Cách tải bàu toán giới hạn dễ hiểu nhất năm 2024

Giới hạn của dãy số là một điểm lý thuyết phổ biến thường có trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy việc nắm rõ khái niệm cũng như cách giải bài tập sẽ giúp ích hơn cho các em trong lúc thi. Hãy cùng Marathon Education tìm hiểu kỹ hơn trong bài viết sau đây!

Lý thuyết giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa 1:

Dãy số (un ) có giới hạn bằng 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu giá trị tuyệt đối của n có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, mọi số hạng của dãy số và kể từ số hạng bất kỳ nào đó trở đi.

Định nghĩa 2:

Dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu:

Tính chất:

Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số có giới hạn +∞

Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi đều sẽ lớn hơn số dương đó.

Ký hiệu: lim un = + ∞.

Dãy số có giới hạn – ∞

Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số âm bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạn nào đó trở đi đều sẽ nhỏ hơn số âm đó.

Ký hiệu: lim un = – ∞.

Các quy tắc tìm giới hạn vô cực

• Quy tắc nhân

• Quy tắc chia

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa:

Các định lý:

1. Nếu lim un = a và lim vn = b, thì:
2. lim (un + vn) = a + b.
3. lim (un – vn) = a – b.
4. lim (un.vn) = ab.
6. Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a > 0 và

Các dạng bài tập về giới hạn dãy số có lời giải

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, kết hợp tính chất và những định lý về giới hạn của một dãy số

Dạng 3: Chứng minh lim un tồn tại

Phương pháp giải: Sử dụng định lý

• Dãy số (un ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
• Dãy số (vn ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Như vậy, các em đã được tìm hiểu về lý thuyết giới hạn của dãy số cũng như cách giải bài tập đơn giản, chi tiết. Hy vọng với những kiến thức được team Marathon truyền tải, các em có thể dễ dàng ôn luyện và giải bài hiệu quả hơn.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

Giới hạn của hàm số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết, các công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải chi tiết để từ đó ôn tập hiệu quả nhé!

1. Lý thuyết giới hạn của hàm số

1.1. Giới hạn của hàm số là gì?

Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định.

Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó.

Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.

Ký hiệu Toán học:

Ví dụ: do nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2.

1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm x0. Hàm f(x) xác định trên K hoặc K ∖ x0

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới x0 nếu với dãy xn bất kì, ta có

Ký hiệu Toán học:

hay f(x) = L khi

1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

a, Cho y = f(x) xác định trên

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới nếu với dãy bất kì, và ta có

Ký hiệu Toán học:

hay f(x) = L khi

b, Cho y = f(x) xác định trên

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới nếu với dãy bất kì, và ta có

Ký hiệu Toán học:

hay f(x) = L khi

Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là

1.4. Giới hạn của hàm số là lim

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Ta nói giới hạn của f(x) khi xđạt gần đến a là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f(a)\neq L$ và khi f(x) không xác định tại a.

Đăng ký ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia độc quyền của VUIHOC

2. Các định lý về giới hạn của hàm số

• Định lý 1:

a, Giả sử và . Khi đó:

b, Nếu và thì: và

Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với

• Định lý 2:

khi và chỉ khi

3. Một số giới hạn đặc biệt

a,

b,

c,

d, với c là hằng số

e, với k là số nguyên dương

f, nếu như k là số lẻ

g, nếu như k là số chẵn

4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ

4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa

Phương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính

Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:

a,

b,

c,

d,

Lời giải:

1. Với mọi dãy (xn): limxn = 1 ta có:

Vậy

2. Với mọi dãy (xn): limxn = 1 ta có:

3. Với mọi dãy (xn): limxn = 0 ta có:

4. Với mọi dãy (xn): xn > 1, n và limxn = 1 ta có:

4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

Hàm số 0/0 là hàm số có dạng với

Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) có nghiệm , ta sẽ có Nếu hàm f(x) và g(x) là đa thức thì ta sẽ phân tích như sau:

Khi đó , ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0

Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây:

a,

b,

Lời giải:

a,

Ta có:

b,

Ta có:

4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng

Phương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a,

b,

Lời giải:

a,

b,

4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $\infty/\infty$ sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này

Ví dụ: Tìm giới hạn:

Lời giải:

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm ngay từ bây giờ

5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn:

Lời giải:

Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:

1. khi x tiến tới 0
2. f(x) = cosx khi x tiến tới

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh khi x tiến tới 0 không có giới hạn

Lời giải:

Bài 4: Tìm giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 5: Tìm giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 6: Tìm giới hạn:

Lời giải:

Bài 7: Tìm giới hạn:

Lời giải:

Bài 8: Tính giới hạn:

Lời giải:

Bài 9: Tính:

Lời giải:

Bài 10: Tính

Lời giải:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã nắm được định nghĩa, các định lý, giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số thuộc chương trình Toán 11. Đừng quên truy cập Vuihoc.vn để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!