Phương pháp thực hiện
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng:
Dạng 1: Với phương trình:
|f[x]| = |g[x]| f$^2$[x] = g$^2$[x] [f[x]-g[x]].[f[x] + g[x]] = 0 [1]
$\left[ \begin{array}{l}f[x] = g[x]\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\\f[x] = - g[x]\,\,\,\,\,\,[3]\end{array} \right.$.
Như vậy, với phương trình dạng trên có chứa tham số chúng ta cần thực hiện theo các bước:
Thí dụ 1. Cho phương trình: |x$^2$-2mx-2m| = |x$^2$ + 2x|. [1] 1. Giải phương trình với m = 1. 2. Tìm m để phương trình: a. Vô nghiệm. b. Có nghiệm. c. Có nghiệm duy nhất. d. Có hai nghiệm phân biệt. e. Có ba nghiệm phân biệt.Phương trình tương đương với: $\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2mx - 2m = {x^2} + 2x\\{x^2} - 2mx - 2m = - {x^2} - 2x\end{array} \right.$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {[m + 1]x = - m}\\ {{x^2} - [m - 1]x - m = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {[m + 1]x = - m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} [*]}\\ {x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,hoac\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = - m} \end{array}} \right.$[I]
1. Với m = 1, ta thấy ngay phương trình có ba nghiệm phân biệt x = -$\frac{1}{2}$, x = ±1.
2. Ta lần lượt:
- Nếu -m = 1 tức m = -1 thì [*] vô nghiệm, do đó không thoả mãn.
- Nếu -m ≠ 1 tức m ≠ -1 thì [*] có nghiệm $x = - \frac{m}{{m + 1}}.$
- Khi đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l} - \frac{m}{{m + 1}} = 1\\ - \frac{m}{{m + 1}} = - m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} - m = m + 1\\ - m = - m[m + 1]\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = - 1/2\\m = 0\end{array} \right.$.
Thí dụ 2. Giải và biện luận phương trình |mx + 1| = |3x + m-2|.
Phương trình được chuyển thành dạng: $\left[ \begin{array}{l}mx + 1 = 3x + m - 2\\mx + 1 = - 3x - m + 2\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}[m - 3]x = m - 3\,\,\,\,\,\,[2]\$m + 3]x = 1 - m\,\,\,\,\,\,[3]\end{array} \right.$.
Giải và biện luận phương trình [2]: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m - 3 = 0 m = 3.
Trường hợp 2: Nếu m - 3 ≠ 0 m ≠ 3.
[2] x = 1: phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải và biện luận phương trình [3]: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m + 3 = 0 m = -3.
Trường hợp 2: Nếu m + 3 ≠ 0 m ≠ -3.
[3] x = $\frac{{1 - m}}{{m + 3}}$: là nghiệm duy nhất.Kết luận:
- Với m = 3, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ $\mathbb{R}$.
- Với m = -3, phương trình có một nghiệm là x = 1.
- Với m ≠ ±3, phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = $\frac{{1 - m}}{{m + 3}}$.
Dạng 2: Với phương trình:
|f[x]| = g[x] $\left\{ \begin{array}{l}g[x] \ge 0\\{f^2}[x] = {g^2}[x]\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}g[x] \ge 0\\f[x] = \pm g[x]\end{array} \right.$ [I]
hoặc $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f[x] \ge 0\\f[x] = g[x]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f[x] < 0\\ - f[x] = g[x]\end{array} \right.\end{array} \right.$ [II]
Như vậy, với phương trình dạng trên có chứa tham số chúng ta cần thực hiện theo các bước:
Bước 1: Lựa chọn hướng biến đổi về [I] hoặc [II], rồi thực hiện việc giải và biện luận nó.
Bước 2: Kết luận.
* Chú ý:
- a. Nếu g[x] không chứa tham số ta lựa chọn phép biến đổi [I].
- b. Nếu f[x] không chứa tham số ta lựa chọn phép biến đổi [II].
- c. Trong trường hợp cả f[x], g[x] đều chứa tham số thì tuỳ vào độ phức tạp của f[x], g[x] ta lựa chọn phép biến đổi [I] hoặc [II].
Thí dụ 1. Giải các phương trình sau: a. |2x + 5| = x$^2$ + 5x + 1. b. $\frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \frac{{ - 3x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}.$a. Điều kiện x$^2$ + 5x + 1 + 3 ≥ 0. [*] Biến đổi phương trình tương đương với: $\left[ \begin{array}{l}2x + 5 = {x^2} + 5x + 1\,\\ - 2x - 5 = {x^2} + 5x + 1\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 = 0\\{x^2} + 7x + 6 = 0\end{array} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{[*]} \,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right..$ Vậy,phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -6. b. Tập xác định D = R\{-1; $\frac{3}{2}$} Biến đổi phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \frac{{ - 3x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x \ge - 1\\\,\frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \frac{{ - 3x + 1}}{{ - x - 1}}\,\,\,khi\,\,x < - 1\end{array} \right.$$\left\{ \begin{array}{l}7{x^2} - 11x + 2 = 0\,\,\,khi\,\,x \ge - 1\\5{x^2} - 11x + 2 = 0\,\,\,\,khi\,\,x < - 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,x = \frac{{11 \pm \sqrt {65} }}{{14}}.$ Vậy, phương trình có hai nghiệm x = $\frac{{11 \pm \sqrt {65} }}{{14}}$.
