}$
Với $c = - a{x_0} - b{y_0}$.
Định nghĩa
Phương trình ax + by + c =0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
Nếu đường thẳng $\Delta $có phương trình là ax + by + c = 0 thì $\Delta $có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left[ { - b;a} \right]$.
* Các trường hợp đặc biệt
Cho đường thẳng $\Delta $có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 [1]
a] Nếu a = 0 phương trình [1] trở thành by + c = 0 hay $y = - \frac{c}{b}$.
Khi đó đường thẳng $\Delta $vuông góc với trục Oy tại điểm $\left[ {0; - \frac{c}{b}} \right]$.
b] Nếu b = 0 phương trình [1] trở thành ax + c = 0 hay $x = - \frac{c}{a}$.
Khi đó đường thẳng $\Delta $vuông góc với trục Ox tại điểm $\left[ { - \frac{c}{a};0} \right]$.
c] Nếu c = 0 phương trình [1] trở thành ax + by = 0.
Khi đó đường thẳng $\Delta $đi qua gốc tọa độ O.
d] Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình [1] về dạng $\frac{x}{{{a_0}}} + \frac{y}{{{b_0}}} = 1$.
với ${a_0} = - \frac{c}{a},{b_0} = - \frac{c}{b}$. [2]. Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại $M\left[ {{a_0};0} \right]$ và $N\left[ {0;{b_0}} \right]$.
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có phương trình tổng quát lần lượt là ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$.
Toạ độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0} \\ {{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0}
\end{array}} \right.[I]$
Ta có các trường hợp sau:
a] Hệ [I] có một nghiệm $\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$, khi đó ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$ tại điểm ${M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$.
b] Hệ [I] có vô số nghiệm, khi đó ${\Delta _1}$ trùng với ${\Delta _2}$.
c] Hệ [I] vô nghiệm, khi đó ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ không có điểm chung, hay ${\Delta _1}$ song song với ${\Delta _2}$.
6. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ được kí hiệu là $\left[ {\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}}} \right]$ hoặc $\left[ {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right]$.
Cho hai đường thẳng
$\begin{array}{*{20}{l}} {{\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0} \\ {{\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0}
\end{array}$
Đặt $\varphi = \left[ {\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}}} \right]$ thì ta thấy $\varphi $ bằng hoặc bù với góc giữa ${\overrightarrow n _{_1}}$ và ${\overrightarrow n _{_2}}$ trong đó ${\overrightarrow n _{_1}}$, ${\overrightarrow n _{_2}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Vì $\cos \varphi \ge 0$ nên ta suy ra
$\cos \varphi = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$
Vậy
$\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta $có phương trình ax + by + c = 0 và điểm ${M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$. Khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến đường thẳng $\Delta $, kí hiệu là $d\left[ {{M_0},\Delta } \right]$], được tính bởi công thức sau:
$d\left[ {{M_0},\Delta } \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Page 2
SureLRN