Đề bài
Rút gọn rồi so sánh giá trị của \[M\] với \[1\], biết:
\[M={\left[\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right]} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\] với \[a > 0\] và \[ a \ne 1\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng hằng đẳng thức số \[2\]: \[a^2-2ab+b^2=[a-b]^2\].
+ Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[M={\left[\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right]} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\]
\[={\left[\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right]} : \dfrac{\sqrt a +1}{[\sqrt a]^2 -2\sqrt a+1}\]
\[={\left[\dfrac{1}{\sqrt a[\sqrt a -1]}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right]} : \dfrac{\sqrt a +1}{[\sqrt a -1]^2}\]
\[={\left[\dfrac{1}{\sqrt a[\sqrt a -1]}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a[\sqrt a -1]}\right]} : \dfrac{\sqrt a +1}{[\sqrt a -1]^2}\]
\[=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a[\sqrt a -1]} : \dfrac{\sqrt a +1}{[\sqrt a -1]^2}\]
\[=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a[\sqrt a -1]} . \dfrac{[\sqrt a -1]^2}{\sqrt a +1}\]
\[=\dfrac{1}{\sqrt a} . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}\].
\[=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}\]
Vì \[a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt a} > 0 \Rightarrow1 -\dfrac{1}{\sqrt a} < 1\].
Vậy \[M < 1\].