Viết phương trình đường tròn tâm C và tiếp xúc AB

Xét đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R là:

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\) (đk: a² + b² – c  > 0)

II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Xét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆:

(∆): \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\)

III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.

Cách 1: 

Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x - a)² + (y - b)² = m.

Bước 2: Xét m:

• Nếu m < 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
• Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{m}\).

Cách 2: 

Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Bước 2: Xét m = a² + b² - c:

• Nếu m ≤ 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
• Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\).

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước

Cách 1: 

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R².

Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R².

Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R².

Cách 2: 

Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.

Bước 3:  Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:

• Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) d(I,Δ) = R.
• Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A ⇔ d (I,Δ) = IA = R.
• Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) ⇔ d (I,Δ1) = d (I,Δ2) = R.

Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (C) cho trước:

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại \( M_o(x_o; y_o)\) có dạng: \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\)

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm:

Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R.

Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.

Lời giải tham khảo:

Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Vì (C) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta có hệ sau:

\(\left\{\begin{matrix} 4^2 + (-1)^2 – 2a.4 – 2b.(-1) + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=3\\ c=-9 \end{matrix}\right.\)

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(4;3).

Phương trình đường tròn (C) là: (x - 4)² + (y - 3)² = 16.

Đường tròn (C) có tâm I(4;3) có tiếp tuyến (∆) tại điểm A(4;-1):

⇒ = (4 - 4).(x - 4) + (-1 - 3).(y +1) = 0 ⇔ y = -1

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A: y = -1

Phương trình đường tròn có hai dạng là: Dạng chính tắc và dạng tổng quát. Việc lựa chọn phương trình dạng nào phụ thuộc vào điều kiện bài toán cho. Với bài toán lập phương trình đường tròn khi biết tâm I và tiếp xúc với một đường thẳng d cho trước như dưới đây, thầy sẽ hướng dẫn các bạn trình bày theo hai cách:

Cách 1: Sử dụng sự tương giao của đường tròn (C) và đường thẳng (d) ta lập một phương trình bậc 2. Điều kiện tiếp xúc là phương trình bậc 2 này phải có nghiệm kép => R=?

Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của (d) và (C) nên khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng (d) bằng bán kính => R=?

Xem thêm bài giảng:

Bài toán:

Lập phương trình đường tròn (C) có tâm $I(5;6)$ và tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình là: $\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y}{3}$

Ta có thể giải bài toán này theo hai cách:

Cách 1: Chuyển phương trình đường thẳng (d) về dạng tham số ta được:

$\left\{\begin{array}{ll}x=2+4t\\y=3t\end{array}\right.(t\in R)$

Đường tròn (C) có tâm I(5 ;6) và bán kính R có phương trình chính tắc là:

$(x-5)^2+(y-6)^2=R^2$   (1)

Thay x và y từ phương trình tham số của (d) vào (C) ta được :

$(2+4t-5)^2+(3t-6)^2=R^2$

<=> $(4t-3)^2+(3t-6)^2=R^2$

<=>$25t^2-60t+45-R^2=0$  (2)

Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm kép.

<=> $\Delta’=0$

<=> $30^2-25(45-R^2)=0$

<=> $25R^2=225$

<=> $R^2=9$

<=>$R=3$

Thay R=3 vào phương trình (1) ta có phương trình đường tròn (C) là :

$(x-5)^2+(y-6)^2=9$  

Cách 2 : Chuyển phương trình của đường thẳng (d) về dạng tổng quát, ta được :

(d) : $3x-4y-6=0$

Gọi R là bán kính của đường tròn (C). (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của đường tròn tới đường thẳng (d) bằng bán kính R.

