Đề bài
Cho ba điểm \[A, O, B\] thẳng hàng theo thứ tự đó, \[OA = a, OB = b\] [\[a,b\] cùng đơn vị: cm].
Qua \[A\] và \[B\] vẽ theo thứ tự các tia \[Ax\] và \[By\] cùng vuông góc với \[AB\] và cùng phía với \[AB\]. Qua \[O\] vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \[Ax\] ở \[C\], \[By\] ở \[D\] [xem hình 116].
a] Chứng minh \[AOC\] và \[BDO\] là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \[AC.BD\] không đổi.
b] Tính diện tích hình thang \[ABDC\] khi \[\widehat {COA} = {60^0}\]
c] Với \[\widehat {COA} = {60^0}\]cho hình vẽ quay xung quanh \[AB\]. Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \[AOC\] và \[BOD\] tạo thành
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
b] Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là \[a,\] đáy nhỏ là \[b\] và chiều cao \[h\] là:\[S = \dfrac{{\left[ {a + b} \right]h}}{2}.\]
c] Thể tích hình nón: \[ V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\]
Lời giải chi tiết
a] Xét hai tam giác vuông \[AOC\] và \[BDO\] ta có: \[\widehat A = \widehat B = {90^0}\]
\[\widehat {AOC} = \widehat {B{\rm{D}}O}\] [cùng phụ với \[\widehat{BOD}\]].
Vậy \[AOC\] đồng dạng \[BDO \, \, [g-g].\]
\[ \displaystyle \Rightarrow {{AC} \over {AO}} = {{BO} \over {B{\rm{D}}}} \, \, hay \, \, {{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}}.\][1]
Vậy \[AC . BD = a . b \] không đổi.
b] Khi \[\widehat {COA} = 60^\circ \] , xét tam giác vuông \[ACO\] ta có \[\tan \widehat {AOC} = \dfrac{{AC}}{{OA}} \Rightarrow \tan 60^\circ = \dfrac{{AC}}{a} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \]
mà \[AC.BD = ab\] [câu a] nên \[a\sqrt 3 .BD = ab \Rightarrow BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}\]
Ta có công thức tính diện tích hình thang \[ABCD\] là:
\[\eqalign{
& S = {{AC + B{\rm{D}}} \over 2}.AB = \displaystyle {{a\sqrt 3 + {{b\sqrt 3 } \over 3}} \over 2}.\left[ {a + b} \right] \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 6}\left[ {3{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}}b + {b^2}} \right]\left[ {c{m^2}} \right] \cr} \]
c] Theo đề bài ta có:
Tam giác \[AOC\] khi quay quanh cạnh \[AB\] tạo thành hình nón có chiều cao \[OA = a\] và bán kính đáy \[AC = a\sqrt 3 \] nên thể tích hình nón là \[{V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .OA.A{C^2} = \dfrac{1}{3}\pi .a.{\left[ {a\sqrt 3 } \right]^2} = \pi {a^3}\left[ {c{m^3}} \right]\]
Tam giác \[BOD\] khi quay quanh cạnh \[AB\] tạo thành hình nón có chiều cao \[OB = b\] và bán kính đáy \[BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}\] nên thể tích hình nón là \[{V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .OB.B{D^2} = \dfrac{1}{3}\pi .b.{\left[ {\dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}} \right]^2} = \dfrac{{\pi {b^3}}}{9}\left[ {c{m^3}} \right]\]
Do đó \[\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{\dfrac{{\pi {b^3}}}{9}}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{{b^3}}}\]