Bai tap so sánh vô cùng bé năm 2024
|
Câu 1 [Q800786438] Chứng minh rằng và là hai vô cùng bé tương đương khi Câu 2 [Q757572004] Tính giới hạn Câu 3 [Q663666007] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 4 [Q467721985] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 5 [Q706164260] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 6 [Q027405306] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 7 [Q864897036] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 8 [Q766156097] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 9 [Q299652670] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 10 [Q007028075] So sánh hai vô cùng bé sau khi và Câu 11 [Q787353586] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 12 [Q067200430] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 13 [Q836826828] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 14 [Q347477767] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 15 [Q222766367] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 16 [Q527566667] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 17 [Q229976463] Tính giới hạn có sử dụng vô cùng bé tương đương. THI ONLINE - [PROS2] - VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (vted) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................ x 2 ∫ 0 (1 + 7sin 2 t) dt 1 t sin 2 x x → 0. limx→. sin xn (sin x)m x → 0. f(x) = ln(1 + tan x) g(x) = ex − 1. x → 0. f(x) = x − ln(1 + x) g(x) = x 2. 1 2 x → 0. f(x) = x − arctan x g(x) = x 3. 1 3 x → 0+. f(x) = √x 3 + x 2 g(x) = esin x − cos 2x. x → 0. f(x) = √ 3 x 4 + x 3 g(x) = etan x − cos 4x. limx→ ln(1 + 4 sin x) 3 x − 1 limx→ Show
√ 7 (1 + 4x) 2 − 12 sin x + 3sin 2 x x → 0+. f(x) = √ln(x 3 + 1) g(x) = x 2 + x. limx→ ln(1 + 3sin 3 x − 2x 2 ) − 4x ln(1 − 3 tan x) + sin 2 x limx→ ln(1 + 3 arcsin x − 2sin 2 x) + 3 tan x x + 3 tan x + cos 2 x − 1 limx→ 1 − cos 3x 2 x 2 + 3x 3 − x 4 limx→ 5 x − 1 4 x + 3sin 2 x + cos x − 1 limx→ ln(1 + 4x 2 − 5x 3 ) ln(1 + 2x 2 + 3x 3 ) limx→ √ 5 (1 + 3x) 2 − 1sin x + 2sin 2 x + ex − 1 limx→0 ( 5 x + e−5x) 1 sin25x Câu 18 [Q837387374] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 19 [Q420141670] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 20 [Q754777450] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 21 [Q921791623] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 22 [Q755447727] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 23 [Q606869338] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 24 [Q733266603] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 25 [Q673736236] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 26 [Q337173707] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 27 [Q073399155] Xác định để có giới hạn hữu hạn. Câu 28 [Q011676260] Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương. Câu 29 [Q266227637] Hàm số có phải là vô cùng bé khi không? Vì sao? Câu 30 [Q546227655] Xác định để là vô cùng bé bậc cao nhất có thể khi Câu 31 [Q854746787] Xác định để là vô cùng bé bậc cao nhất có thể khi Câu 32 [Q646335579] Tính giới hạn Câu 33 [Q327758773] Tính giới hạn Câu 34 [Q938757357] Tính giới hạn Câu 35 [Q676362714] Tính giới hạn Câu 36 [Q278020627] Chứng minh rằng và là hai vô cùng bé tương đương khi Câu 37 [Q557186771] Chứng minh rằng các cặp vô cùng bé sau tương đương khi a) b) c) d) limx→ ln(1 + 3 tan x) − 3x 2 e−2x − tan 2x − 1 limx→ 1−cos 2x ∫ 0 ln(1 − 3t)dt tan 4 x limx→ sin(x 2 ) − x 2 x 5 sin x limx→ sin 5x + 2 arctan 2x + 3x 2 ln(1 + 5x + sin 23 x) + 2xex limx→ ecos(sin 6x)−1 − 1 x 2 + x 3 limx→ esin 2 x − cos 22 x x 2 + x 3 limx→0 (1 + 2x) 1 √1 + 4x − 1 limx→ x ln(1 + 2x) 3 x 2 − 4sin 3 x limx→ (e 2 x − 1) sin x √x 4 + 2x 6 a, b ∈ R limx→ x 3 − sin 3 x (1 + ax + bx 2 ) x 3 sin 3 x limx→ 1 − √1 + 2x 4 cos(√ 2 x 2 )x 5 ln(1 − 2x 3 ) f(x) = x cos 1 x x → 0 a, b ∈ R f(x) = b√x + a + ln(x + a) x → 0. a, b ∈ R f(x) = b √ 3 x + a + ln(x + a) x → 0. limx→. √ 5 (1 + sin 2x) 2 − 1tan 2x limx→. (1 − e 2 x) (1 − cos 4x) x 5 + sin 3 (3x) limx→. ex + e−x − 2 1 − cos 2x limx→. arcsin 3 (2 sin 3x) etan 3 x − 1 f(x) = ln(1 + tan 3x) + (√1 + 2 sin x − 1) (e − 1) + log 2 (1 + 2x 3 )x 2 g(x) = e 3 x − 1 x → 0. x → 0. f(x) = xsin 2 x; g(x) = x 2 sin x. f(x) = √1 + x sin x − 1; g(x) = 12 x 2. f(x) = e 2 x − ex; g(x) = sin 2x − sin x. f(x) = (√1 + 2x 4 − 1) (cos(√ 2 x 2 ) − 1) ; g(x) = 12 x 5 ln(1 − 2x 3 ).Câu 61 [Q285549721] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 62 [Q732590777] Tính giới hạn Câu 63 [Q997025626] Tính giới hạn Câu 64 [Q276674222] Tính giới hạn Câu 65 [Q077780389] Tính giới hạn Câu 66 [Q010377321] Tính giới hạn Câu 67 [Q288303795] Tính giới hạn Câu 68 [Q043037430] Tính giới hạn Câu 69 [Q567001405] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 70 [Q150430366] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 71 [Q789179864] Khi so sánh hai vô cùng bé sau có tương đương không? Vì sao? và Câu 72 [Q077617244] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 73 [Q632034725] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 74 [Q355689896] Xác định để cặp vô cùng bé sau tương đương và Câu 75 [Q176226243] Cho là hai vô cùng bé khi Chứng minh rằng: Câu 76 [Q233232263] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 77 [Q412181167] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 78 [Q747164439] Tính giới hạn Câu 79 [Q633696396] Tính giới hạn Câu 80 [Q354039569] Tính giới hạn x → 0. f(x) = tan x − sin x g(x) = 12 x 3 limx→. x − arcsin x x 3 + sin 4 x limx→+∞ ⎛⎜⎝e − cos ⎞⎟⎠. x 2 arctan x 1 x 2 1 x 2 limx→. x − sin 5x + sin 2 x 4 x + arcsin 2 x + x 2 limx→. sin(ex2 − 1) + 2x 3 − ln(x + 1)arctan x 3 + 1 − cos 2x limx→. sin(ex2 − 1) + 2x 3 − ln(x + 1)arctan x 3 + 1 − cos 2x limx→0 ( − ).1 x 2 x tan 3 x limx→. ln(1 + x tan x) x 2 + sin 3 x x → 0. f(x) = arctan x − tan x g(x) = − x 3. 2 3 x → 0. f(x) = arcsin x − sin x g(x) = x 3. 1 3 x → 0 f(x) = (2 − x) ln(1 + 2x) + 6x 2 − 4x g(x) = 223 x 3. x → 0. f(x) = ln(1 + x tan 3x) g(x) = ex 2 − cos 2x. x → 0. f(x) = ln(1 + arctan x) g(x) = esin x − 1. a ∈ R x → 0. f(x) = ln(1 + arctan(ax)) g(x) = √ 3 ax 3 − x 4. f(x), g(x) x → a. f(x) ∼ g(x) ⇔ f(x) = g(x) + o (g(x)). x → 0. f(x) = 3x 3 − 2x 2 g(x) = ln(cos 2x). x → 0. f(x) = x 2 + 2x g(x) = √ 3 1 + 6x − 1. limx→. (x 2 − 3x + 2) sin(x − 1) 1 + cos(πx) limx→−. (x 2 + 3x + 2) sin(x + 1) 1 + cos(πx) limx→0 ( − ).1 x 1 arcsin x Câu 81 [Q991107746] Tính giới hạn Câu 82 [Q643946476] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 83 [Q766837607] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 84 [Q739997707] Tính giới hạn Câu 85 [Q794674736] Tính giới hạn Câu 86 [Q263701731] Tính giới hạn Câu 87 [Q741654589] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 88 [Q475167777] Khi Cặp vô cùng bé sau tương đương không? Vì sao? và Câu 89 [Q577362773] Tính giới hạn Câu 90 [Q872333734] Tính giới hạn Câu 91 [Q609679046] Tính giới hạn Câu 92 [Q444655115] Tính giới hạn Câu 93 [Q271032858] Tính giới hạn Câu 94 [Q627696626] Tính giới hạn Câu 95 [Q772225239] Tính giới hạn Câu 96 [Q505733959] Tìm sao cho Câu 97 [Q275766385] Tìm sao cho Câu 98 [Q070303303] Tìm sao cho Câu 99 [Q722636929] Tìm sao cho Câu 100 [Q574045773] Tìm sao cho Câu 101 [Q581561736] Tính giới hạn limx→0 ( − ).1 x 1 arctan x x → 0. f(x) = − 1 x 1 arcsin x g(x) = √ 3 1 + x − 1.1 2 x → 0. f(x) = − 1 x 1 arctan x g(x) = √ 6 1 − 2x − 1. limx→. 1 − √1 + 4x 4 cos( 2 x 2 ) x 5 ln(1 + 2x 3 ) limx→. 3 arctan 2x − 2 arctan 3x x 3 limx→. 2 arctan x − arctan 2x x 3 x → 0. f(x) = tan x g(x) = esin x − x 2 − 1. x → 0. f(x) = sin x g(x) = ex − tan 2 x − 1. limx→. (1 − 2x) − (1 + x) − − 1 − 30x x 2 limx→. x 2 ex − ln(1 + x 2 ) − arcsin x 3 x sin x − x 2 limx→. 3 tan 2x − 6 sin x − 9x 3 x 5 limx→. 2 arctan 3x − 3 sin 2x + 14x 3 x 5 limx→. 1 − √ 3 cos x x 2 limx→. 1 − √ 3 cos x sin 2 x + arctan x 3 limx→. 