Skip to content
Hình chữ nhật là một hình quen thuộc trong đời sống và được ứng dụng rộng rãi hằng ngày. Các bạn học sinh cũng đã được làm quen với Hình chữ nhật từ cấp 1, từ các hình dán, vẽ cơ bản đến các khối lắp ghép phức tạp, ngay đến bộ bàn ghế ngồi học cũng thiết kế theo Hình chữ nhật… Vậy đâu là khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật mà các bạn cần chú ý để tiếp thu và giải bài tập được tốt hơn? Hãy cùng Gia Sư Việt khám phá qua bài viết dưới đây nhé !
I. Khái niệm về Hình chữ nhật
Hình chữ nhật là Tứ giác có bốn góc vuông.
Từ khái niệm và hình vẽ trên, ta có: Nếu ABCD là Hình chữ nhật thì Góc A = B = C = D = 90°
II. Các tính chất của Hình chữ nhật
Hình chữ nhật là có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
– Tính chất 1: Trong hình chữ nhật, các cạnh đối bằng nhau.
Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD => AB = CD và AD = BC
– Tính chất 2: Trong hình chữ nhật, các góc đối bằng nhau.
Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD => Góc A = B = C = D = 90°
III. Các định lí quan trọng về Hình chữ nhật
– Định lí 1: Trong Hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ngược lại, nếu tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có AC = BD và cắt nhau tại O, trong đó OA = OB = OC = OD, chứng minh Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật.
Xét tam giác ABD có:
OA = OB = OD [gt] => ∆ABD vuông tại A
[ Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông ]
Chứng minh tương tự, ta có:
∆ABC vuông tại B, ∆BCD vuông tại C, ∆CDA vuông tại D
=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.
– Định lí 2: Áp dụng vào Tam giác
+ Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+ Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
Xét Δ AHC vuông có I là trung điểm của AC
⇒ HE là đường trung tuyến của Δ AHC.
⇒ HI = ½AC = AI = IC.
Mà E đối xứng với H qua I ⇒ HI = IE.
Khi đó ta có HI = IE = AI = IC.
+ Xét Δ HCE có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh HE
mà CI = ½ HE ⇒ Δ HCE vuông tại C.
Chứng minh tương tự ta có: Δ AHE, Δ AEC đều là các tam giác vuông tại A, E.
Xét tứ giác AHCE có Góc EAH = AHC = HCE = CEA = 90°
⇒ Tứ giác AHCE là hình chữ nhật. [ đ.p.c.m ]
IV. Cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật
Cách 1: Tứ giác có ba góc vuông
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có ∆ABC vuông tại A,∆BCD vuông tại B, ∆CDA vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì. Vì sao?
Theo bài ra, ta có:
∆ABC vuông tại A => Góc BAC = 90°
∆BCD vuông tại B => Góc CBD = 90°
∆CDA vuông tại C => Góc DCA = 90°
=> Góc ADC = 90° [Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ]
=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có bốn góc vuông. [ đ.p.c.m ]
Cách 2: Hình thang cân có một góc vuông
Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, giả sử góc D = 90°. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
Theo giả thiết: Góc D = 90°
Ta có: AB // CD [ABCD là hình thang]
=> Góc A + D = 180° [hai góc trong cùng phía]
=> Góc A = 90°
Lại có Góc A + Góc C = 180° => Góc C = 90°
Vậy tứ giác ABCD có 3 góc A = B = C = 90°
=> ABCD là Hình chữ nhật. [ đ.p.c.m ]
Cách 3: Hình bình hành có một góc vuông
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM // BC [M thuộc AB]. Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC vuông tại C => AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM => ∆APM vuông cân tại P
=> AP = PM
Lại có: AP = CQ Mà PM // CQ
=> MNPQ là hình bình hành [1]
Mặt khác: Góc C = 90° [2]
Từ [1] và [2] => Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật [ đ.p.c.m ]
Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
Theo bài ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.
⇒ GB = 2GM và GC = 2GN
Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M ⇒ MG = MD hay GD = 2GM
Suy ra: GB = GD [3]
Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N ⇒ NG = NE hay GE = 2GN
Suy ra: GC = GE [4]
Từ [3] và [4] ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hành do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. [5]
Xét ΔBCM và ΔCNB, có:
BC cạnh chung Góc BCM = CBN [tính chất tam giác cân]
CM = BN [vì AB = AC]
Suy ra: ΔBCM = ΔCBN [c.g.c]
⇒ Góc B1 = C1 ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE [6]
Từ [5] và [6], suy ra: BCDE là hình chữ nhật do là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. [ đ.p.c.m ]
Lời kết: Vậy là các khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật đã được Gia Sư Việt phân tích rõ ràng ở trên. Với các ví dụ minh họa và bài tập chi tiết, hi vọng đây sẽ là nguồn tài liệu quý giá để các bạn làm bài và ôn thi hiệu quả. Ngoài ra, nếu cần tìm gia sư Toán đồng hành trong học tập, phụ huynh và học sinh vui lòng liên hệ qua số 096.446.0088 để được tư vấn và lựa chọn giáo viên, sinh viên dạy kèm phù hợp nhất.
