- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải phương trình:
LG a
\[{4^{ - {1 \over x}}} + {6^{ - {1 \over x}}} = {9^{ - {1 \over x}}}\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x \ne 0\]
Chia hai vế phương trình cho \[{4^{ - {1 \over x}}}\]ta được:
\[1 + \frac{{{6^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}} = \frac{{{9^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}}\] \[ \Leftrightarrow 1 + {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - {1 \over x}}} = {\left[ {{9 \over 4}} \right]^{ - {1 \over x}}}\]
Đặt \[t = {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - {1 \over x}}}\,\,\left[ {t > 0} \right]\]ta có phương trình:
\[{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr
t = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left[\text{loại} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{
& t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - {1 \over x}}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr&\Leftrightarrow - {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over x} = -{\log _{{3 \over 2}}}{\left[ {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right]} \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{{{\left[ {\frac{3}{2}} \right]}^{ - 1}}}}\left[ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]\\
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\left[ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]\\
\Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left[ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]}}
\end{array}\]
Vậy \[S = \left\{\frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left[ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]}} \right\}\]
Cách khác:
Cách em cũng có thể chia cả hai vế của phương trình cho \[{9^{ - \frac{1}{x}}} > 0\] ta được: \[{\left[ {\frac{4}{9}} \right]^{ - \frac{1}{x}}} + {\left[ {\frac{2}{3}} \right]^{ - \frac{1}{x}}} = 1\]
Đặt \[t = {\left[ {\frac{2}{3}} \right]^{ - \frac{1}{x}}} > 0\] ta được:
\[{t^2} + t - 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\left[ {TM} \right]\\t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left[ {loai} \right]\end{array} \right.\]
Khi đó
\[\begin{array}{l}{\left[ {\frac{2}{3}} \right]^{ - \frac{1}{x}}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow - \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = - {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}{\left[ {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\end{array}\]
LG b
\[\eqalign{
{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x > 0\]
\[{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0 \]
\[\Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\]
Chia hai vế của phương trình cho \[{4^{\ln x}}\], ta được:
\[4 - {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{\ln x}} - 18{\left[ {{9 \over 4}} \right]^{\ln x}} = 0\]
Đặt \[t = {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{\ln x}}\,\,\left[ {t > 0} \right]\]
Ta có:
\[4 - t - 18{t^2} = 0 \] \[\Leftrightarrow18{t^2} + t - 4 = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2}\,\left[ \text{loại} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{\ln x}} = {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - 2}}\]
\[\Leftrightarrow \ln x = - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\]
Vậy \[S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\]
Chú ý:
Tương tự câu a, cũng có thể chia cả hai vế cho \[9^{\ln x}\].
LG c
\[\eqalign{
3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[{\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\]
\[3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} - \left[ {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right] + 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} - \left[ {3 + {{\log }_2}x} \right] + 1 = 0\]
\[\Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} -{\log _2}x -2 = 0\]
Đặt \[t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left[ {t \ge 0} \right] \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\]
Ta có phương trình: \[3t - {t^2} -2 = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {2;16} \right\}\]
LG d
\[\eqalign{
\log _{{1 \over 2}}^2\left[ {4x} \right] + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x > 0\]. Với điều kiện ta có:
\[\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left[ {4x} \right] = {\left[ {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right]^2} \cr&= \left[ { - 2 - {{\log }_2}x} \right]^2 = {\left[ {2 + {{\log }_2}x} \right]^2} \cr
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 \cr&= 2{\log _2}x - 3 \cr} \]
Ta có phương trình: \[{\left[ {{{\log }_2}x + 2} \right]^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\]
Đặt \[t = {\log _2}x\] ta được: \[{\left[ {t + 2} \right]^2} + 2t - 3 = 8\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 4 + 2t - 11 = 0 \]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow{t^2} + 6t - 7 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\]