1 − cos 4x − 8x 2 x 4 a, b ∈ R limx→0 = 1. ax + b sin(sin x) x 3 a, b ∈ R limx→0 = 1. ax 2 + b ln(cos x) x 4 a, b, c ∈ R limx→0 = 1. ax + bx 2 + c ln(x 2 − x + 1) x 3 a, b, c ∈ R limx→0 = 1. ax + bx 2 + c (esin x − 1) x 4 a, bR limx→0 = 1. ax + b tan(tan x) x 3 limx→∞ ( )x 4 . x 2 − 1 x 2 Câu 5 CóCâu 6 Có vàDo đóCâu 7 Ta cóCâu 8 CóCâu 9 CóCâu 10 CóCâu 11 CóDo đóCâu 12 CóVì vậyCâu 13 CóCâu 16 CóCâu 18 CóCâu 19 Có do đóCâu 20 Có Do đólimx→0 = limx→0 = limx→0 = limx→0 = 1 ⇒ f(x) ∼ g(x).f(x) g(x) x−arctan x 13 x 3 1− 1+ 1 x 2 x 2 1 1+x 2 f(x) = √x 3 + x 2 ∼ x (x → 0+) ; g(x) = esin x − cos 2x = (esin x − 1) + (1 − cos 2x)esin x − 1 ∼ sin x ∼ x (x → 0) ; 1 − cos 2x ∼ 12 (2x) 2 ∼ 2x 2 (x → 0) ⇒ g(x) ∼ x (x → 0).f(x) ∼ g(x) ∼ x (x → 0+).x → 0 ⇒⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩f(x) =√ 3x 4 + x 3 ∼ xg(x) = etan x − cos 4x = (etan x − 1) + (1 − cos 4x)etan x − 1 ∼ tan x ∼ x; 1 − cos 4x ∼ (4x)2 ∼ 8x 2g(x) ∼ x1 ⇒ f(x) ∼ g(x) ∼ x (x → 0).2x → 0 ⇒ {ln(1 + 4 sin x) ∼ 4 sin x ∼ 4x3 x − 1 ∼ x ln 3⇒ limx→ \= limx→ \=.ln(1+4 sin x) 3 x− 4 x x ln 3 4 ln 3 x → 0 ⇒⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩√ 7 (1 + 4x) 2 − 1 = (1 + 4x) − 1 ∼ (4x)2 sin x ∼ 2x; 3sin 2 x ∼ 3x 22 sin x + 3sin 2 x ∼ 2x⇒ limx→ \= limx→ \=.2 7 27 √ 7 (1+4x) 2 −2 sin x+3sin 2 x 27 (4x) 2 x 4 7 {f(x) = √ln(x 3 + 1) ∼ √x 3 = x√xg(x) = x 2 + x ∼ x(x → 0+) ⇒ limx→0+ \= limx→0+ \= 0 ⇒ f(x) = o (g(x)).f(x) g(x) x√x x x → 0 ⇒ {ln(1 + 3sin 3 x − 2x 2 ) ∼ 3sin 3 x − 2x 2 ∼ −2x 2 ⇒ ln(1 + 3sin 3 x − 2x 2 ) − 4x ∼ −4xln(1 − 3 tan x) ∼ −3 tan x ∼ −3x; sin 2 x ∼ x 2 ⇒ ln(1 − 3 tan x) + sin 2 x ∼ −3x.limx→0 = limx→0 =.ln(1+3sin 3 x−2x 2 )−4xln(1−3 tan x)+sin 2 x −4x −3x 4 3 x → 0 ⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x + 3 tan x + cos 2 x − 1 = x + 3 tan x − sin 2 x ∼ x + 3x = 4xln(1 + 3 arcsin x − 2sin 2 x) ∼ 3 arcsin x − 2sin 2 x ∼ 3x; tan x ∼ xln(1 + 3 arcsin x − 2sin 2 x) + 3 tan x ∼ 6x.limx→0 = limx→0 =.ln(1+3 arcsin x−2sin 2 x)+3 tan xx+3 tan x+cos 2 x− 6 x 4 x 3 2 {1 − cos 3x ∼ (3x)2 2 x 2 + 3x 3 − x 4 ∼ 2x 2(x → 0) ⇒ limx→0 = limx→0 =.1 2 1 − cos 3x2 x 2 + 3x 3 − x 4(3x) 2122 x 294⎧⎨⎩√ 5 (1 + 3x) 2 − 1 = (1 + 3x) − 1 ∼ (3x)sin x + 2sin 2 x + ex − 1 ∼ x + 2x 2 + x ∼ 2x(x → 0) ⇒ limx→ \= limx→ \=.2 5 2 5 √ 5 (1+3x) 2 −sin x+2sin 2 x+ex− 25 (3x) 2 x 3 5 x → 0 ⇒ {ln(1 + 3 tan x) − 3x 2 ∼ 3 tan x ∼ 3xe−2x − 1 − tan 2x ∼ −2x − 2x = −4x⇒ limx→ \= limx→ \= −.ln(1+3 tan x)−3x 2 e−2x−tan 2x− 3 x −4x 3 4 tan 4 x ∼ x 4 (x → 0)limx→ \= limx→ \= limx→ (Lopitan)\= limx→0 = limx→0 = −6.1−cos 2x ∫0 ln(1 − 3t)dttan 4 x1−cos 2x ∫0 ln(1 − 3t)dtx 42sin 2 x ∫0 ln(1 − 3t)dtx 42 sin 2x. ln(1 − 6sin 2 x)4 x 32. (−6x 2 )4 x 3sin x ∼ x (x → 0).limx→0 = limx→0 = limt→0 = limt→0 = limt→0 = −.sin(x 2 )−x 2x 5 sin x sin(x 2 )−x 2x 5 .x sin t−t t 3 cos t− 3 t 2 − sin t 6 t 1 6 Câu 21 CóDo đóCâu 