Công thức tính bán kính R của khối nón

Câu hỏi:
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy [r ], độ dài đường sinh [l ] và chiều cao [h ] là:

Lời Giải:
Đây là các bài toán về Mặt nón, Hình nón, Khối nón trong Phần Mặt tròn xoay.

Công thức tính thể tích khối nón:  \[
V = \frac{1}{3}\pi r^2h\]

===============

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Nón

Thể tích hay có tên gọi khác là dung tích của một hình là lượng không gian mà vật đó chiếm, thể tích hình nón chính là không gian mà hình nón chiếm. Vậy công thức tính thể tích của hình nón là gì, bạn cùng tham khảo bài viết của chúng tôi.

Công thức tính thể tích hình nón

Công thức tổng quát tính thể tích hình nón

Để tính được thể tích của khối nón tròn xoay, các bạn sử dụng công thức như sau:

V = 1/3.π.r2.h

Trong đó:

V là thể tíchR là bán kính

h là đường cao

π = 3,14

- Đơn vị đo: m3 [mét khối]

* Các bước để tính thể tích của hình nón

- Bước 1: Tìm bán kính

+ Nếu đề bài đã cho, ta chỉ cần thay vào công thức
+ Nếu đề bài chưa cho biết đại lượng này mà:

· Cho đường kính [d]: Ta tìm bán kính bằng cách lấy d : 2.
· Cho chu vi hình tròn đáy: Lấy chu vi : 2π = Bán kính

· Không cho bất kì dữ kiện nào: Lấy thước đo chính xác khoảng cách lớn nhất của hai điểm trên đường tròn đáy - đường kính và chia số đo đó cho 2 => Tìm được bán kính.

- Bước 2: Tìm diện tích đáy

Khi đã biết bán kính r, ta áp dụng công thức tính diện tích hình tròn:

S = π.r2

=> Tìm được diện tích đáy

- Bước 3: Tính chiều cao

+ Nếu đề bài đã cho, ta chỉ việc áp dụng vào công thức+ Nếu chưa có, em có thể tự đo bằng thước.

+ Nếu đề bài cho biết đường sinh l, bán kính r, em có thể tính được chiều cao bằng cách áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông.

- Bước 4: Sau khi đã biết tất cả các đại lượng, bạn sử dụng công thức tính thể tích hình nón để tìm ra đáp án chính xác nhất.

* Thực hành: Tính thể tích của hình nón biết:

a] r = 3 cm; h = 4 cmb] r = 5 dm; h = 9 dmc] r = 1, 8 m; l = 3,2 m [Gợi ý: Các em vẽ hình cho dễ hình dung và áp dụng Py-ta-go trong tam giác vuông để tìm h]

d] d = 7 cm; h = 4,1 cm [Gợi ý: Tìm r = d: 2]

Phân biệt các khái niệm mặt tròn xoay, mặt nón, hình nón, khối nón

1. Mặt tròn xoay

- Trong không gian, có mặt phẳng P chứa đường thẳng d bất kì và đường cong C, quay mặt phẳng P quanh d một góc 360 độ => đường cong C tạo thành một hình gọi là mặt tròn xoay.

2. Mặt nón

- Mặt nón là mặt tạo bởi đường thẳng l chuyển động trên một đường cong và luôn đi qua một điểm cố định P.

3. Hình nón

- Hình nón là phần của mặt nón giới hạn bởi mặt phẳng P vuông góc với trục tới đỉnh O.

Trong đó:

+ O là đỉnh của hình nón+ Đường tròn C là đường tròn đáy

+ Hình tròn C là đáy của hình nón.

4. Khối nón

Khối nón bao gồm hình nón và phần bên trong của nó.

Bên cạnh cách tính thể tích hình nón, bạn cũng có thể tham khảo các bài viết công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ, hình lập phương,... trong những bài viết khác của chúng tôi. Hi vọng với những gợi ý đó sẽ giúp bạn thêm hứng thú hơn với môn Hình học.

Bên cạnh đó các em cũng cần nắm vững kiến thức trong hình học phẳng, chẳng hạn như cách tính diện tích hình tam giác cũng là kiến thức quan trọng mà các em cần nhớ.

Trong các bài viết trước, chúng ta đã được tìm hiểu cách tính diện tích của hình nón, với bài viết hôm nay, chúng tôi sẽ hướng dẫn các bạn cách tính thể tích hình nón để bạn hiểu hơn về phần kiến thức này.

Bảng đạo hàm chuẩn và đầy đủ Công thức tính diện tích mặt cầu, ví dụ và lời giải chi tiết Công thức tính diện tích hình lập phương Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật Excel - Cách ẩn, hiện thanh công thức trong Excel Cách ẩn công thức trong bảng tính Excel

1. Lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình nón

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón . Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

Lý thuyết:Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn

Bài toán:Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón

2. Ví dụ bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình nón

Bài 1. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a] Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b] Một hình nón có chiều caohvà bán kính đáy bằngr. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c] Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kínhR. Nếu hình nón đó có chiều cao bằnghthì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải:

a]

Hình nón[N]có đỉnhSvà đường tròn đáy là[O;r]. Lấy điểmMtrên[O;r]thìΔSOMvuông tạiO.