Tham khảo thêm:
♦ Top 10 địa chỉ cung cấp gia sư tại quận Hoàng Mai uy tín nhất
♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông
♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành
Hình học là một lĩnh vực quan trọng ở trường và được áp dụng rất nhiều trong những công trình hiện nay. Bên cạnh Tam giác, Tứ giác, Hình chữ nhật,… thì các bài toán về Hình bình hành cũng xuất hiện khá nhiều trong chương trình cấp Trung học cơ sở và Trung học phổ thông. Chính vì vậy, Gia Sư Việt sẽ đem đến bài học: Khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là hình bình hành. Từ đó, các bạn nhanh chóng tiếp thu kiến thức và giải bài tập hiệu quả hơn.
I. Khái niệm về Hình bình hành
Hình bình hành là Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
Từ khái niệm trên ta có: Tứ giác ABCD là Hình bình hành ⇔ AB // CD và AD // BC
Nhận xét: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song [ Hình bình hành là một dạng đặc biệt của hình thang ].
II. Tính chất của Hình bình hành
– Tính chất 1: Trong Hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => AB = CD và AD = BC
– Tính chất 2: Trong hình bình hành, các góc đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => Góc A = C; Góc B = D
– Tính chất 3: Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Cho Hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O => OA = OC và OB = OD
III. Các cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành
Cách 1: Tứ giác có các cạnh đối song song
Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Ta có:
EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên EF // AC [1]
Tương tự, HG là đường trung bình của tam giác ACD, nên HG // AC [2]
Từ [1] và [2] suy ra HG // EF
Tiếp theo:
FG là đường trung bình của tam giác CBD, nên FG // BD [3]
Tương tự, HE là đường trung bình của tam giác ABD, nên HE // BD [4]
Từ [3] và [4] suy ra HE // FG
Xét tứ giác EFGH có:
HG // EF và HE // FG;
Vậy Tứ giác EFGH là Hình bình hành do các cạnh đối song song. [ đpcm]
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD [AB > BC]. Tia phân giác góc D cắt AB ở E, tia phân giác góc B cắt CD ở F. Chứng minh DEBF là hình bình hành.
Ta có:
Góc B1 = D1 do đều bằng một ½ của hai góc bằng nhau B và D trong hình bình hành ABCD
AB // CD [ABCD là hình bình hành] => Góc B1 = F1 [so le trong]
Mà hai góc này lại ở vị trí đồng vị => DE // BF
Xét tứ giác DEBF có:
DE // BF [chứng minh trên]
BE // DF [ do AB // CD]
Vậy Tứ giác DEBF là Hình bình hành do các cạnh đối song song. [ đpcm]
Cách 2: Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Ví dụ 3: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆CDA. Chứng minh rằng ABCD là Hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆CDA => AD = BC và AB = CD
=> ABCD là hình bình hành dó có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Cách 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Chứng minh rằng BEDF là hình bình hành.
Ta có:
ABCD là hình bình hành => AD // BC và AD = BC
AD // BC => DE // BF [1]
E là trung điểm AD => DE = AD/2
F là trung điểm BC => BF = BC/2
Mà AD = BC [ABCD là hình bình hành]
DE = BF [2]
Từ [1] và [2] => Tứ giác DEBF là hình bình hành do có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
Cách 4: Tứ giác có các góc đối bằng nhau
Ví dụ 5: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆ ADC và ∆BAD = ∆BCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆ADC => Góc ABC = Góc ADC [1]
∆BAD = ∆BCD => Góc BAD = Góc BCD [2]
Từ [1] và [2] suy ra Tứ giác ABCD là hình bình hành do các góc đối bằng nhau.
Cách 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại mỗi trung điểm mỗi đường
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ A kẻ AE vuông góc với BD, từ C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng Tứ giác AECF là hình bình hành.
Ta có:
OA = OC [tính chất hình bình hành] [1]
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
Góc AEO = Góc CFO = 90°
OA = OC
Góc AOE = Góc COF [đối đỉnh]
Suy ra, ∆AEO = ∆CFO [cạnh huyền – góc nhọn] => OE = OF [2]
Từ [1] và [2] suy ra Tứ giác AECF là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường chéo BD cắt AK, AI lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: AK // CI và DM = MN = NB
Ta có:
AB // CD và AB = CD [ do ABCD là hình bình hành]
I, K lần lượt là trung điểm AB, DC => AI=IB và DK = KC
Tứ giác AICK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau [AI và KC] nên AICK là Hình bình hành nên AK // CI [điều phải chứng minh]
Tiếp theo ta có:
AM // IN và MK // NC
Xét tam giác AMB có:
AM // IN
AI = BI [I là trung điểm AB]
IN là đường trung bình của tam giác AMB
N là trung điểm MB => MN = NB [1]
Tương tự, xét tam giác DNC có:
MK // NC
DK = CK [K là trung điểm DC]
MK là đường trung bình của tam giác DNC
M là trung điểm DN => DM = NM [2]
Từ [1] và [2] suy ra DM = MN = NB [điều phải chứng minh].
Lời kết: Vừa rồi là bài viết về khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành với các ví dụ, bài tập thường gặp. Đây là mảng kiến thức tuy cơ bản nhưng sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh khi làm bài không chỉ với Hình bình hành, mà còn liên quan đến các nội dung khác trong môn Hình. Các em hãy luôn đồng hành cùng Gia Sư Việt để nắm được nhiều kiến thức và bài tập hơn nhé!
Tham khảo thêm:
♦ Giáp pháp khắc phục tình trạng “mất gốc Hóa” hiệu quả nhất
♦ Phương pháp học 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ hiệu quả nhất
♦ Định nghĩa, tính chất & cách chứng minh các Tam giác đặc biệt