Đề bài
Tìm hệ số của \[x^3\]trong khai triển của biểu thức: \[{\left[ {x + {2 \over {{x^2}}}} \right]^6}\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
B1: Khai triển\[{\left[ {x + {2 \over {{x^2}}}} \right]^6}\] về dạng\[\sum\limits_{k = 1}^6 {{A_k}.{x^{{i_k}}}} \]
B2: Tìm k để \[i_k =3\] từ đó suy ra \[A_k\]
KL: Hệ số của\[x^3\] là\[A_k\]
Lời giải chi tiết
Số hạng tổng quát:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {x + {2 \over {{x^2}}}} \right]^6}= \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left[ {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right]^k} = \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{{\left[ {{x^2}} \right]}^k}}}\\
= \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}}
= \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k{x^{6 - k - 2k}}{.2^k}\\
= \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k{.2^k}.{x^{6 - 3k}}
\end{array}\]
Số hạng chứa \[x^3\] ứng với \[6 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 1\]
Do đó hệ số của \[x^3\] trong khai triển của biểu thức đã cho là: \[C_6^1.2^1 = 2.6 = 12\]