Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Giải các phương trình sau:
LG a
\[\tan [2x + 1]\tan [3x - 1] = 1\]
Phương pháp giải:
+] Tìm ĐKXĐ.
+] Sử dụng công thức \[{1 \over {\tan x}} = \cot x = \tan \left[ {{\pi \over 2} - x} \right]\]
+] Đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản của tan: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[a]\,\,\tan \left[ {2x + 1} \right]\tan \left[ {3x - 1} \right] = 1\]
ĐK: \[\left\{ \matrix{ \cos \left[ {2x + 1} \right] \ne 0 \hfill \cr \cos \left[ {3x - 1} \right] \ne 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
3x - 1 \ne \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ne \frac{\pi }{2} - 1 + k\pi \\
3x \ne \frac{\pi }{2} + 1 + k\pi
\end{array} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{1}{3} + \frac{{k\pi }}{3}
\end{array} \right.\]
\[\eqalign{ & pt \Leftrightarrow \tan \left[ {2x + 1} \right] = {1 \over {\tan \left[ {3x - 1} \right]}} \cr &\Leftrightarrow \tan \left[ {2x + 1} \right] = \cot \left[ {3x - 1} \right]\cr &\Leftrightarrow \tan \left[ {2x + 1} \right] = \tan \left[ {{\pi \over 2} - 3x + 1} \right] \cr & \Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi \over 2} - 3x + 1 + k\pi \cr & \Leftrightarrow 5x = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}\,\,\left[ {k \in Z} \right]\,\,\left[ {tm} \right] \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}\,\,\left[ {k \in Z} \right]\].
LG b
\[\tan x + \tan \left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = 1\]
Phương pháp giải:
+] Tìm ĐKXĐ.
+] Sử dụng công thức \[\tan \left[ {a + b} \right] = {{\tan a + \tan b} \over {1 - \tan a\tan b}}\]
+] Đặt \[t = \tan x\], đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình tìm nghiệm t.
+] Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[b]\,\,\tan x + \tan \left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = 1\]
ĐK: \[\left\{ \matrix{ \cos x \ne 0 \hfill \cr \cos \left[ {x + {\pi \over 4}} \right] \ne 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\]
Khi đó,
\[PT \Leftrightarrow \tan x + \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{4}}} = 1\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x - {\tan ^2}x + \tan x + 1 = 1 - \tan x \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan x\left[ {\tan x - 3} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 0 \hfill \cr \tan x = 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\left[ {k \in Z} \right] [tm] \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = k\pi \] hoặc \[x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\].