22 CóDo đóCâu 23 CóCâu 24 CóCâu 25 CóCâu 26 CóCâu 27 Khai triển Mac – laurin có:Vì vậyCâu 28 CóDo đóCâu 30 Để là vô cùng bé khiKhi đóXétVậyCâu 36 Có thì vàDo đóTa có điều phải chứng minh.x → 0 ⇒ {sin 5x + 2 arctan 2x + 3x 2 ∼ 5x + 2 = 9xln(1 + 5x + sin 23 x) + 2xex = ln(1 + 5x + sin 23 x) + 2x(ex − 1) + 2x ∼ 5x + 2x = 7x.limx→0 = limx→0 =.sin 5x+2 arctan 2x+3x 2 ln(1+5x+sin 23 x)+2xex9 x 7 x 9 7 x → 0 ⇒⎧⎨⎩ecos(sin 6x)−1 − 1 ∼ cos(sin 6x) − 1 ∼ − (sin 6x) 2 ∼ − (6x) 2 = −18x 2x 2 + x 3 ∼ x 2.1212limx→0 = limx→0 = −18.ecos(sin 6x)−1− x 2 +x 3 −18x 2 x 2 x → 0 ⇒⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩esin2 x − cos 22 x = (esin2 x − 1) + sin 22 x∼ sin 2 x + sin 22 x ∼ x 2 + (2x) 2 = 5x 2x 2 + x 3 ∼ x 2⇒ limx→ \= limx→ e = 5.sin2x−cos 22 x x 2 +x 3 5 x 2 x 2 limx→0 (1 + 2x) = elimx→ \= elimx→ \= e.1 √1+4x− ln(1+2x) √1+4x− 2 x 12 .4x limx→0 = limx→0 =.x ln(1+2x) 3 x 2 −4sin 3 x x 3 x 2 2 3 limx→0 = limx→0 = 2.(e 2 x−1) sin x√x 4 +2x 6 2 x x 2 ⎧⎪⎨⎪⎩x 3 sin 3 x = x 6 + o(x 6 )x 3 − sin 3 x (1 + ax + bx 2 ) = x 3 − (x 3 − x 5 + o(x 6 )) (1 + ax + bx 2 ) = −ax 4 + ( − b) x 5 + ax 6 + o(x 6 ).121212limx→ \= k ∈ R ⇔⎧⎨⎩−a = 0− b = 0 ⇔ (a; b) = (0; ).x 3 −sin 3 x(1+ax+bx 2 )x 3 sin 3 x 121 2 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x 5 ln(1 − 2x 3 ) = −2x 8 + o(x 8 )1 − √1 + 2x 4 cos(√ 2 x 2 ) = 1 − (1 + 2x 4 ) cos(√ 2 x 2 )\= 1 − (1 + x 4 − x 8 + o(x 8 )) (1 − x 4 + x 8 + o(x 8 )) = x 8 + o(x 8 ).1 2 121643limx→0 = limx→0 = −.1−√1+2x 4 cos(√ 2 x 2 )x 5 ln(1−2x 3 ) 43 x 8 −2x 8 2 3 f(x) = b√x + a + ln(x + a)x → 0 ⇔ limx→0 f(x) = 0 ⇔ b√a + ln a = 0 ⇔ b = − ln √ aa(a > 0).f(x) = − ln a√x + a + ln(x + a).√a limx→0 = limx→0 = limx→0 (−. + ) = −.f(x) x − ln √ aa√x+a+ln(x+a) x ln a √a 1 2√x+a 1 x+a 1 a ln a 2 a f(x) = o (x) ⇔ 1 a− ln 2 aa= 0 ⇔ ln a = 2 ⇔ a = e 2 ⇒ b = − 2 e.x → 0 g(x) = e 3 x − 1 ∼ 3x⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ln(1 + tan 3x) ∼ tan 3x ∼ 3x(√1 + 2 sin x − 1) (e − 1) ∼ ( .2 sin x) ( x) ∼ x 2log 2 (1 + 2x 3 ) = ∼ .2x 3.x 2 121212ln(1 + 2x 3 )ln 21ln 2f(x) = ln(1 + tan 3x) + (√1 + 2 sin x − 1) (e − 1) + log 2 (1 + 2x 3 ) ∼ 3x + x 2 + .2x 3 ∼ 3x.x 2 1 2 1 ln 2 Câu 53 Khai triển Mac –laurin có Do đó Câu 54 Ta có Do đó Câu 55 Khai triển Mac – laurin có Vậy Câu 56 Khai triển Mac – laurin có: Vậy Câu 57 Có Do đó Câu 58 Khai triển Mac – Laurin đến cấp 3 có: Do đó ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩tan x − sin x = (x + x 3 + o(x 3 )) − (x − x 3 + o(x 3 )) = x 3 + o(x 3 )tan(tan x) − sin(sin x) = (x + x 3 + o(x 3 )) − (x − x 3 + o(x 3 )) = x 3 + o(x 3 ). 