Ta có : $R=d(I,d)=\dfrac{|3.5-4.6-6|}{\sqrt{9+16}}=3$

Vậy phương trình của đường tròn (C) là : $(x-5)^2+(y-6)^2=9$

Bài giảng này thầy đã hướng dẫn các bạn tiếp cận bài toán lập phương trình đường tròn khi biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng d cho trước theo hai hướng như trên. Nếu bạn nào có thêm hướng giải khác thì hãy comment ngay dưới khung bình luận, thầy và các bạn sẽ cùng nhau thảo luận thêm.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Lập phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Lập phương trình đường tròn: Lập phương trình đường tròn. Phương pháp giải: Cách 1. Tìm toạ độ tâm I (a; b) của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2. Cách 2. Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 −2ax − 2by + c = 0 (hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0). Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c, từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý: Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R. A ∈ (C) ⇔ IA = R. (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d (I; ∆) = R. (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d (I; ∆1) = d (I; ∆2) = R. (C) cắt đường thẳng ∆3 theo dây cung có độ dài a ⇔ (d (I; ∆3))2 + a2 = R2. BÀI TẬP DẠNG 2 Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn có tâm I(3; −5) bán kính R = 2. Lời giải. Ta có phương trình đường tròn là (x − 3)2 + (y + 5)2 = 22 ⇔ x2 + y2 − 6x + 10y + 30 = 0. Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đường kính AB với A (1; 6), B (−3; 2). Đường tròn đường kính AB có: Tâm I (−1; 4) là trung điểm AB. Bán kính R = AB = 2√2. Do đó phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y − 4)2 = 2√2 ⇔ x2 + y2 + 2x − 8y + 9 = 0. Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I (−1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 2y + 7 = 0. Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng ∆ nên R = d (I; ∆) = |−1 − 4 − 7| √1 + 4 = 2√5. Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4. Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn tâm I (−2; 1), cắt đường thẳng ∆ : x − 2y + 3 = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2. Gọi h là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆. Ta có: h = d (I, ∆) = |−2 − 2 + 3|. Gọi R là bán kính đường tròn. Vậy phương trình đường tròn là: (x + 2)2 + (y − 1)2 = 6. Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: M (−2; 4), N (5; 5), P (6; −2). Lời giải. Cách 1. Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0. Do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình: 4 + 16 + 4a − 8b + c = 0, 25 + 25 − 10a − 10b + c = 0, 36 + 4 − 12a + 4b + c = 0 ⇔ a = 2, b = 1, c = −20. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0. Cách 2. Gọi I (x; y) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra: IM = IN = IP ⇔ IM2 = IN2, IM2 = IP2 nên ta có hệ (x + 2)2 + (y − 4)2 = (x − 5)2 + (y − 5)2, (x + 2)2 + (y − 4)2 = (x − 6)2 + (y + 2)2 ⇔ x = 2, y = 1. Suy ra I(2; 1), bán kính IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25. Ví dụ 6. Cho hai điểm A (8; 0) và B (0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Lời giải. a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I (4; 3) và bán kính R = IA = p (8 − 4)2 + (0 − 3)2 = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25. b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB = √2 + 62 = 10. Mặt khác OA.OB = pr(vì cùng bằng diện tích tam giác ABC). Suy ra r = OA.OB OA + OB + AB = 2. Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4. Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x − y − 5 = 0 và hai điểm A (1; 2), B (4; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B. Lời giải. Cách 1. Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d nên I (t; 2t − 5). Hai điểm A, B cùng thuộc (C) nên IA = IB ⇔ (1 − t)2 + (7 − 2t)2 = (4 − t)2 + (6 − 2t)2 ⇔ t = 1. Suy ra I(1; −3) và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Cách 2. Gọi M là trung điểm AB. Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận AB = (3; −1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 3x − y − 6 = 0. Tọa độ tâm I của (C) là nghiệm của hệ 2x − y − 5 = 0, 3x − y − 6 = 0 ⇒ I(1; −3). Bán kính của đường tròn bằng R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0, d2: 3x − 4y + 10 = 0 và điểm A (−2; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d1, đi qua điểm A và tiếp xúc với d2. Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d1 nên I (−3t − 8; t). Theo giả thiết bài toán, ta có: d (I, d2) = IA ⇔ |3 (−3t − 8) − 4t + 10| √2 + 42 = (−3t − 8 + 2)2 + (t − 1)2 ⇔ t = −3. Suy ra I(1; −3) và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Ví dụ 9. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1: 3x + 4y + 5 = 0 và d2: 4x − 3y − 5 = 0. Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K (6a + 10; a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra |3(6a + 10) + 4a + 5| = |4(6a + 10) − 3a − 5| ⇔ |22a + 35| = |21a + 35| ⇔ a = 0, a = −70. Với a = 0 thì K (10; 0) và R = 7 suy ra (C): (x − 10)2 + y2 = 49. Với a = −70 thì K và R. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là (C): (x − 10)2 + y2 = 49. Ví dụ 10. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1: x − y + 1 = 0, bán kính R = 2 và cắt đường thẳng d2: 3x − 4y = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2√3. Tâm I thuộc đường thẳng d1 nên suy ra I (a; a + 1). a = 1, a = −9. Với a = 1 ta có I (1; 2), phương trình đường tròn là: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4. Với a = −9 ta có I (−9; −8), phương trình đường tròn là: (x + 9)2 + (y + 8)2 = 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A (−1; 3), B (1; 4), C (3; 2). Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (−1; 1), B (3; 3) và đường thẳng d: 3x − 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với d. Đường trung trực ∆ đi qua M (1; 2) là trung điểm AB và nhận AB = (4; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 2x + y − 4 = 0. Do (C) đi qua hai điểm A, B nên tâm I của (C) thuộc trung trực ∆ nên I (t; 4 − 2t). Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0 và ∆: x + 3y − 5 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính bằng 2√10, có tâm thuộc d và tiếp xúc với ∆.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: √3x + y = 0. và d2: √3x − y = 0. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng √3 và điểm A có hoành độ dương.Bài 6. Cho ba đường thẳng d1: x−y + 1 = 0, d2: 3x−4y = 0, d3: 4x−3y −3 = 0. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1, cắt đường thẳng d2 tại hai điểm A, B và cắt đường thẳng d3 tại hai điểm C, D sao cho AB = CD = 2√3.