Thí dụ 2. Giải và biện luận các phương trình |x-1| = mx + 2m-1.
Ta biến đổi phương trình về dạng: |x-1| = mx + 2m-1 $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 1 = mx + 2m - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[I]\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\x - 1 = - [mx + 2m - 1]\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[II]\end{array} \right.$. Ta đi giải và biện luận [I] [I] $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\$1 - m]x = 2m\,\,\,\,\,\,[*]\end{array} \right.$.
Trường hợp 1: Nếu 1 – m = 0 m = 1.
[*] 0.x = 2 [mâu thuẫn] => [*] vô nghiệm.Trường hợp 2: Nếu 1 – m ≠ 0 m ≠ 1.
[*] x = $\frac{{2m}}{{1 - m}}$. Nếu $\frac{{2m}}{{1 - m}}$ < 1 $\frac{{3m - 1}}{{1 - m}}$ < 0 $\left[ \begin{array}{l}m < \frac{1}{3}\\m > 1\end{array} \right.$ => [I] vô nghiệm. Nếu $\frac{{2m}}{{1 - m}}$ ≥ 1 $\frac{{3m - 1}}{{1 - m}}$ ≥ 0 $\frac{1}{3}$ ≤ m < 1 => [I] có nghiệm x = $\frac{{2m}}{{1 - m}}$. Giải và biện luận [II] – Học sinh tự làm.
Dạng 3: Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối
Ta sử dụng các tính chất sau:
- Tính chất 1: Ta có: |a + b| = |a| + |b| ab ≥ 0.
- Tính chất 2: Ta có: |a| + |b| = a + b $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b \ge 0\end{array} \right.$.
- Tính chất 3: Ta có:|a| + |b| = a-b $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b \le 0\end{array} \right.$.
- Tính chất 4: Ta có: |a-b| = |a|-|b| b[a-b] ≥ 0.
- Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa [nếu cần] cho các biểu thức trong phương trình.
- Bước 2: Biến đổi phương trình về một trong 4 tính chất đã biết.
- Bước 3: Giải [ hoặc biện luận] phương trình đại số nhận được.
- Bước 4: Kết luận.
Thí dụ 1. Giải phương trình |x$^2$-4x + 3| + |x$^2$-4x| = 3.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng: |x$^2$-4x + 3| + |4x-x$^2$| = [ x$^2$-4x + 3] + [4x-x$^2$] $ \leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 \ge 0\\4x - {x^2} \ge 0\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 1\\3 \le x \le 4\end{array} \right.$. Vậy, nghiệm của phương trình là [0; 1] ∪ [3; 4].
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: |x$^2$-4x + 3| + |x$^2$-4x| = [ x$^2$-4x + 3]-[ x$^2$-4x]
$ \leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 \ge 0\\{x^2} - 4x \le 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 1\end{array} \right.\\0 \le x \le 4\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 1\\3 \le x \le 4\end{array} \right.$. Vậy, nghiệm của phương trình là [0; 1] ∪ [3; 4].
Dạng 4: Sử dụng ẩn phụ
Thí dụ 1. Cho phương trình |mx-2| + $\frac{2}{{|mx - 2| + 1}}$ = 2. [1]
- Với m = 0, [I] vô nghiệm [1] vô nghiệm.
- Với m ≠ 0, [I] có ba nghiệm phân biệt [1] có ba nghiệm phân biệt.
Viết lại phương trình dưới dạng: [x$^3$-3x]$^2$-[x + 2]|x$^3$-3x| + 2x = 0. [1] Đặt t = |x$^3$-3x|, điều kiện t ≥ 0. Khi đó, phương trình [1] được biến đổi về dạng: t$^2$-[x + 2]t + 2x = 0 [3] ta có Δ$_t$ = [x + 2]$^2$-8x = [x-2]$^2$, do đó: [3] $\left[ \begin{array}{l}t = x\\t = 2\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}|{x^3} - 3x| = x\\|{x^3} - 3x| = 2\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^3} - 3x = \pm x\end{array} \right.\\{x^3} - 3x = \pm 2\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^3} - 4x = 0\\{x^3} - 2x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\{x^3} - 3x \pm 2 = 0\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 2 \\x = \pm 1,\,\,x = \pm 2\end{array} \right.$.
Vây, phương trình có 6 nghiệm phân biệt x = 0, x = ± 1, x = $\sqrt 2 $, x = ± 2.