1 3 1 6 1 2 2 3 1 3 limx→0 = limx→0 = 2. tan(tan x)−sin(sin x) tan x−sin x x 3 12 x 3 ⎧⎪⎨⎪⎩x 2 ln(1 + 2x 3 ) ∼ x 2 .2x 3 = 2x 5 (x → 0) 2 (ex2 − 1) (1 + 2x 3 )− \= 2 (x 2 + + + o(x 6 )) (1 − x 3 + x 6 + o(x 6 )) = 2x 2 + x 4 − 2x 5 + o(x 5 )1 2 x 4 2! x 6 3! 3 2 limx→0 = limx→0 = 1. ####### x 2 (x 2 +2)−2(ex 2 −1)(1+2x 3 )− 1 2 x 2 ln(1+2x 3 ) 2 x 5 2 x 5 e 2 x − 1 + ax + bx 2 = (1 + 2x + 2x 2 + o(x 2 )) − 1 + ax + bx 2 = (a + 2)x + (b + 2)x 2 + o(x 2 ). e 2 x − 1 + ax + bx 2 = o(x 2 ) ⇔ {a + 2 = 0 b + 2 = 0 ⇔ (a; b) = (−2; −2). ln(1 + 3x) + ax + bx 2 = ( 3 x − 92 x 2 + o(x 2 )) + ax + bx 2 = (a + 3)x + (b − 92 ) x 2 + o(x 2 ).ln(1 + 3x) + ax + bx 2 = o(x 2 ) ⇔ ⎧⎨⎩a + 3 = 0 b − = 0 ⇔ ( 9 a; b) = (−3; ).2 9 2 ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x ln(1 − 2x 3 ) = −2x 4 + o(x 4 ) 1 − √1 + 2x 4 cos( 2 x 2 ) = 1 − (1 + 2x 4 ) cos( 2 x 2 ) = 1 − (1 + x 4 + o(x 4 )) (1 − 2x 4 + o(x 4 )) = x 4 + o(x 4 ) . 1 2 limx→0 = limx→0 = −. 1−√1+2x 4 cos( 2 x 2 ) x ln(1−2x 3 ) x 4 −2x 4 1 2 x ln(1 − 3x) + ax + bx 2 + cx 3 = x (−3x − x 2 + o(x 2 )) + ax + bx 2 + cx 3 = (c − ) x 3 + (b − 3)x 2 + ax + o(x 3 ).9 2 9 2 x ln(1 + 3x) + ax + bx 2 + cx 3 = o(x 3 ) ⇔ lim x→ = 0 ⇔ lim x→ = 0 ⇔ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a = 0 b − 3 = 0 c − = 1 ⇔ (a; b; c) = (0; 3; ).x ln(1 − 3x) + ax + bx 2 + cx 3 x 3 (c − 92 ) x 3 + (b − 3)x 2 + ax + o(x 3 )x 3 2 11 2 Câu 59 Khai triển Mac – laurin có:Vì vậyCâu 60 Khai triển Mac – laurin có:vàVì vậyCâu 61 Ta cóVậyCâu 62 Ta có Do đóCâu 63 CóVàVậyCâu 64 CóCâu 65 CóDo đóxe−3x + ax + bx 2 + cx 3 = x (1 − 3x + 92 x 2 + o(x 3 )) + ax + bx 2 + cx 3 = (a + 1)x + (b − 3)x 2 + (c + 92 ) x 3 + o(x 3 ).xe−3x + ax + bx 2 + cx 3 = o(x 3 ) (x → 0) ⇔ limx→ \= 0⇔ limx→ \= 0 ⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a + 1 = 0b − 3 = 0c + = 0⇔ (a; b; c) = (−1; 3; − ).xe−3x + ax + bx 2 + cx 3x 3(a + 1)x + (b − 3)x 2 + (c + 92 ) x 3 + o(x 3 )x 3292f(x) = x (1 − 3x + 92 x 2 + o(x 3 )) + ax + bx 2 + cx 3 = (a + 1)x + (b − 3)x 2 + (c + 92 ) x 3 + o(x 3 ).g(x) = x ln(1 − 2x 2 ) = −2x 3 + o(x 3 ).f(x) ∼ g(x) (x → 0) ⇔ limx→ \= 1 ⇔ limx→ \= 1⇔⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩a + 1 = 0b − 3 = 0\= 1⇔ (a; b; c) = (−1; 3; − ).f(x)g(x)(a + 1)x + (b − 3)x 2 + (c + 92 ) x 3 + o(x 3 )−2x 3 + o(x 3 )c + 92−132limx→0 = limx→0 = limx→0 = limx→0 = 1.tan x−sin x 12 x 3 cos2 1 x −cos x 32 x 2 tan 2 x+(1−cos x) 32 x 2 x 2 + 12 x 2 32 x 2 f(x) ∼ g(x) (x → 0).{x 3 + sin 4 x ∼ x 3 + x 4 ∼ x 3√1 − x 2 − 1 = (1 − x 2 ) − 1 ∼. (−x 2 )1 (x → 0).2 1 2 limx→ \= limx→ \= limx→ \= limx→ \= limx→0 = − limx→0 = −.x−arcsin x x 3 +sin 4 x x−arcsin x x 3 1− √1− 1 x 2 3 x 2 √1−x 2 − 3 x 2 √1−x 2 12 .