Đề bài
Chu vi hình chữ nhật \[ABCD\] là \[20cm\]. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo \[AC\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Áp dụng định lý Pi-ta-go.
+] Đánh giá \[A^2+m \ge m\], dấu "=" xảy ra khi \[A=0.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[x\] [\[cm\]] là độ dài cạnh \[AB\]
Vì nửa chu vi hình chữ nhật đã cho là: \[20:2=10 \, cm\]nên \[AB+BC=10cm\] suy ra \[BC=10 x \, [cm].\]
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \[ABC\], ta có:
\[\eqalign{
& A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \cr
& = {x^2} + {\left[ {10 - x} \right]^2} \cr
& = 2\left[ {{x^2} - 10{\rm{x}} + 50} \right] \cr
& = 2\left[ {{{\left[ {x - 5} \right]}^2} + 25} \right] \cr}\]
Vì \[[x-5]^2 \geq 0 \Rightarrow A{C^2} = 2{\left[ {x - 5} \right]^2} + 50 \ge 50\]
Đẳng thức xảy ra khi : \[x 5 = 0 x = 5\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của đường chéo AC là \[\sqrt50 = 5\sqrt2\] [\[cm\]]