Cho số phức z m^3 3m 2 m 2 i Tìm tất cả các giá trị thực của m để số phức z là số thuần ảo

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m \in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| {z – m} \right| = 4\) và \(\frac{z}{{z – 6}}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.

A. 0

B. 12

C. 6

D. 14

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in R} \right)\), tìm điều kiện để \(\frac{z}{{z – 6}}\) là số thuần ảo.

Suy ra các đường biểu diễn z thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm điều kiện để các đường biểu diễn đó có 1 điểm chung duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right),z \ne 6.\) M(a; b) là điểm biểu diễn z. Khi đó ta có

\(\frac{z}{{z – 6}} = \frac{{a + bi}}{{\left( {a + bi} \right) – 6}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {a – 6 – bi} \right)}}{{\left( {a – 6 + bi} \right)\left( {a – 6 – bi} \right)}} = \frac{{a\left( {a – 6} \right) + {b^2} + i\left( {b\left( {a – 6} \right) – ab} \right)}}{{{{\left( {a – 6} \right)}^2} + {b^2}}}\)

Để \(\frac{z}{{z – 6}}\) là số thuần ảo thì ta phải có \(a\left( {a – 6} \right) + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} – 6a + {b^2} = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Và \({\left( {a – 6} \right)^2} + {b^2} \ne 0\). Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm \(I\left( {3;0} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Từ \(\left| {z – m} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\left( {a + bi} \right) – m} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {a – m} \right)^2} + {b^2} = 16\,\,\left( 2 \right)\)

Suy ra M thuộc đường tròn tâm \(I’\left( {m;0} \right);\) bán kính \(R’ = 4\).

Để có đúng 1 điểm M thỏa mãn thì hai đường tròn \(\left( {I;R} \right);\,\,\left( {I’;R’} \right)\) có 1 điểm chung duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}II’ = R + R’\\II’ = \left| {R – R’} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {m – 3} \right| = 7\\\left| {m – 3} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = – 4\\m = 4\\m = 2\end{array} \right.\)

Với \(m = 2;m = 10\) loại do hai đường tròn tiếp xúc tại điểm \(\left( {6;0} \right)\).

Vậy \(S = \left\{ { – 4;4} \right\}\)

Tổng các phần tử của S là \(4 – 4 = 0\)

Chọn A.