(−x 2 )3 x 2 √1−x 2 1 6 1 √1−x 2 1 6 limx→+∞ x (e − cos ) = limx→+∞ (e − cos ) = limx→+∞ x 2 (e − cos ).2 arctan x 1 x 2 x 2 x 2 π 2 1 x 2 x 2 2 π 1 x 2 x 2 limx→+∞ x 2 (e − cos ) = limt→0 = limt→0 = 1.1 x 2 x 2 et−cos t t et+sin t 1 limx→+∞ x (e − cos ) =.2 arctan x 1 x 2 x 2 2 π {x − sin 5x + sin 2 x ∼ x − 5x + x 2 ∼ −4x4 x + arcsin 2 x + x 2 ∼ 4x + x 2 + x 2 ∼ 4x⇒ limx→ \= limx→ \= −1.x − sin 5x + sin 2 x4 x + arcsin 2 x + x 2−4x4 x⎧⎨⎩sin(ex2 − 1) + 2x 3 − ln(x + 1) ∼ ex2 − 1 + 2x 3 − x ∼ x 2 + 2x 3 − x ∼ −xarctan x 3 + 1 − cos 2x ∼ x 3 + (2x)2 ∼ 2x 2(x → 0).1 2 limx→0 = limx→0 = ∞.sin(ex 2 −1)+2x 3 −ln(x+1)arctan x 3 +1−cos 2x −x 2 x 2 Câu 84 Có và khai triển Mac – laurin có Do đó Câu 89 Khai triển Mac – laurin có Do đó Câu 90 Khai triển Mac – laurin đến cấp 4 có: và Do đó Câu 91 Khai triển Mac – laurin đến cấp 5 ta có Vậy Câu 92 Khai triển Mac – laurin đến cấp 5 ta có Vậy Câu 93 Có Câu 94 Có Do đó Câu 95 Khai triển Mac- laurin đến cấp 4 có Do đó Câu 96 Khai triển Mac – laurin đến cấp 3 có Do đó x 5 ln(1 + 2x 3 ) ∼ x 5 .2x 3 = 2x 8 (x → 0) 1 − √1 + 4x 4 cos( 2 x 2 ) = 1 − (1 + 2x 4 − 2x 8 + o(x 8 )) (1 − 2x 4 + 23 x 8 + o(x 8 )) = 163 x 8 + o(x 8 ).limx→0 = limx→0 =. 1−√1+4x 4 cos( 2 x 2 ) x 5 ln(1+2x 3 ) 163 x 8 2 x 8 8 3 (1 − 2x) − (1 + x) − − 1 − 30x = (1 + 80x + 3280x 2 + o(x 2 )) (1 − 50x + 1275x 2 + o(x 2 )) − 1 − 30x = 555x 2 + o(x 2 ). limx→0 = limx→0 = 555. (1−2x)−40(1+x)−50−1−30x x 2 555 x 2 x 2 x sin x − x 2 = x (x − 16 x 3 + o(x 3 )) − x 2 = − 16 x 4 + o(x 4 )x 2 ex − ln(1 + x 2 ) − arcsin x 3 = x 2 (1 + x + 12 x 2 + o(x 2 )) − (x 2 − 12 x 4 + o(x 4 )) − (x 3 + o(x 4 )) = x 4 + o(x 4 ). limx→0 = limx→0 = −6. x 2 ex−ln(1+x 2 )−arcsin x 3 x sin x−x 2 x 4 − 16 x 4 3 tan 2x − 6 sin x − 9x 3 = 3 ( 2 x + 83 x 3 + 6415 x 5 + o(x 5 )) − 6 (x − 16 x 3 + 1201 x 5 + o(x 5 )) − 9x 3 = 514 x 5 + o(x 5 ).limx→0 = limx→0 =. 3 tan 2x−6 sin x−9x 3 x 5 514 x 5 x 5 51 4 2 arctan 3x − 3 sin 2x + 14x 3 = 2 ( 3 x − 9x 3 + 2435 x 5 + o(x 5 )) − 3 ( 2 x − 16 (2x) 3 + 201 (2x) 5 + o(x 5 )) + 14x 3 = 4625 x 5 + o(x 5 ).limx→0 = limx→0 =. 2 arctan 3x−3 sin 2x+14x 3 x 5 4625 x 5 x 5 462 5 limx→0 = limx→0 = limx→0 = limx→0 =. 1− √ 3 cos x x 2 1−(1+(cos x−1)) 13 x 2 − 13 (cos x−1) x 2 ####### − 13 (− 12 x 2 ) x 2 1 6 ⎧⎪⎨⎪⎩1 − √ 3 cos x = 1 − (1 + (cos x − 1)) ∼ − (cos x − 1) ∼ − (− x 2 )sin 2 x + arctan x 3 ∼ x 2 + x 3 ∼ x 2 (x → 0). 1 3 1 3 1 3 1 2 limx→0 = limx→0 =. 1− √ 3 cos x sin 2 x+arctan x 3 ####### − 13 (− 12 x 2 ) x 2 1 6 1 − cos 4x − 8x 2 = 1 − (1 − 12 (4x) 2 + 241 (4x) 4 + o(x 4 )) − 8x 2 = − 323 x 4 + o(x 4 ).limx→0 1−cos 4x−8x = limx→0 = −. 