SOlà trục của đường tròn[O;r]nênIlà tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khiIthuộcSOvà cách đều hai điểmS,M. VậyIlà giao điểm củaSOvới mặt phẳng trung trực củaSM. Mặt cầu tâmIbán kínhR=ISlà mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b]

Kẻ đường kínhSS′của mặt cầu ngoại tiếp hình nón[SS′>h]

ΔMSS′vuông tạiMcó đường caoMO=r.

Ta có:

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là

c] Nếu hình nón có chiều caoh, bán kính đáy làrnội tiếp mặt cầu bán kínhRthì theo câu b] ta có hệ thức

Bài 2: Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó

A. 4 B. 2 C. 6 D. 3

Lời giải

Hình nón ngoại tiếp hình cầu⇒

Chọn D.

Bài 3: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn [C]. Một khối nón [N] có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn [C]. Biết khối nón [N] có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Bài 4: Cho hình nón tròn xoay [N] có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ?

Lời giải

1. Lý thuyết:

\[V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h\] \[[=\frac{1}{3}.S_{day}.h]\] R: bán kính hình tròn đáy h: chiều cao [ khoảng cách từ đỉnh tới đáy]

2. Bài tập:
Ví dụ 1: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón. \[\left\{\begin{matrix} l=5cm\\R=3cm \end{matrix}\right.\]

Giải:

Gọi O là đỉnh khối nón       H là tâm hình tròn        A là điểm thuộc đường tròn đáy OA=5cm, HA=3cm Trong tam giác vuông OHA,  \[OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\] \[V=\frac{1}{3}\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi .3^{2}.4=12\pi [cm^{3}]\]

Ví dụ 2: Cho khối nón có góc ở đỉnh bằng \[60^{\circ}\] độ dài đường sinh bằng 6cm. Tính thể tích khối nón.

Giải: Gọi O là đỉnh khối nón. Kẻ đường kính AB của hình tròn đáy tâm H.

Theo bài ra,  \[\widehat{AOB}=60^{\circ},\hspace{3}OA=OB=6[cm]\] Suy ra, \[\Delta OAB\] đều nên AB=6cm \[\Rightarrow R=HA=3[cm]\] Trong tam giác vuông OHA, \[\widehat{AOH}=30^{\circ}\] \[OH=OA.\cos30^{\circ}=6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}[cm]\] \[V=\frac{1}{3}.\pi .3^{2}.3\sqrt{3}=9\pi \sqrt{3}[cm^{3}]\]

Chú ý: \[OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}\] hoặc \[OH=HA.\cot30^{\circ}=3\sqrt{3}\]

Ví dụ 3: Cho \[\Delta ABC\] vuông tại A, AB=8[cm], BC=10[cm]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc a] ACB quay quanh AB.

b] ABC quay quanh AC. a] BAC quay quanh BC.

Giải:

Trong tam giác vuông ABC,  \[AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6[cm]\] a] Khi đường gấp khúc ACB quay quanh AB ta được hình nón có chiều cao h=AB=8[cm], bán kính R=AC=6[cm]. \[V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .6^{2}.8=96\pi [cm^{3}]\]

b] Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h=AC=6[cm], bán kính R=AB=8[cm].

\[V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .8^{2}.6=128\pi [cm^{3}]\]

c] Khi đường gấp khúc 

BAC quay quanh BC ta được 2 hình nón. + Hình nón thứ nhất tạo thành khi cho đường gấp khúc BAH quay quanh BH

R1=AH, h1=BH. 

Trong tam giác vuông ABC:

 \[\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{6^{2}}=\frac{10^{2}}{8^{2}.6^{2}}\]

\[\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{8.6}{10}=\frac{24}{5}\] \[h_{1}=BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{8^{2}-\frac{8^{2}.6^{2}}{10^{2}}}=8\sqrt{\frac{10^{2}-6^{2}}{10^{2}}}=\frac{8^{2}}{10}=\frac{32}{5}\]\[V_{1}=\frac{1}{3}.\pi .R_{1}^{2}.h_{1}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{48^{2}}{10^{2}}.\frac{32}{5}=\frac{6144}{125}[cm^{3}]\] + Hình nón thứ hai tọa thành khi cho đường gấp khúc HAC quay quanh HC. \[\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{24}{5}\] \[h_{2}=HC=BC-HB=10-\frac{32}{5}=\frac{18}{5}\] \[V_{2}=\frac{1}{3}.\pi .R_{2}^{2}.h_{2}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.\frac{18}{5}=\frac{3456}{125}[cm^{3}]\] \[V=V_{1}+V_{2}=\frac{384}{5}[cm^{3}]\]

Cách 2: \[V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.h_{1}+\frac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.h_{2}\]

               \[=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.[h_{1}+h_{2}]=\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}[\frac{32}{5}+\frac{18}{5}] =\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.10\] Nhận xét: 

\[V=\frac{1}{3}\pi .AH^{2}.BC=\frac{1}{3}\pi .AH.\frac{AB^{2}.AC^{2}}{AB^{2}+AC^{2}}.BC\]