- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
LG a
\[y = \left[ {3x - 2} \right]{\ln ^2}x\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp và\[\left[ {\ln u} \right]' = \frac{{u'}}{u}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
y' = \left[ {\left[ {3x - 2} \right]{{\ln }^2}x} \right]'\\
= \left[ {3x - 2} \right]'{\ln ^2}x + \left[ {3x - 2} \right]\left[ {{{\ln }^2}x} \right]'\\
= 3{\ln ^2}x + \left[ {3x - 2} \right].2\ln x.\left[ {\ln x} \right]'\\
= 3{\ln ^2}x + 2\left[ {3x - 2} \right]\ln x.\frac{1}{x}\\
= 3{\ln ^2}x + \frac{{2\left[ {3x - 2} \right]\ln x}}{x}
\end{array}\]
LG b
\[y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
y' = \left[ {\sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}} \right]'\\
= \left[ {\sqrt {{x^2} + 1} } \right]'\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} \left[ {\ln {x^2}} \right]'\\
= \frac{{\left[ {{x^2} + 1} \right]'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{\left[ {{x^2}} \right]'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{2x}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}
\end{array}\]
LG c
\[y = x.\ln {1 \over {1 + x}}\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
\[\begin{array}{l}
y = x\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
= x\left[ {\ln 1 - \ln \left[ {1 + x} \right]} \right]\\
= x\left[ {0 - \ln \left[ {1 + x} \right]} \right]\\
= - x\ln \left[ {1 + x} \right]\\
y' = \left[ { - x\ln \left[ {1 + x} \right]} \right]'\\
= - \left[ {\left[ x \right]'\ln \left[ {1 + x} \right] + x\left[ {\ln \left[ {1 + x} \right]} \right]'} \right]\\
= - \left[ {1.\ln \left[ {1 + x} \right] + x.\frac{{\left[ {1 + x} \right]'}}{{1 + x}}} \right]\\
= - \left[ {\ln \left[ {1 + x} \right] + x.\frac{1}{{1 + x}}} \right]\\
= - \ln \left[ {1 + x} \right] - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\]
Cách 2:
\[\begin{array}{l}
y' = \left[ {x\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right]'\\
= \left[ x \right]'\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\left[ {\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right]'\\
= 1.\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{\left[ {\frac{1}{{1 + x}}} \right]'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{ - \frac{1}{{{{\left[ {1 + x} \right]}^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} - x.\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \ln \left[ {1 + x} \right] - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\]
LG d
\[y = {{\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \over x}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
y' = \left[ {\frac{{\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]}}{x}} \right]'\\
= \frac{{\left[ {\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \right]'.x - \ln \left[ {{x^2} + 1} \right].\left[ x \right]'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{\frac{{\left[ {{x^2} + 1} \right]'}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left[ {{x^2} + 1} \right].1}}{{{x^2}}}\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \right]\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} - \ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \right]\\
= \frac{2}{{{x^2} + 1}} - \frac{{\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]}}{{{x^2}}}
\end{array}\]