2 x 4 − 323 x 4 x 4 32 3 ax + b sin(sin x) = ax + b (x − 13 x 3 + o(x 3 )) = (a + b)x − b 3 x 3 + o(x 3 ).lim x→ = 1 ⇔ ⎧⎨⎩a + b = 0 − = 1 ⇔ {a = 3 b = −. ax+b sin(sin x) x 3 b 3 Câu 97 Khai triển Mac – laurin đến cấp 4 có Vậy Câu 98 Khai triển Mac – laurin đến cấp 3 có Vậy Câu 99 Khai triển Mac – laurin đến cấp 4 có Vậy Câu 100 Khai triển Mac – laurin đến cấp 3 có Vậy Câu 101 Có Câu 102 Có Câu 103 Có Câu 105 Có Câu 106 Có Câu 107 Khai triển Mac – laurin đến cấp 4 có Do đó ax 2 + b ln(cos x) = ax 2 + b (− 12 x 2 − 121 x 4 + o(x 4 )) = (a − 12 b) x 2 − 12 bx 4 + o(x 4 ). lim x→ = 1 ⇔ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a − b = 0 − = 1 ⇔ {a = − b = −. ax 2 +b ln(cos x) x 4 1 2 b 12 ax + bx 2 + c ln(x 2 − x + 1) = ax + bx 2 + c (−x + 12 x 2 + 23 x 3 + o(x 3 )) = (a − c)x + (b + c 2 ) x 2 + 23 cx 3 + o(x 3 ).lim x→ = 1 ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩a − c = 0 b + = 0 c = 1 ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩a = b = − c = . ax+bx 2 +c ln(x 2 −x+1) x 3 c 2 2 3 3 2 3 4 3 2 ax + bx 2 + c (esin x − 1) = ax + bx 2 + c (x + 12 x 2 − 18 x 4 + o(x 4 )) = (a + c)x + (b + 12 c) − c 8 x 4 + o(x 4 ).lim x→ = 1 ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩a + c = 0 b + c = 0 − = 1 ⇔ ⎧⎨⎩a = 8 b = 4 c = − . ax+bx 2 +c(esin x−1) x 4 1 2 c 8 ax + b tan(tan x) = ax + b (x + 23 x 3 + o(x 3 )) = (a + b)x + 23 bx 3 + o(x 3 ).lim x→ = 1 ⇔ ⎧⎨⎩a + b = 0 b = 1 ⇔ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a = − b = . ax+b tan(tan x) x 3 3 3 2 3 2 limx→∞ ( )x 4 = e limx→∞ x 4 ln( ) \= e limt→0+ \= elimt→0+ . = elimt→0+ = 0, (t = ).x 2 − x 2 x2− x 2 ln(1−t) t 2 ln(1−t) −t − t − t 1 x 2 sin(ln(1 + x)) ∼ sin x ∼ x (x → 0) ⇒ limx→0 = limx→0 = ∞. sin(ln(1+x)) x 3 x x 3 ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ln(cos x) = ln(1 + (cos x − 1)) ∼ cos x − 1 ∼ − x 2 √ 4 1 + x 2 − 1 = (1 + x 2 ) − 1 ∼ x 2 (x → 0) ⇒ limx→0 = limx→0 = −2. 1 2 1 4 1 4 ln(cos x) √ 4 1+x 2 − − 12 x 2 14 x 2 lim x→ ( ) = elim x→ = e lim x→ = e xlim→ = e lim x→ = e lim x→ = e lim x→ = e lim x→ = e xlim→ = √e. 1 + tan x 1 + sin x 1 sin3x ln( 1+tan 1+sin xx) sin3x ln( 1+tan 1+sin xx) sin3x ln(1+ tan 1+sin x−sin x x) sin3x tan x−sin x 1+sin x sin3x tan x−sin x x 3 cos2 1 x −cos x 3 x 2 tan2x+(1−cos x) 3 x 2 x2+ 12 x 2 3 x 2 {f(x) = tan(x 2 + 2x 3 ) ∼ x 2 + 2x 3 ∼ x 2 g(x) = ln(1 + 2x) ∼ 2x (x → 0) ⇒ f(x) = o (g(x)). e 2 x 2 cos 2x − 1 = (1 + 2x 2 + ( 2 x 2 )2 + o(x 4 )) (1 − (2x)2 + (2x) 4 1212241 + o(x 4 )) − 1 = − 43 x 4 + o(x 4 ).limx→0 e = limx→0 = −. 2 x 2 cos 2x− x 4 − 43 x 4 x 4 4 3 Câu 115 Ta có: Mặt khác: Do đó Câu 116 Có limx→∞ [(x 3 − x 2 + 12 x) e − √x 6 + 1] = limt→0 [( − + ) et − √ + 1] = limt→.1 x 1 t 3 1 t 2 1 2 t 1 t 6 (2−2t+t 2 )et−2√t 6 + 2 t 3 (2 − 2t + t 2 )et − 2√t 6 + 1 = 2et − 2tet + t 2 et − 2(1 + t 6 ) |
