Viết phương trình đường thẳng delta qua M vuông góc với d và song song với B

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳng cắt trục Oz tại B(0;0;a). Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;a-3)$

Mà d song song với (P) $\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\Leftrightarrow 2.(-1)+1.(-2)-4(a-3)=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow B(0;0;2)$

Khi đó $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;-1)\Rightarrow AB:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=2t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi (P) là mặt phẳng qua $A(1;2;3)$và vuông góc với ${{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;-1;1)\Rightarrow (P):2x-y+z-3=0$

Khi đó gọi $B=(P)\cap {{d}_{2}}$. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT sau:

$\left\{ \begin{array} {} 2x-y+z-3=0 \\ {} \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=-1\Rightarrow B(2;-1;-2) \\ {} z=-2 \\ \end{array} \right.$

Đường thẳng cần lập chính là đường thẳng AB: qua $A(1;2;3)$và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=(1;-3;-5)$

$\Delta \equiv AB:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-5}$là đường thẳng cần tìm. Chọn D.

Chú ý: Đối với bài toán viết phương trình đường thằng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau :

n Bước 1: Tìm giao điểm A của d và mặt phẳng (P)

n Bước 2: Do $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$, dường thẳng cần tìm đi qua A và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$

Lời giải chi tiết

Gọi $M=(\Delta )\cap (d)\Rightarrow M\in d\Rightarrow M(2t-1;t;3t-2)$

Mà $M\in (P)\Leftrightarrow 2t-1+2t+3t-2-4=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(1;1;1)$

Ta có $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(5;-1;-3)\Rightarrow $phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M=(\Delta )\cap (d)\Rightarrow M\in d\Rightarrow M(-1+2t;-t;-2+2t)$

Mà $M\in (P)\Leftrightarrow (-1+2t)+(-t)-(-2+2t)+1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow M(3;-2;2)$

Ta có $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(-1;4;3)\Rightarrow $phương trình $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=3+t \\ {} y=-2-4t \\ {} z=2-3t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường thẳng cần tìm, gọi $A=d\cap (\alpha )\Rightarrow A\in d'$

Ta có $d:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=2+2t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.(t\in \mathbb{R})\Rightarrow A(t+1;2t+2;t+3)$

Mà $A\in (\alpha )\Rightarrow (t+1)+(2t+2)-(t+3)-2=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow A(2;4;4)$

Lại có $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;1) \\ {} \overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=(1;1;-1) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}} \right]=(-3;2;-1)$là một VTCP của d

Kết hợp với d qua $\Rightarrow A\left( 2;4;4 \right)\Rightarrow d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{-1}\Leftrightarrow \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{1}$. Chọn A.