Đề bài
Cho mặt phẳng [P] : x + 2y 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: \[\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\]
Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng [P].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Lập phương trình mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] chứa \[d\] và vuông góc với \[\left[ P \right]\].
- Tìm giao tuyến của mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\].
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d đi qua A[1; 1; 9] và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a [1;1;0]\].
Gọi [Q] là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với [P].
Ta có: \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left[ { - 2;2;1} \right]\]
Phương trình của [Q] là : \[-2x + 2y + z 9 = 0\]
Khi đó: \[d' = [P] \cap [Q]\]
Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left[ {6;3;6} \right]\]
Chọn vecto chỉ phương của d là: \[\overrightarrow {{a_{d'}}} = [2;1;2]\]
Lấy một điểm thuộc \[[P] \cap [Q]\], chẳng hạn A[-3; 1; 1]
Khi đó, phương trình của d là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\]