Cho các số thức a b thỏa mãn ab 0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p a 2 b 2 b 2 a 2 2a b 2b a 1
|
Câu hỏi: A. \(0.\) B. \(\frac{1}{2}\). C. \(\frac{{ – 1}}{2}\). D. \(1.\) GY:: Từ giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = \log _a^{}ab = 1 + \log _a^{}b\\y = \log _b^{}ab = 1 + \log _b^{}a\end{array} \right. \Rightarrow x + y = 2 + \log _a^{}b + \log _b^{}a \ge 4\). Đặt \({t_1} = {2^{2x + 2y}};{t_2} = {2^{x + y + 4}}\). Do \(x + y \ge 4\) nên \({2^{2x + 2y}} \ge {2^{x + y + 4}} \ge 256 > 2\) hay \({t_1} > {t_2} > 2\). Xét hàm số\(f\left( t \right) = 2{t^2} – 2t – \ln t,\,\,t > 2\). Ta thấy \(f’\left( t \right) = \frac{{4{t^2} – 2t – 1}}{t} = \frac{{4t\left( {t – 2} \right) + 6\left( {t – 2} \right) + 11}}{t} > 0,\;\forall t > 2\). Do đó hàm số\(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\). Suy ra \(f\left( {{t_1}} \right) \ge f\left( {{t_2}} \right) > f\left( 2 \right) > 0\). Ta có \(P = \frac{{\frac{{f\left( {{t_1}} \right)}}{2} – f\left( {{t_2}} \right)}}{{f\left( {{t_2}} \right)}} = \frac{{f\left( {{t_1}} \right)}}{{2f\left( {{t_2}} \right)}} – 1\)\( \Rightarrow P \ge \frac{{ – 1}}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi \(a = b,x = y = 2\). Vậy \(\min P = \frac{{ – 1}}{2}\) đạt được khi \(a = b,x = y = 2\). =======
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3 Vì a , b , c ≥ 1 , nên ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6 Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18 ⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1 Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3 Vì a , b , c ≥ 1 , nên ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6 Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18 ⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1 Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= (a+b+1)(a2+b2)+\(\dfrac{4}{a+b}\) Các câu hỏi tương tự
Cho các số thực a,b thỏa mãn ab khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+1\) Các câu hỏi tương tự
Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (a + b + 1)(a2 + b2) +
A. B. C. D. |
